§ 4. Метод «затраты-выпуск» и модель межотраслевого баланса

Общая схема таблицы межотраслевого баланса

Важное место в прогнозировании экономического развития на национальном и региональном уровне во многих станах принадле­жит межотраслевым моделям на основе метода «затраты-выпуск». В нашей стране такой моделью является модель межотраслевого баланса (статического и динамического). Таблица межотраслевого баланса воплощает собой углубленное развитие системы нацио­нальных счетов во многих современных государствах. Она является развернутой по статьям «ресурсы» и «использование» таблицей продукции различных отраслей народного хозяйства, в которой промежуточное использование каждого продукта разнесено таким образом, чтобы показать, какое количество этого продукта потреб­ляется для производства каждого из остальных продуктов. В таб­лице во взаимосвязанном виде показаны счета производства раз­личных агентов.

Первые разработки современной модели межотраслевого ба­ланса (МОБ) (разработка метода «затраты-выпуск», лежащего в основе МОБ) связаны с именем известного американского эконо­миста, лауреата Нобелевской премии по экономике В. В. Леонтье­ва. Сегодня во всех развитых странах и во многих развивающихся межотраслевые модели «затраты-выпуск» являются одним из ос­новных инструментов интегрированного представления экономиче­ской системы и сценарного прогнозирования ее развития.

Основа межотраслевого моделирования по методу «затраты-выпуск» крайне проста.

Принципиальная схема межотраслевого баланса производства и распределения совокупного общественного продукта в стоимост­ном выражении приведена в табл. 5. В основу этой схемы положе­но разделение совокупного продукта на две части: промежуточный и конечный продукт; всенародное хозяйство представлено в виде совокупности п отраслей (имеются в виду чистые отрасли), при этом каждая отрасль фигурирует в балансе как производящая и как потребляющая.

160

В схеме МОБ выделяют четыре крупные составляющие части, имеющие различное экономическое содержание — квадранты ба­ланса (на схеме обозначены римскими цифрами).

Таблица 5 Принципиальная схема межотраслевого баланса³⁸

Производящие отрасли	Потребляющие			отрасли			Конечный		Валовой продукт
	1	2	3	...
					п
1	Хц	X12	Х13	...	In	Y		Xi
2	х21	Х22	Х23	...	Х2п	Y2		x2
3	Х31	Х32	Х33	...	Х311	Y3		X3
...	...	...	...	СО	...	(il)		...
п	Хд1	Хп2	ХпЗ	...	Хщ1	Yn		xn
Амортизация	Cl	с2	с3	...	сп
Оплата труда	vl	v2	v3	ли)	Vn	fivj
Чистый доход	ml	m2	m3	...	mn
Валовой продукт	Xj	х2	Х3		xn			XXi=xXj

Первый квадрант МОБ — это шахматная таблица межот­раслевых материальных связей. Показатели, помещенные на пере­сечении строк и столбцов, представляют собой величины межот­раслевых потоков продукции и в общем виде обозначаются хц, где i и / — соответственно номера отраслей производящих и потреб­ляющих. Так, величина х₃₂ понимается как стоимость средств про­изводства, произведенных отраслью номер 3 и потребленных от­раслью номер 2 (и являющихся ее материальными затратами). Та­ким образом, первый квадрант по форме представляет собой квад­ратную матрицу порядка п, сумма всех элементов которой равняется фонду возмещения затрат средств производства в мате­риальной сфере.

³⁸ Экономико-математические методы и прикладные модели / Под ред. В. В. Федо­сеева. М: ЮНИТИ, 1999. С. 234.

161

Во втором квадранте представлена конечная продукция всех отраслей производства, при этом под конечной понимается продук­ция, выходящая из сферы производства в область конечного ис­пользования (на потребление и накопление). В табл. 5 этот раздел дан укрупнено в виде одного столбца величин У;, обычно не более 75% всей произведенной продукции; в развернутой схеме баланса конечный продукт каждой отрасли показан дифференцированно по направлениям использования на личное потребление населения, общественное потребление, на накопление, возмещение потерь, экспорт и др. Итак, второй квадрант характеризует отраслевую структуру валового национального продукта (ВНП), или, иначе, национального дохода, а в развернутом виде — также распределе­ние национального дохода на фонд накопления и фонд потребле­ния, структуру потребления и накопления по отраслям производст­ва и потребления.

Третий квадрант МОБ характеризует национальный доход, но со стороны его стоимостного состава как сумму чистой продук­ции и амортизации; чистая продукция при этом понимается как сумма оплаты труда и чистого дохода отраслей. Сумма амортиза­ции (cj) и чистой продукции (vj + trij) некоторой /-Й отрасли будем называть условно чистой продукцией этой отрасли и обозначать в дельнейшем Z/.

Четвертый квадрант баланса находится на пересечении столбцов второго и строк третьего квадрантов. Этим определяется его содержание: он отражает конечное распределение и использо­вание национального дохода. В результате перераспределения пер­воначально созданного национального дохода образуются конечные доходы населения, предприятий, государства. Данные четвертого квадранта важны для отражения в межотраслевой модели баланса доходов и расходов населения, источников финансирования капи­таловложений, текущих затрат непроизводственной сферы, для анализа общих конечных доходов по группам потребителей. Общий итог четвертого квадранта, так же как второго и третьего, должен быть равен созданному за период национальному доходу.

Таким образом, в целом межотраслевой баланс в рамках еди­ной модели объединяет балансы отраслей производства, баланс со­вокупного общественного продукта, балансы национального дохода, финансовый баланс, баланс доходов и расходов населения.

162

Валовая продукция, хотя и не входит непосредственно в рас­смотренные четыре квадранта, представлена на принципиальной схеме МОБ дважды: в виде столбца, замыкающего таблицу справа, и строки, ограничивающей III и IV квадранты снизу. Они исполь­зуются как для проверки правильности заполнения квадрантов, так и для разработки собственно экономико-математической модели межотраслевого баланса.

Из таблицы баланса очевидно вытекает, что:

п

X'■ = 1Ху + Z ■; у = 1, 2, ...,и.

i=i

Это соотношение выражает балансовый характер таблицы. Также из таблицы следует:

п

Xi=^y21 Xij+Yi; '=1, 2, ..., И.

]=\

Это система из п уравнений, которые называются уравнениями распределения продукции отраслей производства по направлениям использования.

Просуммировав уравнения первого типа по всем отраслям, по­лучим:

п п п п

2X/= 1 1 X9+ 1 Zr

j=1 j=\ i=l i=\

Аналогичное суммирование уравнений второго типа дает:

п п п п

1 Xi = 1 1^У + 1^.

i=\ i=\ j=\ i=\

Отсюда должно соблюдаться соотношение:

br-bi.

j=1 i=1

Это равенство (основное тождество межотраслевого баланса) показывает, что в межотраслевом балансе соблюдается принцип единства материального и стоимостного состава национального до­хода (или валового национального продукта — ВНП).

163

Уравнения, из которых состоит аналитическая система МОБ, включают в себя два вида соотношений: балансовые и структур­ные. Балансовые соотношения просто показывают, что в каждый период времени для каждого продукта общий объем его производ­ства и общий объем его потребления, иными словами, общая вели­чина наличного предложения и общая величина спроса должны быть равны. Экспорт и импорт, равно как и увеличение, и умень­шение запасов по сравнению с их объемом на начало периода (го­да), включаются в соответствующие балансовые уравнения.

Подавляющая часть исходной фактической информации, ис­пользуемой для составления МОБ, содержится в структурных соотношениях модели. Они описывают количественные соотноше­ния между затратами и выпуском каждой отрасли (так называемые производственные функции). Для целей детального анализа такая информация черпается, как правило, из специальных источников; при построении более агрегированных систем, предназначенных для описания всего народного хозяйства, главным источником ко­личественного характера являются данные, обычно собираемые ор­ганами государственной статистики.

Статическая модель межотраслевого баланса — модель «затраты-выпуск»

Основу информационного обеспечения балансовых моделей в экономике составляет матрица коэффициентов затрат ресурсов по конкретным направлениям их использования. Основу информаци­онного обеспечения МОБ составляет технологическая матрица мо­дели «затраты-выпуск», содержащая коэффициенты прямых мате­риальных затрат на производство единицы продукции. Эта матрица является основой экономико-математической модели межотрасле­вого баланса. Предполагается, что для производства единицы про­дукции в /-Й отрасли требуется определенное количество затрат продукции i-я отрасли, равное

^хц ^аа = — • ^Х ]

Эти значения и содержит технологическая матрица.

164

Исходные данные реальных хозяйственных объектов не могут быть непосредственно использованы в балансовых моделях, поэтому подготовка информации для ввода в модель является весьма серьез­ной проблемой. При построении модели межотраслевого баланса ис­пользуется специфическое понятие чистой (или технологической) от­расли, т. е. условной отрасли, все производство данного продукта, независимо от ведомственной (административной) принадлежности и форм собственности предприятий и фирм. Разумеется, такое пред­ставление об отрасли является в значительной мере абстракцией, однако представление об отрасли в указанном выше смысле полез­но, т. к. оно позволяет провести анализ сложившейся производст­венной структуры народного хозяйства с учетом сложившихся тех­нологических связей. Переход от хозяйственных отраслей к чистым отраслям требует специального преобразования реальных данных хозяйственных объектов, например агрегирование отраслей, исклю­чение внутриотраслевого оборота и др.

В. В. Леонтьев, рассматривая развитие американской экономи­ки в предвоенный период, обратил внимание на важное обстоя­тельство. Величины ац остаются постоянными в течение ряда лет. Это обусловливается примерным постоянством используемой тех­нологии и делает возможным эффективное использование модели в прогнозировании. Обычно коэффициенты модели играют роль кон­стант, выясняемых в ходе специальных межотраслевых обследова­ний предприятий (впрочем, существуют и методы перерасчета ко­эффициентов, в том числе с учетом технологических изменений, без проведения специальных дополнительных межотраслевых об­следований).

В соответствии со сказанным постоянный коэффициент ац по­стулирует линейность существующей технологии. Принцип линей­ности распространяется и на другие виды издержек, а также на нормативную прибыль.

В общем виде модель «затраты-выпуск», записанная с учетом коэффициентов модели, выглядит так:

Xj =a_nX_x +а_пХ₂ +... + а_ыХ_п +Y_X

, ^Х2 = ^а2\^Х\ + «22^2 + - + ^а2„^Х„ + Y2

Х_п = а_п1Х_х + а_п2Х₂ +... + а_ппХ_п + 7„ 165

Систему таких уравнений удобно представить в матричной записи:

X =AX + Y,

где X = (X₁,X₂,...,X_n) — вектор-столбец валового выпуска; Y = (Y₁,Y₂,...,Y_n)— вектор-столбец конечной продукции (конечного потребления); А — технологическая матрица (коэффициентов пря­мых затрат), квадратная матрица вида

aп "• a1n

A

Vanl ''' ann

Если конечный спрос Y_h Y₂ Y_n, потребляемых домохозяйства-ми и всеми остальными и всеми остальными секторами конечного потребления, предполагается заданным, то эта система может быть решена и могут быть найдены величины совокупных выпусков Х_ъ Х₂, ..., Х_п После этого возможно провести вычисления, позволяющие определить и величины межотраслевых потоков финансовых ресур­сов и продукции в экономике, величины потребления различных ее секторов и результаты их деятельности (в основном, с помощью ко­эффициентов затрат модели).

Для решения такого рода задачи, являющейся основной про­гнозной (и плановой) задачей, решаемой на базе модели, использу­ется аппарат матричной алгебры. Искомые величины валового вы­пуска X находятся в результате решения выражения

X = {E-A)'^lY.

Матрица Е — единичная матрица той же, что и матрица А, размерности, матрицу (E — A} также называют матрицей коэф­фициентов полных затрат модели. Она учитывает как прямые, так и косвенные затраты всех порядков.

Такая конструкция модели предъявляет определенные требова­ния к качеству ее элементов. Только в том случае, если все эле­менты обратной матрицы (E-A)'¹ неотрицательны, для любого за­данного множества конечных поставок Y_h Y₂, ..., Y_n всегда сущест­вует комбинация положительных совокупных выпусков Х_ъ Х₂, ...,

166

Х„, способных обеспечить эти поставки. Это условие продуктивно­сти матрицы технологических коэффициентов.

Для того чтобы матрица коэффициентов прямых материальных затрат А была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы вы­полнялись следующие критерии³⁹:

1. матрица(е-А)'¹ существует и все элементы неотрицательны;

2. более простым, но только достаточным признаком продук­тивности матрицы А является ограничение на величину ее нормы, т. е. на величину наибольшей из сумм элементов матрицы А в ка­ждом столбце. Если норма матрицы А строго меньше единицы, то эта матрица продуктивна; однако матрица А может оказаться про­дуктивной и в случае, когда ее норма больше единицы.

В модели для страны или региона, осуществляющих торговлю с зарубежными странами, экспорт может быть представлен положи­тельными, а импорт — отрицательными компонентами конечного спроса. Коэффициенты затрат эндогенных секторов и, следователь­но, структурная матрица системы и ее обратная матрица остаются такими же, как и раньше. Добавятся лишь значения экспорта и импорта с соответствующим знаком в столбец конечного спроса:

Y₁ =С_г +е_г, Y₂ =C₂ +e₂, ... Y_n =C_n+e_n.

Если импорт товара i, т. е. отрицательная величина е-_ь окажет­ся больше конечного внутреннего потребления этого товара, соот­ветствующий «чистый» конечный спрос Y_t уменьшается, валовой выпуск всех секторов, и особенно валовой выпуск Х-_ь должен (как правило) уменьшаться. Х_г■ = О — весь спрос (прямой и косвенный) покрывается импортом. Величины Q представляют собой значения внутреннего потребления продукции отрасли — спрос на нее всех остальных секторов конечного потребления, кроме продукции для экспорта-импорта.

Так как в открытой системе межотраслевых связей домохозяй­ства считаются сектором конечного спроса (экзогенным), его сово­купный продукт Х_пА, т. е. совокупная занятость, обычно не рас­сматривается в качестве неизвестной величины, в системе уравне­ний не фигурирует. После определения величины выпусков эндо-

³⁹ Кроме названных, существуют и другие критерии продуктивности матрицы коэффициентов затрат.

167

генных секторов X_ъ X₂, ..., X_n общая занятость может быть вычисле­на на основе следующего дополнительного и не входящего в об­щую систему уравнения:

X n+1 ^— an+1.2X "■" an+\.2X2 +••• + an+\.nX n """ Yn +1 •

Коэффициенты a_nni представляют собой коэффициенты трудоза­трат по отраслям, которые могут определяться в процессе межотрас­левого обследования аналогично другим затратным коэффициентам.

Цены в системе межотраслевых связей определяются из систе­мы уравнений: цена единицы выпуска соответствующего сектора должна быть равна совокупным издержкам в процессе производст­ва этой продукции.

Издержки

• оплата затраченных ресурсов, «покупаемых» у этого и дру­гих секторов;

• добавленная стоимость.

Межотраслевая модель цен представляет собой систему, схо­жую с моделью производства продукции:

P = a_пP_х + a₂₁P₂ +... + a_n1P_n + V_x ,P₂=a_uP₂+a₂₂P₂+... + a_2nP_n+V₂

P_n = a_1nX_г + a_2nX₂ +... + a_nn X_n + V_n

или в матричной форме:

P = A^TP + V.

Здесь V представляет собой «платежи» каждого сектора всем экзогенным секторам (секторам конечного спроса) в расчете на единицу его продукции. Обычно это:

• заработная плата;

• процент на заемный капитал и предпринимательская прибыль;

• налоги, выплачиваемые правительству и другим секторам конечного спроса.

Аналогично решению предыдущей системы уравнений для вы­пусков решение системы уравнений для цен позволяет определить цены всех продуктов на основе заданных величин добавленных стоимостей (на единицу выпуска) в каждом секторе:

168

Р = ^Е-А)^Л) V.

В связи с тем что схема учета структуры затрат в этой модели по сравнению с предыдущей изменена, матрица технологических коэффициентов затрат А при расчетах по модели цен должна быть транспонирована. Каждая строка коэффициентов ац, участвующая в формировании системы уравнений для выпусков, образует соот­ветствующий столбец коэффициентов, участвующих в формирова­нии системы уравнений для цен.

Внутреннее единство стоимостных и физических взаимосвязей в рамках открытой системы межотраслевых связей подтверждается следующим тождеством, полученным на основании уравнений обе­их моделей:

X_XV_X +X₂V₂ +... + X_nV_n = Y_XP_X +Y₂P₂ +... + Y_nP_n.

Помимо рассмотренного статического варианта межотраслевого баланса существует модель динамического межотраслевого балан­са, которая позволяет на основе прогнозируемых величин прироста основного капитала в отраслях экономики рассчитать величины конечного потребления и валового выпуска, исходя из повышаю­щихся производственных возможностей отраслей.

Динамическая модель межотраслевого баланса

Затраты на поддержание функционирования экономической сис­темы национального, регионального, муниципального уровней не сводятся только лишь к текущим производственным затратам. На­мечаемый или прогнозируемый уровень производства зависит и от состояния основных производственных фондов (ОПФ) экономики. Учитывая влияния основных фондов на объемы производимой про­дукции, включим в межотраслевую модель «затраты-выпуск» кон­станты и переменные, характеризующие их.

Пусть в отрасли / при выпуске величины Xj продукции, поми­мо текущих затрат хц, используется некоторое количество основных производственных фондов Фу (станки, здания, оборудование и т. д. в стоимостном выражении). Тогда коэффициентом прямой фондо­емкости отрасли / в модели «затраты-выпуск» будет величина

169

_л

X

j = 1,п,

равная количеству ОПФ отрасли /', затрачиваемых при выпуске единицы продукции этой отрасли (в стоимостном выражении). Коэффициенты // расположим на главной диагонали матрицы

/ =

J2

•'.

0

размеров п × п — матрица коэффициентов прямых фондоемкостей. Отсюда

/х!=Ф

баланс фондоемкостей,

где Ф = (Ф₁,Ф₂,...,Ф„)^Г — вектор ОПФ в стоимостном выражении.

Любой процесс протекает во времени, причем процессы произ­водства зависят от наращивания объема расходов сырья и материа­лов, возрастая лишь до определенного предела, после которого рост уровня производства невозможен без роста ОПФ. Динамическая модель «затраты-выпуск» тогда должна включать в себя и блок расчета того объема ОПФ, который необходим для наращивания объемов выпуска продукции.

Затраты на увеличение объемов ОПФ (инвестиции) являются элементом вектора конечной продукции, который в связи с этим в рассматриваемый момент времени t можно представить как сумму расходов на собственно удовлетворение потребления Q и инвести­ции 1{.

Y_t =I_t+C_t.

Вектор инвестиций, вложенных в периоде времени [/,/ + 1], по­зволяет увеличить величину ОПФ на некоторый объем ДФ₍:

ДФ, =Ф,₊₁ -Ф_{.

Связь векторов приращения ОПФ положим линейной:

ДФ₍ и инвестиций It пред-

170

I_t = ОхдЩ, где D — квадратная матрица, каждый элемент которой равен ко­личеству продукции отрасли i, необходимому для приращения на единицу (в стоимостном выражении) ОПФ отрасли /'. Коэффициен­ты йц — коэффициенты капиталоемкости приростов ОПФ.

Из баланса ОПФ следует и связь ДФ₍ с приростом AX_t = = X_t+1 - X_t валовых выпусков:

fxAX = АО

Отсюда можно получить модель связи инвестиций с приростом валовых выпусков:

I_t =Dxfx AX_t =Kx AX_t,

где K = Dxf— матрица коэффициентов капитальных затрат (ка­питальных коэффициентов). Капитальный коэффициент кц пред­ставляет собой определяемый технологией запас особого типа благ — машин, механизмов, инструментов, зданий и сооружений, «рабочих запасов» первичных и промежуточных материалов, про­изводимых отраслью i и используемый в отрасли / для производст­ва единицы продукции.

Капитальные коэффициенты связывают прирост валовых вы­пусков AX_t с инвестициями I_t в момент времени t. Свяжем вектор Y с вектором AX_t:

Y_t =KxAX_t+C_t.

Отсюда, используя равенство АХ + Y = X, можно вывести

X_t -AX_t -KxAX_t =C .

Это и будет открытой динамической моделью Леонтьева с дис­кретным временем.

Полная структурная форма динамической межотраслевой мо­дели «затраты-выпуск» представим в виде:

X_t -AX_t -KxAX_t = C_t; KxAX_t =I_t; ■ fxAX_t =Дф I_t+C_t=Y_t; (E-A)xAX_t =AY_t.

171

Здесь А и К, f — матрицы коэффициентов системы, при t = О величины X и С — экзогенные, остальные переменные эндогенные.

Эта модель может быть использована для определения такого вектора валового выпуска X, который, с одной стороны, был бы сам обеспечен необходимыми производственными фондами Ф, а с дру­гой — сам обеспечивал бы желаемый уровень конечного спроса (уровень потребления). Она позволяет постепенно приблизиться к искомому вектору Хт, отправляясь от заданных величин Х₀, С₀, Ф₀. Итогом работы с моделью будет последовательность

(х₀,Ф₀,С₀\(х₁,Ф₁,С₁),...(х_т ,Ф_Т ,Y_T =C_T),

в которой каждая тройка удовлетворяет модели

АХ + Y =Х; /хХ = Ф.

В этой модели вектор Ф часто приходится принимать как экзо­генный, что и обусловливает необходимость представленной дина­мической модели. Вектор Yj , входящий в последнюю тройку, равен желаемому конечному спросу. Таким образом, приведенная дина­мическая модель отражает динамический процесс капитального строительства в экономике.

Приведенная форма динамической межотраслевой модели «за-траты-выпуск», позволяющая последовательно выразить все эндоген­ные переменные через экзогенные, выглядит следующим образом:

AX_t =K~¹x((E-A)x_t-C_t),I_t = KxAX_t;

ДШ= fxAX_t; Y_t=I_t+C_t; AY_t = (E-A)xAX_{ ;

t = \T.

Заметим, что переход именно к такой форме приведенной ди­намической модели возможен только в случае, когда матрица К невырождена и существует К'¹. Предположение несколько обреме­нительное, ведь могут существовать отрасли, не производящие ос­новных фондов, а значит, матрица К будет иметь нулевые строки. Преодолеть его возможно либо на этапе выделения отраслей, включаемых затем в I квадрант МОБ, либо, например, путем ис­пользования блочной матрицы К.

172

Кроме того, на базе модели межотраслевого баланса можно строить различные линейные оптимизационные модели. С помощью метода линейного программирования модель может быть развита и дополнена, в нее привнесены планово-целевые начала.