Глава 14

Фермионная струна: классический анализ

14.1. Локальная суперсимметрия в двух измерениях

Негативная черта бозонной модели заключается в присутствии в спектре тахиона, нарушающего причинность.

Появление тахиона в спектре вызывается положительностью интерсепта «о. Интерсепт связан с неоднозначностью упорядо­чения в Lq, т. е. с нулевой энергией [41], поэтому естественно искать суперсимметричные модели с равным числом бозонных и фермионных переменных. Действительно, общим свойством су­персимметрии является тенденция к сокращению нежелатель­ных эффектов суперсимметричными партнерами, так что при подходящем введении антикоммутирующих степеней свободы можно удовлетворить условию cto = 0.

В настоящее время суперсимметрия представляет собой уже весьма старый раздел теории поля и не нуждается в дополни­тельной мотивировке.

Существуют априори два различных способа введения супер­симметрии в модели струн.

1. Бозонная струна может рассматриваться как двумерная теория поля, описывающая d скалярных полей, связанных с гра­ витацией. Эта теория инвариантна при двумерной замене коор­ динат. Данную симметрию можно расширить до двумерной ло­ кальной суперсимметрии путем введения суперсимметричных партнеров ^ и I^м для метрики g_a$ и скалярных полей Х^А. Здесь % — двумерное поле "спина 3/2", а Г^л — d-мерный век- тор/2-мерный спинор. Оказывается, что все степени свободы переносятся "материальным супермультиплетом" (Х^л, Г^л). Ка­ либровочное поле супергравитации (g"_ap, %.) в двух измерениях является чистой калибровкой. Такой подход приводит к модели Неве — Шварца — Рамона [41,43] (двумерная суперсимметрия этих моделей исследовалась в работе [43а]).

2. Бозонная струна инвариантна относительно глобальных преобразований Пуанкаре в d измерениях. Можно расширить эту симметрию до глобальной инвариантности относительно действия супергруппы Пуанкаре (т. е. градуированного расши­ рения группы Пуанкаре). Это приводит к суперструне Грина и Шварца [44].

Фермионная струна: классический анализ 205

Достаточно неожиданно, что первый подход приводит (при подходящем усечении) к той же теории, что и второй. Но то, что выглядит очевидным в новом формализме Грииа и Шварца [44], а именно глобальная суперсимметрия, не кажется столь очевидным в старом формализме. С другой стороны, двумерная локальная суперсимметрия, также играющая ключевую роль, недостаточно очевидна в случае суперструиы. Хорошо было бы иметь формализм, в котором оба типа суперсимметрии присут­ствовали очевидным образом.

В этой и в следующих главах мы исследуем фермиониую струну Неве, Шварца и Рамоиа. Суперструиа рассматривается в гл. 16.

Модель Неве — Рамоиа — Шварца является теорией N = I-супергравитации; оиа может быть получена двумя различными способами.

1. Можно применить методы супергравитации [45]. Эти ме­ тоды естественно приводят к рассмотрению расширенных моде­ лей с N = 2 или N = 4 [46] (эти модели здесь рассматриваться не будут, так как их критические размерности d = 2 (N = 2) или d = —2 (jV = 4)).

2. С другой стороны, можно сосредоточиться на рассмотре­ нии связей Вирасоро, играющих, как было показано, важную роль в бозоииом случае, и попытаться "извлечь из иих квад­ ратный корень", чтобы получить модель со связями, образую­ щими градуированное расширение алгебры Вирасоро (суперал­ гебру Вирасоро).

Здесь применяется второй подход [47] (процедура "извле­чения квадратного кория" применительно к d — 4-супергравита-ции рассмотрена в работе [47а]). Напомним, что, применяя эту процедуру к условию массовой поверхности р²~\-т² = 0 для свободной релятивистской частицы, мы получаем уравнение Дирака.