- •Глава II Векторная алгебра
- •П. 1 Понятие вектора. Линейные операции
- •Определение 2. Вектор (Гиббс) – математический объект, характеризуемый скалярной величиной, направлением и геометрическим характером сложения.
- •Пример. В одномерном случае преобразование пространства – это биекция, у которой ,.
- •П. 2 Базис на плоскости
- •Доказательство:
- •П. 4 Линейная независимость векторов
- •П. 7 Скалярное произведение векторов
- •Свойства скалярного произведения:
- •Дистрибутивность: .
- •Решение:
- •П. 8 Скалярное произведение в дпск
- •Наличие обратной операции
- •П. 9 Орт вектора. Направляющие косинусы вектора
- •П. 10 Векторное произведение векторов
- •Свойства векторного произведения:
- •Антикоммутативность: .
- •Дистрибутивность:
- •Векторное произведение в дпск
- •Решение:
- •П. 11 Произведения тройки векторов п. 11.1 Смешанное произведение векторов
- •Свойства смешанного произведения
- •Доказательство:
- •П. 12 Основные задачи векторной алгебры
- •П. 12.1 Плоскость в пространстве
- •Основные задачи
- •Угол между двумя плоскостями.
- •Расстояние от точки до плоскости.
- •П. 12.2 Прямая на плоскости
- •Другие уравнения прямой:
- •Угол между двумя прямыми
- •Условие перпендикулярности:
- •Условие параллельности:
- •Расстояние от точки до прямой
- •П. 12.3 Прямая в пространстве
- •Угол между прямыми
- •П.13 Линии второго порядка п.13.1 Эллипс
- •Свойства эллипса
- •Доказательство:
- •П. 13.2 Гипербола
- •Свойства гиперболы
- •П. 13.3 о гиперболических функциях
- •П. 13.4 Парабола
- •Свойства параболы
- •П.14 Поверхности второго порядка п. 14.1 Поверхности вращения
- •П. 14.2 Поверхности второго порядка
- •3. Двуполостной гиперболоид:
- •Цилиндрические поверхности
- •9. Гиперболический параболоид
Другие уравнения прямой:
1. Теперь проведём прямую через точки и . Выберем произвольную точку так, чтобы векторы и были коллинеарными. Тогда уравнение задаёт прямую , проходящую через точки и .
2. Преобразуем последнее равенство:
;. Тогда уравнение также задаёт прямую , где:
- угловой коэффициент, причём ( - угол наклона прямой к оси );
- свободный коэффициент, равный длине отрезка, отсекаемого прямой от оси .
Аналогично п. 12.1 можно получить нормальное уравнение прямой и уравнение данной прямой в отрезках.
Угол между двумя прямыми
Пусть две прямые и заданы общими или каноническим уравнениями. Тогда угол между прямыми можно найти следующим образом:
, .
Если же прямая задана в виде , где и - угловые коэффициенты прямых и соответственно, то:
(формула тангенса разности двух углов).
Условие перпендикулярности:
-
;
-
;
-
.
Условие параллельности:
-
;
-
;
-
.
Расстояние от точки до прямой
Аналогично п. 12.1 расстояние от точки до прямой определяется равенством , где .
Итак, .
П. 12.3 Прямая в пространстве
Характеристики: направляющий вектор и точка.
Базовая задача:
рис. 2.45
Последние равенства называют каноническим уравнением прямой. Из канонического задания прямой можно получить параметрические уравнения прямой: .
Прямую в пространстве можно рассматривать как пересечение двух плоскостей и .
Перейдём к каноническому заданию прямой . Для этого надо задать направляющий вектор и точку , через которую проходит данная прямая. Заметим, что вектор (в силу определения векторного произведения). При общем рас положении данных плоскостей они пересекут какую-либо из координатных плоскостей, например, , . Тогда
- точка пересечения плоскостей и . Эта точка будет лежать и на прямой . В силу неоднородности выбора точки обратная задача не ставится.
Угол между прямыми
Заметим, что угол между двумя прямыми можно определить только в том случае, если эти прямые лежат в одном плоскости.
Рассмотрим две прямые и , произвольно расположенные в пространстве:
.
Тогда для того, чтобы прямые и лежали в одной плоскости, необходимо, чтобы векторы , и были компланарными. В силу критерия компланарности должно выполняться равенство . Тогда угол между прямыми и определяется как угол между соответствующими направляющими векторами: .
В частности, прямые и :
-
параллельны, если ;
-
перпендикулярны, если .
Если же смешанное произведение , то прямые и называются скрещивающимися.
Угол между прямой и плоскостью
Углом между прямой и плоскостью называют угол между прямой и её ортогональной проекцией на плоскость
.
П.13 Линии второго порядка п.13.1 Эллипс
Всякий знает, что такое кривая, пока не вы- учится математике настолько, что в конец запутается в бесчисленных исключениях.
Ф. Клейн
рис.2.47