13.2.8. Разное

13.2.8а. Теорема об отсутствии духов в БРСТ-подходе

Теорема Като и Огавы показывает, что в разложении (13.2.6.18) бозонные состояния \Р{) и |Рг) фактически могут считаться "поперечными": их "продольная" часть, если она вообще суще­ствует, может быть устранена путем добавления к [ij;) подходя­щего состояния вида Q\%).

Поперечные состояния по определению являются состояния­ми, рождаемыми из вакуума операторами ДДФ. Эти операто­ры, которые будут строго определены ниже, соответствующим вирасоро-инвариантным способом обобщают операторы попе­речных осцилляции all, ctn и сводятся к ним в калибровке све­тового конуса. Они удовлетворяют тем же коммутационным со­отношениям. В результате они порождают состояния только с положительной нормой.

Это означает, что нормы состояний \Р\) и |Рг) положитель­ны. Следовательно, норма |^ф) может быть отрицательной толь­ко из-за нулевой духовой моды. Если с этой модой поступить так, как это было сделано в предыдущем разделе, величина <i|? | ij?) будет положительной — все состояния с отрицательной нормой оказываются устраненными из физического подпро­странства ("теорема об отсутствии духов"). Квантовой теории можно придать вероятностную интерпретацию.

Это основанное на БРСТ-методах доказательство теоремы об отсутствии духов кратко дано в приложении А. Показано, что оно является следствием квартетного механизма Куго и Од-зимы: фермионные духи сокращают изотропные колебательные моды, и остаются лишь моды поперечных колебаний.

Первоначальное доказательство теоремы об отсутствии ду­хов приведено в разд. 13.4.

13.2.86. Оператор числа духов

Оператор числа духов Q_c определяется следующим образом:

И, Qc] = gh(A)A. (13.2.8.I)

Здесь ^Ь(Л) — духовое число оператора Л, определяемое урав­нениями

_gh (Х^А) = gh (^_л) = 0, (13.2.8.2а)

gh(^^J-)-gh(ri^I)=l, (13.2.8.26)

gh (^_±) = gh(^,) = -1, (13.2.8.2b)

gh (AB) - gh (Л) + gh (5), (13.2.8.2r)

если gh(Л) = gh (В). (13.2.8.2д>

182 Глава 13

Только духи имеют ненулевое духовое число. Согласно этим определениям, gh(Q) =

[Q, Q_C] = Q. (13.2.8.3)

Коммутационные соотношения (13.2.8.1) определяют опера­тор Q_c с точностью до произвольной постоянной:

\ (or) т]- (а) + ^ (а) т]¹ (а)) da + const, (13.2.8.4)

которая может быть выбрана так, чтобы оператор Q_c был ан­тиэрмитовым:

#», (or) ц¹ {а) — т]¹ (or) ^i (or)] da. (13.2.8.5)

(В работе [31] постоянная в выражении (13.2.8.4) положена равной нулю. Такой выбор больше подходит к представлению, в котором q являются диагональными, в то время как форма (13.2.8.5) больше приспособлена к фоковскому представлению.) Интерес к оператору числа духов вызван тем, что физиче­ские наблюдаемые являются операторами с нулевым духовым числом, т. е. коммутируют с Q_c ^{):

[A, Q_c] = 0 (и [Л, G] = 0). (13.2.8.6)

В осцилляторных переменных выражение (13.2.8.5) принимает вид

Q_c = -t№-^⁰)- E \<?п-&Лп)- (13.2.8.7)

п >0

Оператор числа духов, хотя и является антиэрмитовым, тем не менее обладает вещественными собственными значениями. Это означает, что все его собственные состояния, исключая, возможно, состояния с нулевым собственным значением (если такие существуют), должны иметь нулевую или плохо опреде­ленную форму.

Благодаря присутствию нулевой моды в выражении (13.2.8.7) все собственные значения являются полуцелыми²). Это явление известно как «дробление числа духов» [19].

*) Как было показано [31], любая калибровочно-инвариантная классиче­ская наблюдаемая обладает БРСТ-инвариантным расширением, для которого выполняется уравнение (13.2.8.6). Но обратное может быть и неверно: суще­ствуют "БРСТ-наблюдаемые", удовлетворяющие уравнению (13.2.8.6) и не имеющие классического аналога при учете вырождения типа (13.2.6.18) [34].

²) При том же выборе постоянной в выражении (13.2.8.4), что и в со­отношении (13.2.8.5).

Квантование струны Намбу — Гото 185

13.2.8в. Конформная инвариантность в квантовой теории

При критической размерности d — 26 БРСТ-инвариантные рас­ширения связей

L% = [Q, &_п] = L_n + вклад духов (13.2.8.8)

замыкаются в соответствии с конформной алгеброй без цен­трального заряда [35]:

{n-m) L%_+m. (13.2.8.9)

Это означает, что преобразования, генерируемые при коммути­ровании величинами L'_m, образуют представление конформной группы.

Это прекрасно соответствует нашей интуиции, поскольку мы знаем, что нильпотентность Q, имеющая место только при <i=26_t эквивалентна калибровочной инвариантности на квантовом уровне. Кроме того, из выражения (13.2.8.8) видно, что опера­торы Ln при действии на физические состояния порождают ну­левые состояния:

11>-4 Ф> + e"L^ | Tt>) = | ф) + г^пп&_п | -ф) « | ф>, (13.2.8.10)

так что "калибровочная группа" действует тривиально на клас­сах эквивалентности физических состояний. Таким образом, квантовая теория является калибровочно-инвариантной и в этом более традиционном смысле.

Соотношением (13.2.8.10) можно воспользоваться для нало­жения ''калибровочного условия" в квантовой теории, например потребовать, чтобы представитель \\р) каждого класса эквива­лентности удовлетворял калибровочному условию светового ко­нуса (i|? |а+ 11|з)= 0 (см. ниже).

Следует помнить, однако, что соотношение (13.2.8.10) опи­сывает лишь подмножество всех калибровочных преобразований квантовой теории

>> а> (13.2.8.П)

(где |х> — произвольное состояние, зависящее от |i|)>). С этой точки зрения соотношение (13.2.8.11) является более фундамен­тальным, чем соотношение (13.2.8.10).

Легко видеть, что для физических состояний, удовлетворяю­щих "БРСТ-калибровочному условию"

(13.2.8.12)

половина всех преобразований (13.2.8.10) сводится к тожде­ственным, а именно преобразования, генерируемые L_n при

184 Глава 13

п ;> 0. Что касается остальных преобразований, то они дей­ствуют на состояние |я|з> нетривиально, хотя, конечно, порож­дают лишь нулевые состояния и в общем случае не сохраняют условия (13.2.8.12).

В некоторых других калибровочных теориях все калибро­вочные преобразования, аналогичные (13.2.8.10), сводятся к тож­дественным. Но соотношение (13.2.8.11) все же играет суще­ственную нетривиальную роль. Поэтому мы полагаем, что бо­лее уместно сосредоточить внимание на соотношении (13.2.8.11) и на всем аппарате БРСТ-формализма, чем лишь на одном со­отношении (13.2.8.10).

Упражнение

а. Вычислите точно L"_n.

б. Определите L*_n\i3p) для физических состояний (13.2.6.18).

в. Коммутирует ли Ln с оператором числа духов?