Свойства эллипса

1. Фокальное свойство: эллипс ­– это ГМТ (геометрическое место точек), сумма расстояний которых до фокусов постоянна и равна .

Доказательство:

Рассмотрим и . Покажем, что .

Найдём и . Тогда ;

;;;. Разделим обе части равенства на , получим . ■

2. Директориальное свойства: эллипс – ГМТ (геометрическое место точек), отношение расстояний от которых до фокусов и до соответствующих директрис равно .

Доказательство:

Обозначим через расстояние от точки до директрисы . Покажем, что .

Пусть . Тогда ; . Так как , то , ;

;

. ■

3. Оптическое свойство: эллипс – ГМТ (геометрическое место точек), касательные в которых образуют равные острые углы с фокальными радиусами и , т.е. .

Другими словами, лучи света, исходящие из одного фокуса эллипса, после зеркального отражения от эллипса проходят через второй фокус .

Касательная в любой точке эллипса образует с фокальными радиусами острые одинаковые углы. Это свойство называется оптическим, т.к. все лучи, выходящие из одного фокуса, после отражения оказывается в другом (так как угол падения равен углу отражения).

Доказательство:

1. Получим сначала уравнение касательной к эллипсу в любой точке эллипса. Из уравнения эллипса , т.е. , если , и , если . Тогда и в том и в другом случае , .

Таким образом, уравнение касательной к кривой в данном случае имеет вид . Умножив это уравнение на , раскрыв скобки и учтя, что –получим уравнение касательной к эллипсу.

2. Найдём уравнение от точки до касательной. Это расстояние , где .

.

Но из директориального свойства фокальный радиус . Таким образом, . Тогда .

Проделав аналогичные выкладки, получим, что , т.е. .

П. 13.2 Гипербола

Определение 1. Гиперболой называется линия на плоскости, если найдётся такая ДПСК-2 (декартова прямоугольная система координат), в которой её уравнение примет вид .

и – полуоси, , – фокусы, линейный эксцентриситет, ось – фокальная ось, – эксцентриситет, причём характеризует величину раствора угла между асимптотами гиперболы . Прямые : являются директрисами гиперболы.

Свойства гиперболы

1. Фокальное свойство: гипербола – ГМТ (геометрическое место точек), модуль разности расстояний от которых до соответствующих фокусов постоянен и равен , т.е. . Доказательство свойства аналогично доказательству фокального свойства эллипса.

2. Директориальное свойство: такое же, как и эллипса и доказывается также.

3. Оптическое свойство: гипербола – ГМТ (геометрическое место точек), касательная в которых образует равные острые углы с фокальными радиусами, т.е. . Другими словами, лучи света, исходящие из одного фокуса гиперболы, после зеркального отражения от гиперболы кажутся исходящими из другого её фокуса (так как касательная проходит между фокусами). Доказывается так же, как и оптическое свойство эллипса.

П. 13.3 о гиперболических функциях

Тригонометрические функции и определяются таким образом, что , , , т.е. . (– абсцисса точки на единичной окружности, – её ордината).

рис.2.50

Если рассмотреть равнобочную гиперболу , то можно ввести гиперболические функции (гиперболический косинус) и (гиперболический синус) так, что , т.е. .

Введём представление о числе . Рассмотрим все возможные функции и выберем из них ту, у которой касательная, проведённая через точку , составляет угол с осью . Основание такой логарифмической функции и есть число …

Покажем, что .

Функция – чётная, – нечётная функция. Подставим , в уравнении гиперболы. Получим

;;; .

Графики гиперболических функций:

- котангенс гиперболический.

- тангенс гиперболический.