16.1.6. Суперзаряды Пуанкаре

Суперзаряды Пуанкаре вычисляются путем применения тео­ремы Нётер. При этом имеется одна тонкость. Действительно, действие при преобразованиях суперсимметрии инвариантно только с точностью до полной дивергенции, поэтому сохраняю­щийся суперсимметричный ток содержит дополнительный вклад от этой дивергенции.

Трансляционный ток задается выражением

та

а лоренцевы токи — выражением

^{+ таг V3! (^3 Vve' + я^ё V/), (is. 1.6.1)}

_ГАВ=

/1 о 1 а п\

(16.1.6.2)

Выражение для суперсимметричных токов может быть полу­ чено из уравнений = *Y ^e Т^л-Н-^й! У > (16.1.6.3а)

^{дХ д}®

-r^ (16.1.6.36)

м- - м-

где F¹^ и Y²v — полные дивергенции, на которые преобразуется действие при суперсимметриях. Свойство Фирца (16.1.2.5) по­зволяет записать

.JL. y_A&_Ew [_idvXA + i-eV^¹) . (16.1.6.4а>

Y²» = -^r \_ABW ( - /^ЛГ^А - у б²у^л^^) . (16.1.6.46)

252 Глава 16

поэтому

§ ^ёУМЭ') • (16.1.6.5a)

В случае замкнутой струны соответствующие заряды, полу­чаемые интегрированием по пространству временных компонент токов, автоматически сохраняются как следствие уравнения не­прерывности.

В случае открытой струны поток энергии-импульса или угло­вого момента через концы струны равен нулю вследствие гра­ничных условий. Для суперзарядов это не имеет места. Оказы­вается, что сохраняется лишь сумма Q^l-\-Q². Одна из двух гло­бальных суперсимметрий нарушена граничными условиями.

16.1.7. Гамильтонов формализм

Полный и удовлетворительный гамильтонов формализм для су­перструны до сих пор не построен из-за следующих трудностей:

1. Действие (16.1.3.9) приводит к связям в каноническом формализме. Некоторые из этих связей принадлежат первому роду и генерируют калибровочные инвариантности теории. Но существуют также связи второго рода, возникающие вследствие отсутствия независимого кинетического члена для спиноров. Для перехода к квантовой теории необходимо устранить все связи второго рода и заменить скобки Пуассона скобками Ди­ рака. Основная проблема состоит в том, что это нельзя сделать приемлемым образом: трудно разделить связи первого и вто­ рого рода, не нарушив при этом явную суперпуанкаре-инвари- антность [62, 63]. Главная причина применения метода связей заключается в сохранении глобальных инвариантностей.

2. "Алгебра" связей первого рода не есть супералгебра Ви- расоро в соответствии с тем обстоятельством, что теория не есть 2^-супергравитация. Фактически алгебра связей есть открытая алгебра со структурными функциями, содержащими поля. Это соответствует тому факту, что калибровочные преобразования замкнуты только на связях, и означает, что для построения БРСТ-заряда необходимо применять весь аппарат, развитый школой Фрадкина [30, 31]. Кроме того, неясно, как придать квантовый смысл нелинейным членам, которые возникнут в Q.

3. Суперкалибровочные спинорные параметры %^х_ и %²₊ яв­ ляются избыточными на связях. Если (а^_у_А%¹_ — 0 и ®*у_Ах² =0, то правые части преобразований (16.1.3.5а) — (16.1.3.5г) обра-

Суперструна 253

щаются в нуль. Это ведет к дальнейшему усложнению БРСТ-формализма.

Это все, что мы намеревались сказать по поводу гамиль-тонова формализма, поскольку ко времени написания дан­ной книги существует не слишком много сведений на эту тему. Для иллюстрации трудностей мы обсудим ниже в деталях суперчастицу, являющуюся нульмодовым усечением супер­струны.