- •Фоковское пространство духов 224
- •Пуанкаре-инвариантность 233
- •59, 60 Вершинный оператор 58, 63, 66, 195
- •Сравнительная таблица обозначений, используемых в частях I и и
- •Глава 2
- •Глава 3
- •34 Глава 3
- •Глава 4 Суперструны
- •Глава 5 Гетеротическая струна
- •52 Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 6
- •66 Глава 6
- •Глава 7
- •Глава 8
- •78 Глава 8
- •Глава 9
- •Глава 10 Дальнейшие перспективы
- •Глава 10
- •Часть II Лекции по теории струн
- •Глава 11 Введение
- •Глава 12 Струна Намбу—Гото: классический анализ
- •12.1. Принцип действия
- •12.1.1. Действие Намбу — Гото
- •12.1.2. Действие в квадратичной форме
- •12.1.4. Калибровочные симметрии
- •106 Глава 12
- •12.1.5. Глобальные симметрии
- •12,1.6. Конформная симметрия
- •12.1.7. Граничные условия
- •112 , Глава 12
- •12.2. Гамильтонов формализм
- •12.2.1. Связи
- •12.2.2. Смысл условий связи — упрощение формализма
- •Глава 12
- •12.3. Более подробное описание алгебры связей
- •12.3.1. Явные вычисления
- •12.3.2. Условия Вирасоро
- •1. Открытая струна:
- •12.4. Фурье-моды
- •12.4.2. Замкнутые струны
- •12.5. Калибровка светового конуса
- •12.5.2. Калибровка светового конуса
- •12.5.3. Общее решение классических уравнений движения струны
- •144 Глава 12
- •12.5.4. Скобки Дирака как независимые степени свободы
- •12.5.5. Действие и гамильтониан в калибровке светового конуса
- •12.5.6. Генераторы алгебры Пуанкаре
- •150 Глава 12
- •Глава 13
- •13.1. Алгебра Вирасоро — общее рассмотрение
- •13.1.1. Введение
- •13.1.2. Операторы Вирасоро — фоковское представление
- •13.1.3. Алгебра Вирасоро
- •13.1.4. Сравнение связей Вирасоро с уравнением Уилера — Де Витта
- •15.1.5. Алгебра Вирасоро и алгебры Каца — Муди
- •13.1.6. Алгебра Вирасоро на искривленном фоне
- •1 3.2.1. Брст-квантование — краткий обзор
- •13.2.3. Фоковское пространство духов
- •13.2.5. Критическая размерность на искривленном фоне
- •13.2.6. Физическое подпространство
- •174 Глава 13
- •13.27. Замечания по поводу удвоения
- •13.2.8. Разное
- •13.3. Квантование в калибровке светового конуса
- •13.3.1. Пуанкаре-инвариантность квантовой теории
- •13.3.2. Описание спектра
- •13,3.3. Замкнутая струна — пуанкаре-инвариантность
- •13.3.4. Спектр (замкнутая струна)
- •13.4. Ковариантное квантование
- •13.4.2. Вершинный оператор
- •13.4.3. Состояния ддф
- •Глава 14
- •14.1. Локальная суперсимметрия в двух измерениях
- •14.2. Суперконформная алгебра
- •14.2.1. Квадратный корень из бозонных и фермионных связей
- •14.2.2. Граничные условия
- •14.2.26. Замкнутая струна
- •14.2.4. Генераторы Пуанкаре
- •14.3. Фурье-моды (открытая струна)
- •14.3.3. Генераторы Пуанкаре
- •14.3.4. Замечания для случая замкнутой струны
- •Глава 15 Фермионная струна: квантовый анализ
- •15.1. Бекки — Рюэ— Стора — Тютина (брст) квантование модели Неве— Шварца
- •15.1.1. Фоковское пространство духов
- •15.1.2. Брст-оператор
- •15.1.3. Критическая размерность
- •15.1.4. Структура физического подпространства
- •15.2. Бекки — Рюэ — Стора — Тютина (брст) квантование модели Рамона
- •15.2.1. Фоковское пространство духов
- •15.2.2. Брст-оператор
- •15.2.3. Критическая размерность
- •15.2.4. Структура физического подпространства
- •15.2.5. Замечания для случая замкнутой струны
- •15.3.1. Пуанкаре-инвариантность
- •15.3.2. Спектр Неве — Шварца
- •15.3.3. Спектр замкнутой струны Неве — Шварца
- •15.4. Квантование модели Района в калибровке светового конуса
- •15.4. 1. Пуанкаре-инвариантность
- •15.4.2. Спектр Рамона
- •15.4.3. Замкнутая струна
- •236 Глава 15
- •15.5. Суперсимметрия в десяти измерениях
- •15.5.1. Открытая струна
- •15.5.2. Замкнутая струна
- •Глава 16
- •16.1. Ковариантное действие
- •16.1.2. Инвариантное действие
- •16.1.3. Локальная суперсимметрия
- •16.1.4. Уравнения движения и граничные условия
- •16.1.5. Структура калибровочных симметрии
- •16.1.6. Суперзаряды Пуанкаре
- •16.1.7. Гамильтонов формализм
- •16.1.8. Калибровка светового конуса
- •256 Глава 16
- •16.2. Квантовая теория
- •16.3. Суперчастица
- •16.3.1. Действие — калибровочные симметрии
- •16.3.2. Суперзаряды Пуанкаре
- •260 Глава 16
- •16.3.4. Смысл связей
- •16.3.5. Модель Сиджела
- •16.3.6. Калибровка светового конуса
- •270 Глава 16
- •272 Глава 16
- •Глава 17 Гетеротическая струна
- •Для бозонной струны, основанное на брст-методах
- •Разложение десятимерных спиноров в калибровке светового конуса
- •Оглавление
- •Глава 13. Квантование струны Намбу—Гото 152
- •Глава 15. Фермионная струна: квантовый анализ
- •Глава 16. Суперструиа 239
- •Глава 17. Гетеротическая струна 274
12.3. Более подробное описание алгебры связей
12.3.1. Явные вычисления
Основные результаты канонического формализма можно сформулировать в виде следующих положений:
1. Переменными в гамильтоновом формализме являются координаты струны ХА(а), сопряженные импульсы £Ра (а) и лаг-
Струна Намбу — Гото: классический анализ 127
ранжевы множители N(a), Nl(a). Имеют место скобки Пуассона
[ХА(а), &в(а')] = бвб (а, а').
Кроме того, переменные подчиняются граничным условиям (12.2.3.3) в случае открытых струн и условиям периодичности в случае замкнутых струн.
2. Вся динамика струны содержится в связях
« 0, (12.3.1.2а) (12.3.1.26)
которые ограничивают допустимые начальные условия. Гамильтониан теории имеет вид
=^do (ЫЖ + №ЖХ)\ (12.3.1.3)
он равен нулю в слабом смысле; Ж (о) генерирует деформации струны ХА(а)у перпендикулярные струне, так как он умножается в выражении (12.3.1.3) на функцию хода; Ж\ (а) генерирует сдвиги, касательные к струне. Для получения выражений (12.3.1.2) не требуется никакой фиксации калибровки.
3. Скобки Пуассона связей образуют замкнутую алгебру. Эта алгебра эквивалентна конформной алгебре, или "алгебре Вирасоро":
[Ж (а), Ж(о')) = (Ж1(о) + Ж1(а/))6'(о, а'), (12.3.1.4а) or), Ж1(о')] = (Ж(о)+Ж(о'))6'(а, а'), (12.3.1.46) (а), Ж1{о')\ = (Ж1{о) + Ж1(о'))Ь'(оу о'). (12.3.1.4в)
Вследствие этих соотношений связи оказываются "первого класса" и сохраняются при эволюции во времени.
Явное доказательство соотношений (12.3.1.46) и (12.3.1.4в), которое мы до сих пор откладывали, облегчается, как только мы поймем, что Ж\(о) генерирует одномерные координатные преобразования о—>-в' — /(а), т. е.
[f(o), \ЖХ (а') I1 (а') do'] = gfiF, (12.3.1.5)
где ft обозначает оператор дифференцирования Ли. В самом Леле, находим, что
[ХА (or), J Жх (о') Iх (a') do'] = Iх (о) Г* (а) = %
128 Глава 12
(ХА — скаляры), а также
A (a), J Жх (а') V (а')
а—плотность веса 1). Отсюда мы получаем
[ж (a), J Жх (а7) I1 (а7) da'] = ^ = g1^)7 + 1пЖ (12.3.1.6а) — плотность веса 2) и [Ж{ (a), J ^! (a7) I1 (a7) da'] = 2Б^ — (g1^)' + Г J^i (12.3.1.66)
(Ж\ — ковекторная плотность веса 1). Поскольку соотношения (12.3.1.6) выполняются для произвольного одномерного векторного поля %1(а)у отсюда легко выводятся скобки Пуассона (12.3.1.46) и (12.3.1.4b).
Что касается скобок Пуассона (12.3.1.4а), то они получаются следующим образом:
[Ж (а), Ж ((/)] = - РА (а) Х'А (аО -^г 6 (а, а')
, a7), (12.3.1.7) где использованы свойства б-функции
д, а') = -^-6 (а, а7), (12.3.1.8а)
аОй'Са, а7) = F' (а) 6 (а, а7) + Z7(а) б7 (а, а'). (12.3Л.86)
12.3.2. Условия Вирасоро
Как мы уже показали, алгебра компонент тензора энергии-импульса (12.3.1.4) является конформной алгеброй в двух измерениях. Удобно работать в светоподобных координатах, в которых явно видна структура прямой суммы конформной алгебры в двух измерениях. Поэтому введем *)
(a) - 2я (Ж (а) ± Ж, (а)) - (У2S7 ^
(12.3.2.1)
Так как Та$ — бесследовый тензор (в светоподобных координатах это означает, что Г+^ = 0), величины Q+, Q- являются про-
*) Множитель 2я введен в (12.3.2.1) для согласования с общепринятыми обозначениями.
Струна Намбу—Гото: классический анализ 1291
сто компонентами Т++ и Т— тензора Та$. Введенные новые генераторы, как и ожидалось, удовлетворяют алгебре
[Q+ (a), Q+ (а7)] - 4я (Q+ (а) + Q+ (а')) б' (а, а'), (12.3.2.2а)
[<Э+(<т), Q""(aO] = O, (12.3.2.26)
[Q~ (a), Q" (а')] = -4я (<?" (а) + Q" (а7)) Л' (а, а'). (12.3.2.2в)
Для случая открытых струн переменные можно продолжить на интервал [—л, 0] с помощью правил симметрии, тогда для связей возникают следующие свойства симметрии по отношению к отражению:
(12.3.2.3)
Таким образом, одно условие
, (12.3.2.4)
заданное на всем интервале [—л, я], заключает в себе все связи [10].
Удобно ввести генераторы Вирасоро L[f]t заданные формулой
L[t] = -^\f(o)Q+(a)do. (12.3.2.5)
— л
В частности получаем
H L[N + Nl] (12.3.2.6)
Генераторы Вирасоро образуют замкнутую алгебру, соответствующую одномерной алгебре диффеоморфизмов:
[Llf], L[g}]-=Llfg'-f'g] (12.3.2.7)
(здесь fg' — f'g — вронскиан = одномерная скобка Ли).
Из алгебры (12.3.2.7) следует, что коэффициенты Фурье Ln ^ L[eina] связи Q+(a) удовлетворяют алгебре Вирасоро, которая в своей первоначальной форме имеет вид1)
[Lmt Ln] = i(n-m)Ln+m. (12.3.2.8)
Условия
Ln = 0 (12.3.2.9)
полностью эквивалентны каноническим связям. Они называются условиями Вирасоро для открытой струны. Легко
') Появление множителя i объясняется тем, что иа классическом уровне мы используем скобки Пуассона, поэтому здесь ие возникает также центрального заряда.
130 Глава 12
установить, что
(12.3.2.10)
В случае замкнутой струны связи Q+(cr) = O и Q-(a) = 0 являются независимыми. Соответственно этому появляются два набора генераторов Вирасоро:
2л
[a)QJ(o)do, (12.3.2.11а)
S (12.3.2.116)
О
Их компоненты Фурье определяются формулами
Ln гэ L [eina] = C_nJ (12.3.2.12а)
(12.3.2.126)
(знак минус в экспоненте введен для того, чтобы ниже была полная симметрия между генераторами Ln и Ln), и они удовлетворяют следующей алгебре:
[Lm, Ln} = i(n-tn)Ln^m, (12.3.2.13а)
[Lm, ГЛ] = 0, (12.3.2.136)
[Lmy Ln] = i(n-m)Ln + n. (12.3.2.13b)
В данном случае полный набор условий Вирасоро имеет вид
£«=0, Zm = 0. (12.3.2.14)
Соотношения (12.3.2.14) в точности эквивалентны гамильтоно-вым связям.
Упражнения