§ 7. Анализ сложных суждений с помощью семантических таблиц

Построение таблицы истинности дает нам исчерпывающий анализ суждения, с точки зрения условий его тождественной истинности, ложности или выполнимости.

Однако таблица истинности, если в состав сложного суждения входят несколько простых суждений, может быть весьма велика и даже громоздка, скажем, при шести составляющих сложное суждение простых суждений, число ее строк 2⁶ = 64.

Существует иной и в ряде случаев более удобный способ выяснить, является данное сложное суждение тождественно-истинным или нет.

Напомним, что сложное суждение может быть истинно при определенных значениях входящих в него простых суждений и ложно при других значениях этих же суждений. В этом случае такое сложное суждение будет считаться выполнимым.

Если же сложное суждение истинно при любых значениях входящих в него простых суждений, оно будет считаться тождественно-истинным.

Семантическая таблица представляет собой, в принципе, две колонки, заполняемые формулами по определенным правилам. Правая колонка представляет считающиеся ложными формулы, левая — формулы, считающиеся истинными. Общая схема работы с семантическими таблицами состоит в том, что мы помещаем начальную формулу (тождественную истинность которой хотим доказать) в правую колонку таблицы (как бы предполагая, что эта формула ложна), а затем стремимся прийти к логическому противоречию, возникающему в том случае, когда одна и та же формула оказывается в таблице и слева, и справа. Логика здесь такова: записывая сложное суждение в виде формулы в правую часть таблицы (в правую колонку), мы постулируем, что эта формула как бы ложна. Разлагая далее эту формулу на ее составляющие по определенным правилам, мы стремимся получить одинаковую формулу в левой и правой частях таблицы, что означает логическое противоречие. Такая таблица будет называться замкнутой. Если же мы, постулировав ложность данной формулы, пришли к логическому противоречию, — значит, эта формула истинна.

Правила построения семантических таблиц

1. (Ш) справа (формула со знаком отрицания в таблице справа) — если формула вида ША имеется в правой части таблицы, то в левой ее части пишем А.

Например:

2. (Ш) слева — если формула вида ША имеется в левой части таблицы, то в правой ее части пишем А.

3. (Ъ) справа (формула со знаком нестрогой дизъюнкции в таблице справа) — если формула вида А Ъ В имеется в правой части таблицы, то далее в той же правой части таблицы пишем формулы А, В.

Пример использования обоих правил:

4. (Ъ) слева — если формула вида А Ъ В имеется в левой части таблицы, то образуем две новые подтаблицы и в левой части одной из них пишем А, а в левой части другой — В.

Например:

Существенно иметь в виду, что таблицы (подтаблицы) (2), (3) являются как бы продолжением таблицы (1).

Появление подтаблиц модифицирует условие доказательства тождественной истинности начальной формулы. Если начальная таблица в ходе доказательства распадается на две или более подтаблиц, то искомое доказательство имеет место, только если в итоге все они окажутся замкнуты. Подтаблица считается замкнутой при тех же условиях, что и таблица.

5. (&) справа (формула со знаком конъюнкции в таблице справа) — если формула вида А & В имеется в таблице справа, то образуем две новые подтаблицы и в правой части одной из них пишем А, а в правой части другой — В.

Например:

6. (&) слева — если формула вида А & В имеется в левой части таблицы, то в той же части пишем формулы А, В.

Например:

Пояснение: (С Ъ D) — это как бы формула А, (А Ъ ШВ) — формула В.

7. (є) справа (формула со знаком строгой дизъюнкции в таблице справа) — если формула вида А є В находится в таблице справа, то образуем две новые подтаблицы, в одной из них пишем А, В слева, а в другой — А, В справа.

Например:

Пояснение: уточним, что в результате применения данного правила замыкания таблиц (2) и (3) не проходит, ибо, будучи альтернативными, они могут быть замкнуты лишь внутри себя или с помощью таблицы (1).

8. (є) слева — если формула вида А є В имеется в левой части таблицы, то образуем две новые подтаблицы, в одной из них А пишем справа, а В — слева, а в другой наоборот: А пишем слева, а В — справа.

Например:

Пояснение: как и в предыдущем случае применение данного правила не приводит к замыканию таблицы, ибо таблицы (2) и (3) представляют собой альтернативы и могут сопоставляться лишь с «породившей» их таблицей (1).

Рассмотрим пример:

1 шаг Ш(А & В) Ъ (А Ъ В) –

2 шаг Ш(А & В) –

3 шаг А Ъ В –

4 шаг А & В –

5 шаг А –

6 шаг В –

7 шаг А –

8 шаг В –

Теперь проанализируем шаги доказательства:

1 шаг — записали интересующую нас формулу справа в таблице.

2–3 шаги — данная формула по главному логическому союзу — нестрогая дизъюнкция; нестрогая дизъюнкция, как мы знаем, ложна, только если оба входящих в нее дизъюнкта ложны. Поэтому, применив соответствующее правило, пишем эти дизъюнкты в таблице справа (заметим попутно, что анализ формулы, проводимый с помощью семантических таблиц, начинается с главного логического союза (а не заканчивается им, как это было при построении таблиц истинности)).

4 шаг — если формула со знаком отрицания ложна, то она же, но без знака отрицания, будет истинна. Применим по этому поводу правило (Ш справа).

5–6 шаги — аналогичны 2 и 3 шагам.

7–8 шаги — если у нас слева конъюнкция, то она истинна только при истинности обоих конъюнктов. Следовательно, применив соответствующее правило, мы пишем каждый из них в таблицу слева.

Таблица замкнута, поскольку одна и та же формула (в данном случае даже одни и те же формулы А и В) появилась в таблице слева и справа. Мы пришли к противоречию, означающему, что начальная формула тождественно-истинна.

Тире справа от таблицы означает законченность данного шага.

Разберем по данному поводу построение одной и той же таблицы при законченном первом (таблица — а) и законченном втором (таблица — б) шагах.

а) б)

Ш(А & В) Ъ С – Ш(А & В) Ъ С –

Ш(А & В) Ш(А & В) –

С С

А & В

Как мы видим, шаг считается законченным, когда в таблицу записаны все последствия применения правил к имеющейся на этом шаге формуле.

Однако даже последовательное применение всех правил не гарантирует нам того, что таблица может замкнуться.

Например:

Пояснение: если у нас уже есть одно вхождение формулы с определенной стороны таблицы и может появиться еще одно с той же стороны (в данном случае формула ША на втором и после третьего шага), то второе вхождение мы опускаем в целях экономии.

Таблица незамкнута. Это значит, что формула ША Ъ (В Ъ ША) не является тождественно-истинной.

Важно отметить, что незамкнутая таблица указывает нам на опровергающую модель рассматриваемой формулы.

То есть формула ША Ъ (В Ъ ША) ложна, если суждение А — истинно, а суждение В — ложно.

Разберем еще несколько примеров использования семантических таблиц. Является ли тождественно-истинной формула

Ш(ША Ъ В) Ъ Ш(А & ШВ)

Комментарий к рассмотренному примеру:

2–3 шаги — применения правила (Ъ справа).

4–5 шаги — применения правила (Ш справа).

6 шаг — применение правила (Ъ слева) к формуле четвертого шага.

7–8 шаги — применения правила (А слева) к формуле пятого шага. Отметим здесь попутно, что хотя (А слева) не предполагает деления таблицы на подтаблицы, но поскольку это уже произошло на предыдущем шаге, то результаты применения правила (А слева) вписываются в обе подтаблицы.

9–10 шаги — применения правила (Ш слева). На девятом шаге замыкается и левая, и правая подтаблицы и десятый шаг, в общем, избыточен.

Еще один пример: является ли формула Ш(Ш А Ъ (А Ъ С)) тождественно-истинной?

Формула не является тождественно-истинной, поскольку таблица и подтаблицы незамкнуты. Зато мы имеем «опровергающую модель», точнее две «опровергающие модели».

Рассматриваемая формула ложна в случае, когда суждение А — ложно, а также в случае, когда суждение А — истинно и суждение С — тоже истинно.