Глава 4 Суперструны

В предыдущей главе мы ввели антикоммутирующие степени свободы, чтобы сократить вклад коммутирующих координат в флуктуации вакуума. Такие степени свободы преобразуются по векторному представлению группы SO(d— 2). В случаях, когда d = 3, 4, 6 и 10, мы могли выбрать также минимальное спинорное представление, так как оно имеет такую же размер­ность, как векторное представление. Поскольку SO(d — 2) — компактная группа, в скалярном произведении двух спиноров индексы свернуты так же, как в скалярном произведении век­торов (напомним, что в гл. 3 использовалось только скалярное произведение векторов). Для спинорного представления мы мо­жем проделать построение, аналогичное проведенному в гл. 3. Для этого выполним замену

k^Ai->S^Aa, (4.1)

где Л — по-прежнему индекс двухкомпонентного спинора, а а — индекс (d — 2)-компонентного спинора. Такая замена приводит к теории суперструн, первоначальная формулировка которой об­суждалась в предыдущей главе.

Действие в теории суперструн задается в виде [40]

я

^ ~ ~h \^d% \^do [л^аЧ*Ч*^£ + iS^a9^adaS^al (4.2)

Мы знаем, что это действие (в случае открытых струн) приводит к сектору, в котором спектр состояний начинается с безмассо­вых частиц на низшем уровне. В этом секторе решения уравне­ний движения для спинорных полей разлагаются в ряд:

оо

(4.3)

Л=—DO ОО

П= —oo

l= £ S^a_ne~^inH+a). (4.4)

38 Глава 4

Спинорные поля удовлетворяют антикоммутационным соотно­шениям:

{S* (а, т), S? (а', т)} = яб_а6б«б (с - а'), (4.5)

^a

(4.6)

Операторы S~_n с положительным я являются операторами рождения. Они действуют на бозонное состояние и отображают его в фермионное состояние. Следовательно, этот сектор тео­рии содержит как бозоны, так и фермионы, числа которых на каждом массовом уровне одинаковы, т. е. состояния на каждом уровне образуют супермультиплеты (ниже это будет дока­зано).

Мы знаем также, что в другом секторе, возникающем при выборе граничных условий, соответствующих соотношениям (3.8) и (3.96), имеются тахионы. Кроме того, разложение в ряд по фермионным осцилляторам будет идти по модам с по­луцелыми индексами, и, следовательно, числа бозонов и фер-мионов на каждом массовом уровне не будут равными. Это в свою очередь приводит к невозможности появления супер­симметрии. Поскольку рассмотренный выше сектор теории уже содержит все, что нам нужно, мы можем просто постулировать, что используются лишь граничные условия (3.8) и (3.9а).

Аналогично для замкнутых струн мы постулируем, что используются только периодические граничные условия. Это* дает следующие решения уравнений движения для фер-мионов:

оо

= — оо

(4.7)

со

П— — оо

(4.8)

Теперь нашей задачей будет проверить существование пред­ставления алгебры Пуанкаре в такой струнной теории. Оказы­вается, такое представление существует [41], и удивительный факт заключается в том, что это представление может быть расширено до суперпуанкаре-алгебры. Сначала мы рассмот­рим формулировку суперсимметрии в координатах светового конуса [42]. Суперсимметричный заряд Q в десяти измерениях

распадается на два 50 (8)-спинора—Q+ и Ql, где индексы а,а=1, ..., 8 принадлежат двум неэквивалентным 8-мерным

Суперструны 39

спинорным представлениям группы 50(8). Алгебра имеет вид

{Q^a₊,Q^b₊} = 2p⁺6^ab, (4.9а)

{Qt, Qt}-2p~6^d\ (4.96)

V. (4.9в)

Используемые обозначения приведены в дополнении к части I. Приведем теперь представление суперпуанкаре-алгебры, ко­торое строится с помощью полей, входящих в действие (4.2). Нам снова потребуется некоторая доля предвидения, поскольку мы строим алгебру сразу в калибровке светового конуса, а не выводим ее из лоренц-ковариантной алгебры. В случае замкну­тых струн это N = 2-суперпуанкаре-алгебра. Итак, наиболее общая алгебра имеет вид

р⁺=р⁺, (4.10а)

¹ \¹(а, т), (4.106)

2лр

я

_{[ da Uy2 + х'1' - i (SlS[r - S2S2r)], (4.1 Ов)}

J

(4.11a)

(4.116)

о

я

_{= —rr \}

лЛ/р ^J

я

(4.11г)

я

\ da\xⁱp^ х*р¹ А — (S^ly^l^S^l A- S²y^S²)] (4 12а)

о

я

(4.126)

40 Глава 4

j⁺- ~х*р~ — х~р⁺, (4.12в)

• 1 ? Г Г¹ = | ] da [{х- (а), р¹} - {*', р" (а)} »

_{^г (S'y"S' (яр' - хП + ^"S2 (V + *'")) 41}

4пл/п р Р Л

(4.12г)

где

х'(о) = -^pW + -^(S^lS^[' + S²S²'). (4.13)

р ²р

Знания этой алгебры достаточно для того, чтобы построить все известные струнные модели (за иключением £/ = 2-модели

[18]):

1. Суперструны типа 116, Эта модель соответствует полной алгебре (4.10) — (4.12) с периодическими граничными условия­ ми на координаты. Отметим, что такая модель будет кираль-

ной, так как операторы рождения S^l-_n и S²-_n порождают спиноры только одной киральности.

2. Суперструны типа На. Чтобы получить эту модель, нужно

вместо антикоммутирующей координаты S? ввести коорди­нату S?» преобразующуюся по другому спинорному представле­нию. Это никак не скажется на формулах алгебры, поскольку Si и S₂ нигде не перемножаются скалярно. Конечно, после та­кой замены Si и S2 уже не могут быть объединены в двухком-понентный спинор по двум измерениям, но это не имеет зна­чения. Модель не киральная, так как спинорные состояния мо­гут быть объединены в майорановские состояния.

3. Суперструны типа I. В случае открытых струн мы долж­ ны взять граничные условия, соответствующие (2.42), а также (3.8) и (3.9а). Тогда Q^=^Q} ^и ЗГ"^' следовательно, супер­ симметрия понижается до TV = 1-суперсимметрии. Аналогичное понижение суперсимметрии можно провести и для случая замкнутых струн.

4. Бозонные струны. Положим S¹—S² = 0. В этом случае суперсимметрия, конечно, отсутствует.

5. Гетеретическая струна. Эта струнная модель рассматри­ вается в следующей главе.

6. Спиновая струна. Модель спиновой струны можно полу­ чить, если в алгебре провести преобразования тройственности от спиноров S^a обратно к векторам V, такие, например, как SiW-^VW и SV'S¹-^¹^¹', и аналогично для S². Тогда можно легко получить представление алгебры для спиновой струны. Суперсимметрия, конечно, не сохраняется.

Суперструны 41

Рассматривая теории суперструн типов I, Па и Пб, мы знаем, что имеется квантовая теория свободных струн, в кото­рой низшие состояния являются безмассовыми. Теперь мы хо­тим узнать, каковы спины этих безмассовых состояний. Для бозонной струны в качестве основного состояния можно вы­брать скалярный вакуум 10>. Действительно, если положить все фермионные осцилляторы в выражениях (4.12) равными нулю, то видно, что вакуумное состояние является скалярным. Но для суперструн в нулевой моде генератора /^£/ (4.12а) появ­ляется дополнительная часть, а именно

i (4.14)

В общем случае этот оператор, действуя на вакуумное состоя­ние, дает ненулевое значение.

Кроме того, безмассовый уровень должен образовывать су-

лермультиплет. Такой супермультжглет может быть построен

на основе антикоммутатора (4.9а), а также знания выражения

(4.14) с учетом того, что q₊ реализовано линейно. Генератор

ц^а является вещественным. В четырехмерном случае обычно

переходят от 50(2)- к [/(1)-описанию, строя комплексные ге­нераторы (не имеющие лоренцевых индексов), которые обра­зуют алгебру Клиффорда. После этого можно определить опе­раторы рождения и уничтожения, из которых затем строится супермультиплет. В случае d = 10 мы до сих пор использовали 5О(8)-ковариантные обозначения. Чтобы разложить генерато­ры на операторы рождения и уничтожения, мы должны нару­шить 5О(8)-группу до SU(4)\U(l). Именно этот формализм используется в полевой теории открытых струн. Но в этой главе мы опишем альтернативный формализм, который исполь­зует полную 50 (8)-ковариантность. Этот метод может с та­ким же успехом применяться н в размерности d = 4. Рассмот­рим нулевую моду генератора j^i]\ заданного выражением (4.12а). В случае открытых струн

/о' =*" + T ^SoV"^So =■ I" + #■ (4-15)

Последний член в этом выражении и есть вклад спина. Если •считать вакуум |0> скалярным состоянием, то требуется нало­жить условие

= 0. (4.16)

Умножая левую и правую части на 5о и используя тожде­ство Фирца, мы получаем So|O) = O, следовательно, |0>=0, «если d£4

42 Глава 4

В случае d=\0 мы должны сделать следующую простую вещь. Возьмем вакуум в виде вектора |j> с нормировкой </|/> = 6^. Потребуем, чтобы это вакуумное состояние удов­летворяло условию

(4.17)

Введем теперь следующее обозначение:

¥^a^q%\i)\ (4.18)

тогда имеет место разложение

где у'ф'^а О

Если мы теперь умножим обе части равенства (4.17) на S_Oy то получим следующее ограничение на состояния;

(4.20) тогда как состояния

>^Г> (4.21)

с нормировкой (Ь\ а)~ р⁺6_й£ не подчинены никаким ограниче­ниям. Рассматривая поведение состояний (4.21) при преобра­зованиях Лоренца, получаем

sj'|o}=-i(_V")^d6|&>. (4.22)

Следовательно, такие состояния преобразуются просто как ком­поненты спинора. Используя тождество Фирца (А.7), находим

а Ь

и заключаем, что не могут быть построены никакие другие без­массовые состояния и безмассовый уровень содержит одно век­торное состояние и одно спинорное, которые совпадают с муль-типлетом Янга —Миллса в десяти измерениях. Можно, конечно, считать, что оба эти состояния преобразуются по некото­рому представлению (например, по присоединенному представ­лению) какой-либо внутренней группы симметрии. В теориях суперструн типа I существует стандартный способ включения в амплитуды рассеяния квантовых чисел, отвечающих внутрен­ней группе симметрии, достаточно давно предложенный Чаном и Патоном [43]. Он заключается в следующем. Каждому t-му внешнему состоянию струны нужно поставить в соответствие

Суперструны 43

.матрицу {h)ab и умножить ^-точечную амплитуду рассеяния на групповой множитель tv(K\ ... X_N). Эти множители должны факторизоваться определенным образом, чтобы не нарушать факторизационных свойств струнных амплитуд рассеяния. Та­кое требование ограничивает выбор группы внутренних симмет­рии, а именно допускаются группы симметрии SO(n), U(n) и Sp(2n) [29]. Отметим, что в данном случае исключительные группы запрещены.

Полезно рассмотреть первый возбужденный уровень. Этот

уровень состоит пз 128 бозонных состояний ali'J/), Stt\b) ^и 128 фермионных состояний aL{\a)_t S-i|i). Перечисленные со­стояния образуют различные приводимые 5О(8)-мультиплеты, которые (поскольку они являются массивными) могут быть встроены в представление группы 50(9) с помощью лоренце-вых генераторов. Таким способом для бозонов получаются сле­дующие представления группы 50(9);

_ш,

с размерностями 44 и 84 соответственно. Фермионы обра­зуют один 128-мерный 50(9)-мультиплет Рариты — Швингера (подобный я|)*° в выражении (4.19)).

В случае замкнутых струн безмассовый уровень возникает

при действии двух генераторов суперсимметрии q^x₊ и q²₊. До­пустим, что оба они принадлежат одному и тому же представ­лению группы 50(8) (это означает, что они имеют одинаковую киральность в десяти измерениях (тип Пб)), тогда мы можем образовать комплексные генераторы

^ (4.24)

и, следовательно, использовать q^a и qV² в качестве операторов

рождения и уничтожения. В этом случае мы можем определить скалярный вакуум (который должен быть комплексным, как следствие комплексных преобразований суперсимметрии). Дей­ствуя генератором /£/, в определении которого (4.14) содер­жится sj', на этот вакуум, мы убеждаемся, что вакуум действи­тельно является скалярным состоянием. Если теперь последо­вательно действовать оператором q^a на вакуумное состояние,

то получим, что безмассовый супермультиплет образован

44 Глава 4

следующими состояниями:

аЬ

_{«и! i о) ~ Фао,}

<7+ • • • Я₊

Легко видеть, что это приводимый мультиплет. Чтобы получить неприводимый мультиплет, мы должны наложить условия

(4.26)

Так как группа 50(8) обладает свойством тройственности, перечисленные выше безмассовые состояния со спинорными ин­дексами можно переписать в эквивалентном виде с векторными индексами. Тогда мы получим следующий бозонный спектр;

2 скаляра ф,

2 антисимметричных тензора 2-го ранга A^i}' ~ (уИ)аЬфаь^

1 самодуальный антисимметричный тензор 4-го ранга А^^м>

1 гравитон g^i}'\

последние две серии состояний строятся из (f>^ai-"^a\ Фермион-ный спектр содержит

2 спинора aj)^a_}

2 набора состояний Рариты — Швингера ip^a.

Допустим теперь, что q^]₊ и q²₊ имеют противоположные ки-

ральности (тип Па). В этом случае мы не можем образовать операторы рождения и уничтожения ковариантно по группе 50(8). Нам остается последовать методу, использованному в случае N = I. Начнем с тензорного состояния

и остальные состояния построим по аналогии со случаем N = I:

Суперструны 45

Тогда бозонный спектр содержит 1 гравитон _ёЧ =

1 антисимметричный тензор 2-го ранга 1 скаляр ф =

1 вектор л' =

1. антисимметричный тензор 3-го ранга А^^к = (у^^к)^ааф^аа. Фер- мионный спектр содержит

2. спинора 1|Л %^а,

2 состояния Рариты — Швингера ty^at, %^at.

Этим методом, конечно, можно было воспользоваться и в случае, рассмотренном выше.

Мы можем наложить ограничения на спектр теории с N = 2 и получить, таким образом, спектр, соответствующий Af=l. Полученные замкнутые струны типа I являются важными, так как могут взаимодействовать с открытыми струнами. Чтобы найти спектр безмассовых состояний, в этом случае образуем линейную комбинацию Q¹ -f Q² = Q; после этого можно приме­нить метод, использованный нами в теории с iV=l. Тогда спектр, очевидно, будет состоять из

I 0 ® I т. е. будет содержать

1 гравитон g^l!\

1 антисимметричный тензор А¹?,

1 скаляр ф,

1 спинор -ф ,

1 состояние Рариты — Швингера ty

До сих пор мы обсуждали только состояния свободной струны. Мы могли бы ожидать, что все состояния замкнутой струны также принадлежат некоторому представлению внутрен­ней группы. Но при этом оказывается, что взаимодействие можно включить только в том случае, если такое представле­ние является тривиальным.

Так как струны являются одномерными протяженными объ­ектами, существует возможность того, что они могут иметь внутреннюю ориентацию, которую можно представить в виде "стрелки", указывающей одно из двух направлений вдоль стру­ны. В том случае, если струны являются ориентируемыми, для заданной пространственной конфигурации существуют два раз­личных классических состояния струны, которые соответствуют

46 • Глава 4

двум возможным ориентациям. Открытая струна является ори­ентируемой, если концы струны считаются различными, в то время как замкнутая струна является ориентируемой, если для нее можно отличить моду, бегущую в одном направлении вдоль струны, от моды, бегущей в противоположном направлении.

Итак, основной вопрос, касающийся ориентации, заключает­ся в том, являются ли струны, описываемые координатами х^(а), S^Aa(<y) и х^(л — сг), 5^Ла(я — сг), совпадающими или раз­личными. Рассмотрим решения уравнений движения в замкну­тых струнах (2.43), (4.7) и (4.8). В этих выражениях замена

1 О

cf~^n — о соответствует перестановкам а_п -«-^ а_п, S_n^^S_n. Су­перструны типа II, которые получаются друг из друга такой перестановкой, являются существенно разными, тогда как в теориях типа I дополнительные ограничения таковы, что приво­дят к совпадению двух таких струн. Поэтому мы заключаем, что струны типа II являются ориентируемыми, тогда как замкну­тые струны типа I неориентируемы. Гетеротическая струна, ко­торая имеет различные левобегущие и правобегущие моды, оче­видно, ориентируема. Данный анализ проведен на классическом уровне, но его можно повторить и для квантового случая, если рассматривать матричные элементы операторов х^(а) и 5^Ла(а). При этом выводы не изменятся.

Как уже обсуждалось, в открытых струнах можно ввести (глобальную) внутреннюю группу симметрии (которая явля­ется остатком от калибровочной симметрии в ковариантном формализме). Взаимодействие допускает, чтобы состояния пре­образовывались, как фь, где индексы а и Ь принадлежат фун­даментальному и комплексно-сопряженному представлениям со­ответственно. Следовательно, ф% либо преобразуется по присо­единенному представлению, либо является синглетом. На ин­туитивном уровне это можно понимать так, что на одном конце струны находится "кварк", а на другом "антикварк". Поэтому, если "кварки" отличаются от "антикварков", струна является ориентируемой, если же они совпадают, то струна неориенти-руема. Концы таких струн могут соединяться и образуются замкнутые струны, если "кварки" являются синглетами. Напри­мер, струны с группой симметрии U(n) будут образовывать ориентируемые замкнутые струны, тогда как струны с группой SO(n) и Sp(2n) будут образовывать неориентируемые замкну­тые струны. Но все полученные таким путем замкнутые струны должны быть струнами типа I, поскольку открытые струны были типа I, и, следовательно, все они должны быть неориен-тируемыми. Таким образом, путем нестрогих рассуждений мы заключаем, что допустимы только группы SO(n) и Sp(2n) [44].

Суперструны 47

Учет ориентации струн важен при вычислениях по теории возмущений. Для ориентируемых струн взаимодействие должно быть таким, чтобы ориентация сохранялась. Это приводит к тому, что ряды теории возмущений в случае суперструн типа I и типа II будут различными.

До сих пор мы обсуждали суперструны в калибровке свето­вого конуса. Этого вполне достаточно для понимания струк­туры теории и для построения теории взаимодействия. Но было бы полезно также иметь коварнантный формализм. Дей­ствие в таком формализме было найдено Грином и Шварцем [45], но до сих пор остается неясным вопрос, можно ли кван­товать ковариантно это действие [46] ^!).

*) См. предисловие к русскому изданию. — Прим. ред.