§ 6. Логический анализ сложных суждений

Суждения¹, с точки зрения их логического значения, могут быть истинными или ложными. Но если истинность и ложность простых суждений определяется соответствием сообщаемой в них информации реальному положению вещей (то есть зависит от внеязыковых факторов), то истинность или ложность сложного суждения определяется не только входящими в него простыми суждениями, но и логической структурой данного сложного суждения. Следовательно, логический анализ сложного суждения предполагает умение перевести сложное предложение с естественного языка на язык логики, представив его в виде формулы.

Кроме того, предполагается возможность получить для данной формулы таблицу истинности, из которой будет следовать, к какому классу суждений (с точки зрения истинности) принадлежит данное. С точки зрения истинности или ложности сложные суждения бывают тождественно-истинными, тождественно-ложными и выполнимыми.

Выражение сложного суждения с помощью формулы

Рассмотрим какое-нибудь сложное суждение, например, фразу из дневника римского императора и философа Марка Аврелия: Если обстоятельства понудят тебя изменить своему душевному равновесию, то поспеши вернуться к самому себе и не отступать сверх необходимости от размеренных движений своей души. Формула данного сложного суждения определена союзами если.., то… и. Между ними оказались три простых суждения:

Обстоятельства понудят тебя изменить своему душевному равновесию — суждение А.

Поспеши вернуться к самому себе — суждение В.

Не отступать сверх необходимости от размеренных движений своей души — суждение С.

В итоге получается формула А Й (В & С).

Число простых суждений, входящих в сложное суждение, может быть больше, чем два или три. Для примера возьмем какое-нибудь предложение, выражающее сложное суждение, например текст из известной песни В. Высоцкого:

«Я, например, на свете лучшей книгой

Считаю кодекс уголовный наш;

И если мне неймется и не спится

или с похмелья нет на мне лица,

Открою кодекс на любой странице и не могу, читаю до конца».

Читателю предоставляется возможность самостоятельно убедиться в том, что данное сложное суждение выразимо и в виде формулы: А & ((В & С Ъ D) Й (Е & F)), которая читается как: «А и если B и С или Д, то Е и F», где

А — суждение Я, например, на свете лучшей книгой считаю кодекс уголовный наш;

В — суждение Мне неймется;

C — суждение Мне не спится;

D — суждение С похмелья нет на мне лица;

Е — суждение Я открою кодекс на любой странице;

F — суждение И не могу, читаю до конца.

Понятно, что в сложном предложении грамматическая форма некоторых простых суждений дана в сокращенном виде, и мы имеем право ее раскрыть, что и сделано выше.

Может возникнуть вопрос относительно дизъюнкции (то есть союза или — строгая она или нестрогая. Поскольку на человеке, которому неймется и не спится, вполне может «не быть лица» с похмелья, то перед нами дизъюнкция нестрогая, то есть или… или… .

Насколько грамматическая форма сложного суждения может не совпадать с его логической формой, можно понять при анализе, например, статьи 183 УК РСФСР: «Понуждение свидетеля, потерпевшего или эксперта к даче в суде либо при производстве предварительного следствия или дознания ложных показаний, совершенное путем угрозы убийством, насилием, истреблением имущества этих лиц или их близких и равно подкуп свидетеля, потерпевшего или эксперта с целью дачи ими ложных показаний, наказывается лишением свободы на срок до двух лет или исправительными работами на тот же срок».

Если принять:

за суждение А₁ предложение Понуждение свидетеля к даче в суде ложных показаний;

за суждение А₂ предложение Понуждение свидетеля к даче при производстве предварительного следствия ложных показаний;

за суждение А₃ предложение Понуждение свидетеля к даче при производстве дознания ложных показаний;

соответственно: суждения Б₁ – Б₂ будут касаться потерпевшего;

суждения В₁ – В₂ будут касаться эксперта;

далее:

угроза убийством этих лиц с целью дачи ими ложных показаний — суждение Г₁;

угроза насилием этих лиц с целью дачи ими ложных показаний — суждение Д₁;

угроза истреблением имущества этих лиц с целью дачи ими ложных показаний — суждение Е₁;

угроза убийством близких этих лиц — суждение Г₂;

угроза насилием над близкими этих лиц — суждение Д₂;

угроза истреблением имущества близких этих лиц — суждение Е₂;

и наконец:

подкуп свидетеля с целью дачи им ложных показаний — суждение Ж;

подкуп потерпевшего с целью дачи им ложных показаний — суждение З;

подкуп эксперта с целью дачи им ложных показаний — суждение К;

лишение свободы на срок до двух лет — суждение М;

исправительные работы на тот же срок — суждение Н.

То в итоге сложное суждение, выражающее данную статью уголовного кодекса, примет вид:

((А₁ Ъ Б₁ Ъ В₁) Ъ (А₂ Ъ Б₂ Ъ В₂) Ъ (А₃ Ъ Б₃ Ъ В₃)) &

((Г₁ Ъ Д₁ Ъ Е₁) Ъ (Г₂ Ъ Д₂ Ъ Е₂) Ъ (Ж Ъ З Ъ К)) Й (М Ъ Н).

Данный пример указывает на то, что всякий юридический текст насыщен логическими связями, без анализа которых невозможно его правильное понимание.

Таблицы истинности для сложных суждений

Истинность или ложность сложного суждения можно определить, построив для него таблицу истинности.

Рассмотрим пример:

суждение Ш(А & В) Й (ША Ъ ШВ) будет иметь следующую таблицу истинности:

Перед нами тождественно-истинная формула, то есть сложное суждение, принимающее значение истина при любых значениях, входящих в нее простых суждений.

Если в итоговом столбце таблицы истинности наряду с истинными суждениями находятся ложные, то перед нами формула, которая называется выполнимой.

Если же в итоговом столбце все значения — ложь, то тогда перед нами будет невыполнимая или, иными словами, тождественно-ложная формула.

Разберем сложное суждение вида

((А Й В) & (В Й С)) Й (А Й С).

Сколько строк будет в соответствующей таблице истинности? Оно определяется формулой — 2ⁿ, где n — количество простых суждений, входящих в данное сложное суждение.

Значит, в рассматриваемом нами примере в таблице будет 8 строк. При этом мы должны получить для входящих в это сложное суждение простых суждений все возможные между ними сочетания по истинности и ложности.

Итак, сначала мы определили в таблице истинностные значения всех простых суждений, входящих в формулу. Теперь, зная свойства логических союзов, заполнив соответствующие столбцы, можем получить значения подформул данной формулы:

(А Й В), (В Й С), (А Й С).

После этого, соответственно, можно определить истинностное значение формулы.

(А Й В) & (В Й С).

В результате таблица примет следующий вид:

Выделенный курсивом столбик истинностных значений — последний, поскольку определяет значение главного в данной формуле союза.

Истинностное значение всего сложного суждения определяется по истинностному значению главного логического союза.

Логический союз, чье истинностное значение может быть определено в таблице в последнюю очередь (когда истинностные значения всех остальных логических союзов уже выяснены), называется главным логическим союзом. В данном примере главный логический союз — это импликация. Закончив последний из оставшихся столбцов, легко понять, что наше сложное суждение тождественно-истинно, то есть истинно при всех логических значениях входящих в него простых суждений.

Попробуем применить теперь наше умение строить таблицу истинности к анализу сложных суждений в рамках естественного языка.

Рассмотрим пример из книги Р. Петер «Игра с бесконечностью» (М., 1966).

В деле об убийстве имеются двое подозреваемых — Петр и Павел. Допросили четверых свидетелей. Показания первого: Я знаю, что Петр не виноват. Показания второго: Я знаю, что Павел не виноват. Показания третьего: Я знаю, что из первых двух показаний по крайней мере одно истинно. Показания четвертого: Третий свидетель лжет. При условии, что четвертый свидетель оказался прав, кто совершил преступление?

Решим эту задачу, построив соответствующую таблицу истинности, где в виде формул представим показания свидетелей.

Показания первого свидетеля — ША.

Показания второго свидетеля — ШВ.

Показания третьего свидетеля — ША Ъ ШВ.

Показания четвертого свидетеля — Ш(ША Ъ ШВ).

В итоге таблица истинности принимает следующий вид:

Из таблицы истинности видно как соотносятся с точки зрения истинности и ложности показания свидетелей. Очевидно, что показания четвертого свидетеля истинны лишь в том случае, когда истинно суждение А и истинно суждение В, то есть и Петр, и Павел совершили это преступление.

Обратим внимание на одну важную деталь: третий свидетель сказал: Я знаю, что из первых двух показаний по крайней мере одно истинно. А если бы он выразился резче — из первых двух показаний истинно одно? Казалось бы, какая разница?

Но этот случай иллюстрирует то обстоятельство, что в логике, как и в свидетельских показаниях, нет мелочей. Показания третьего свидетеля в этом случае выглядели бы так:

либо ША, либо ШВ — ША є ШВ,

а таблица истинности имела бы следующий вид:

В этом случае Петр и Павел либо оба виновны, либо оба невиновны в преступлении. Такова цена «мелочи».

Равносильные формулы сложных суждений

Разные по своей логической структуре формулы могут иметь при одинаковых наборах логических значений входящих в них простых суждений одинаковые логические значения в соответствующих строках заключительных столбцов, например, формулы А Й ШВ и соответственно Ш(А & В) — равносильны.

Допустим: суждение А — Адвокат поверхностно ознакомился с делом, суждение В — Он выиграет процесс. В итоге у нас два равносильных сложных суждения:

Если адвокат поверхностно ознакомился с делом, то он не выиграет процесс и Неверно, что адвокат поверхностно ознакомился с делом, и он выиграет процесс.

Свойство равносильности транзитивно, то есть если А равносильно В, а В равносильно С, то А равносильно С.

Следствием вышесказанного является то обстоятельство, что все тождественно-истинные формулы равносильны друг другу; то же касается и тождественно-ложных формул.

Равносильные сложные суждения, состоящие из одних и тех же простых суждений, равнозначны, то есть взаимозаменимы в языковом контексте.

Так, если равносильны формулы (В Ъ С) & А и (В & А) Ъ (С & А), то равнозначны и соответствующие им сложные суждения:

Будет хорошая погода или будет лить дождь, а студенты будут убирать урожай картофеля и

Будет хорошая погода, и студенты будут убирать урожай картофеля или будет лить дождь, и студенты будут убирать урожай картофеля.

Еще пример равносильности:

Ш(А & В) равносильно ША Ъ ШВ.

Равнозначны в данном случае будут суждения:

Неверно, что он служил в армии поваром и плохо готовит и Или он не служил в армии поваром, или он неплохо готовит.

Кстати вспомнить здесь рассмотренную ранее задачу про Петра и Павла. Наличие указанной выше равносильности подсказывает нам еще одно ее решение.

Поскольку показания третьего свидетеля формулировались как ША Ъ ШВ, значит, по равносильности их можно переформулировать в Ш(А & В).

Тогда показания четвертого свидетеля будут ШШ(А & В), что (благодаря снятию двойного отрицания) эквивалентно А & В, то есть преступление совершили оба подозреваемых.