13.3.2. Описание спектра

Спектр струны состоит из бесконечного числа состояний, лежа­щих на линейно растущих "траекториях Редже". Эти траекто­рии дают "спин" состояний в зависимости от квадрата их массы:

/ —а'.М² + «отсекаемый отрезок». (13.3,2Л)

Первая траектория, для которой отсекаемый на оси ординат отрезок (интерсепт) равен +1, называется "основной траекто­рией" (рис. 13.1). Остальные траектории называются "дочер-

ними".

Это можно представить себе следующим образом. Вслед­ствие пуанкаре-инвариантности квантовой теории состояния рас­падаются на неприводимые представления группы Пуанкаре. Состояния характеризуются:

1) массой,

2} представлением малой группы, к которой они принадле­жат; соответствующей малой группой является SO(d—1) = = SO(25) для массивных состояний и 50(24) для безмассовых состояний.

Масса задается соотношением

а^гМ² = - а'Р_АР^А = N — a₀, (13.3.2.2)

где "номер уровня" N определяется выражением

N= Z па*_п%_п. (13.3.2.3)

п >0

Легко проверить, что N коммутирует со всеми генераторами Пуанкаре. Различные состояния, принадлежащие одному и

Рис. 13.1. Используя четырехмерное представление и понятие "спина", можно показать, что состояния бозонной струны ложатся на линейно растущие

траектории Редже.

Квантование струны Намбу — Гото 187

тому же представлению группы Пуанкаре, имеют одинаковый номер уровня.

Определение "спина" состояния немного более сложно. По­перечными индексами являются, очевидно, векторные SO (24) -индексы. Для безмассовых состояний первого возбужденного уровня N = 1 представление 50(24) определяется непосред­ственно. В случае массивных состояний оказывается, что раз­личные 50(24) -тензоры объединяются с образованием неприво­димого представления 50(25).

Первое состояние является основным состоянием, уничто­жаемым всеми осцилляторами:

// = 0, |0), а'М²=-1. (13.3.2.4)

Интерсепт схо равен единице, так что это скалярный тахион, что является недостатком бозонной модели.

Первое возбужденное состояние N — 1 есть безмассовый поперечный вектор (спин 1 — "фотон"):

#=1, а\*\0\ а'Л1²=0, 24 состояния. (13.3.2.5)

Так как при jV = 1 мы имеем только 24 состояния (а не 25, как требовалось бы в случае массивной малой группы), факти­чески мы могли бы догадаться, что эти состояния являются безмассовыми в том случае, когда лоренцева инвариантность реализуется на квантовом уровне. Но если первые возбужден­ные состояния обладают нулевой массой, основное состояние может быть только тахионом. Отсюда понятно, почему мы на­шли, что «о = 1-

Следующие состояния отвечают значению N = 2; мы имеем

М = 2, 4*| 0), а'М²=1, 24 состояния;

а{'а[*|0>, а'М²=\, 300 состояний. (13.3.2.6)

Они объединяются с образованием массивного представления группы Пуанкаре, отвечающего спину 2 (бесследовый симмет­ричный тензор 25X25 = 324 состояния). Следующие состояния при N = 3:

= 2; (13.3.2.7)

; \ \ 0), а'М²=-2.

Соответствующее массивное представление группы Пуанкаре уже не является приводимым. Получаем одно представление со "спином 3" и два со "спином 1": при N = 3 начинаются

188 Глава 13

новые "дочерние" траектории (заметим, что на рис. 13.1 имеются "дыры").

Аналогично производится анализ для высших уровней. Сле­дует упомянуть два пункта. Во-первых, количество состояний экспоненциально растет с увеличением номера N [9]. Во-вто­рых, состояния полностью определяются не одними осциллятор-ными числами заполнения, но также, конечно, их импульсами р¹ и р⁺. Зная р¹ и р+, можно вычислить р-. Результирующая компонента р° может быть как положительной, так и отрица­тельной, поэтому одновременно присутствуют состояния Х°, движущиеся по времени Минковского вперед (частицы), и со­стояния, движущиеся вспять (античастицы). Такие состояния обыкновенно идентифицируются для струны без дополнитель­ных квантовых чисел.