1. Открытая струна:

а. Вследствие соотношений Х^А (—а) = Х^л (о), $Р_А (—о) = = ^д(сг) канонические переменные не могут удовлетворять на всем интервале [—к, -\~п] скобкам Пуассона [Х^л(<т), ^^f_B(a^/)]^:= = d^6(a, a'). Напишите правильные скобки Пуассона.

б. Покажите, что, несмотря на это, выражение (12.3.2.2а) для [Q+(a), Q⁺(cr')] справедливо и на всем интервале [—я, я].

2. Замкнутая струна. Покажите, что L_o — L_o генерирует сдвиги пространственного параметра а на постоянную величину вдоль струны a->a-f- a.

Струна Намбу— Гото: классический анализ 131

12.4. Фурье-моды

12АЛ. Открытые струны

Связи являются квадратичными по полям, поэтому для ис­следования их вполне применим метод фурье-разложений.

Как следствие граничных условий при сг = О и а = л в дан­ном случае допускаются только "стоячие волны'' типа коси­нуса. Следовательно, имеем фурье-разложение полей в виде

£ а cos па, (12.4.1.2)

где

я я.

= —\x^A{<j)d<j, *? = — \ Х^А (a) cos па da, (12.4.1.3)

р_д

о я

= \ ^*₄ (a) da = полный импульс струны, (12.4.1.4)

я

S^^A (a) cos па da П2 4 1 5>

0

В калибровке iV= 1, N^l =0 координата и импульс центра масс (Aq¹, р_л) (нулевые моды разложения) выступают в качестве

координаты и импульса свободной частицы (Х^А ~ т, p_A^=const)_r

тогда как высшие моды описывают гармонические осцилляторы с частотами п. Это наводит на мысль определить осциллятор-ные переменные ^1}

Xt (12.4.1.6а)

Тогда из (12.3.1.1) получаем

[Jtf, р_в[ = «2, (12.4.1.7а)

К. <'] = - ^/т1"^Вбп, „' (я- »' > °) (12.4.1.76)

(все остальные скобки Пуассона равны нулю).

^f) Хотя мы и предположили конкретный вид калибровки, переход к но­вым осцилляторным переменным (12.4.1.6) можно проделать независимо or какой-либо калибровки.

132 Глава 12

В новых переменных (Х£, р_в, а^, aj,*) условия Вирасоро

лринимают вид

n>0, (12.4.1.8a)

(12.4.1.86) £. (12.4.1.8в)

Эти соотношения являются отправной точкой в квантовой тео­рии. Связи в форме (12.4.1.8) выводятся прямыми вычисления­ми без привлечения каких-либо новых понятий.

Наконец, приведем выражения для пуанкаре-зарядов в слу­чае фурье-разложений:

(12.4.1.9а)

гг>0

Если сравнить соотношения (12.4.1.8в) и (12.4.1.9а), то стано­вится ясно, что связь L₀ = 0 является спектральным уравне­нием, которое связывает квадрат массы струны т² = —Р² = = —р² с возбужденными состояниями струны.

Упражнения

1. Получите связи в виде (12.4.1.8).

2а. Пусть а — переменные, определенные следующим об­разом:

ао=—2аУ\ ai = i^/27^/nan (tt>0), a-_n = (««)*•

Вычислите скобки Пуассона этих переменных.

26. Покажите, что функции Вирасоро в новых переменных сИ принимают вид

^Млв ⁼ |(рАо-*лоРб) + тЕ ¹(^аАп^авп-Чп^аАп)- (12.4.1.96)

ОО

__oo

12.4.2. Замкнутые струны

Случай замкнутых струн рассматривается совершенно анало­гично случаю открытых струн. И это не удивительно, поскольку связи и в том, и в другом случае очень похожи.

Струна Намбу — Гото: классический анализ 133

Имеются только два технических отличия:

1. Так как границ не существует, в данном случае осцилля­торов оказывается в два раза больше. Стоячие волны могут возникать обоих типов или, что то же самое, могут возникать независимые бегущие волны, движущиеся вправо и влево. Сле­довательно, формулы разложения для Х^л и £Р_А имеют вид

Х^А(и) = X* + лР?~£ -±= (с£ ехр - ш + с*ехрта +

компл. сопр.), (12.4.2.1а)

-| -7== V V^rt (— ic^exp — ina — ic^expina + компл. сопр.).

^я^ ^а п=*\

(12.4.2.16)

Осцилляторные переменные с„ и с„ являются независимыми. Скобки Пуассона имеют вид

(12.4.2.2а)

, п» [К > К?\ - - ^^АВК п- («. «' > °)

(12.4.2.26) (все остальные скобки Пуассона равны нулю).

2. Число связей в данном случае также удваивается, так как Q⁺(o) и Q~~(e) теперь совершенно независимы. Генераторы Ви-расоро в новых осцилляторных переменных имеют вид

m>0 п-\

(12.4.2.3а)

такое же с заменой с на £, (12.4.2.36)

L-n = L*_n, !-„ = !;, (12.4.2.3в)

02.4.2.3Г)

(12.4.2.3Д)

134 Глава 12

Отсюда видно, что в связях L_n = 0 и Е_п = 0 правобегущие и левобегущие секторы, которые описываются осцилляторами с и с соответственно, почти всегда являются независимыми. Ис­ключение составляет лишь условие Lq— L₀ = 0 — спектральное соотношение, которое связывает оба сектора, а также тот факт, что нулевая мода рд не соответствует бегущей волне и является одновременно и правой и левой переменной.

Заметим также, что переход от выражений (12.4.1.8) для открытой струны к выражениям (12.4.2.3) для замкнутой стоу­ны осуществляется простой заменой р на р/2 и а на с (или с).

Так же, как в случае открытой струны, завершим рассмот­рение выражениями для пуанкаре-зарядов:

(12.4.2.4а)

Т Е ¹ (^слп^свп + с_Апс_Вп - с_Впс_Ап - с_Впс_Ап). (12.4.2.46)

Упражнение. Область изменений а иногда выбирается рав­ной [0, я] и считается, что поля периодичны с периодом л. Предложите правила, которые позволят переписать приведен­ные выше формулы в этой новой системе обозначений.