- •Глава II Векторная алгебра
- •П. 1 Понятие вектора. Линейные операции
- •Определение 2. Вектор (Гиббс) – математический объект, характеризуемый скалярной величиной, направлением и геометрическим характером сложения.
- •Пример. В одномерном случае преобразование пространства – это биекция, у которой ,.
- •П. 2 Базис на плоскости
- •Доказательство:
- •П. 4 Линейная независимость векторов
- •П. 7 Скалярное произведение векторов
- •Свойства скалярного произведения:
- •Дистрибутивность: .
- •Решение:
- •П. 8 Скалярное произведение в дпск
- •Наличие обратной операции
- •П. 9 Орт вектора. Направляющие косинусы вектора
- •П. 10 Векторное произведение векторов
- •Свойства векторного произведения:
- •Антикоммутативность: .
- •Дистрибутивность:
- •Векторное произведение в дпск
- •Решение:
- •П. 11 Произведения тройки векторов п. 11.1 Смешанное произведение векторов
- •Свойства смешанного произведения
- •Доказательство:
- •П. 12 Основные задачи векторной алгебры
- •П. 12.1 Плоскость в пространстве
- •Основные задачи
- •Угол между двумя плоскостями.
- •Расстояние от точки до плоскости.
- •П. 12.2 Прямая на плоскости
- •Другие уравнения прямой:
- •Угол между двумя прямыми
- •Условие перпендикулярности:
- •Условие параллельности:
- •Расстояние от точки до прямой
- •П. 12.3 Прямая в пространстве
- •Угол между прямыми
- •П.13 Линии второго порядка п.13.1 Эллипс
- •Свойства эллипса
- •Доказательство:
- •П. 13.2 Гипербола
- •Свойства гиперболы
- •П. 13.3 о гиперболических функциях
- •П. 13.4 Парабола
- •Свойства параболы
- •П.14 Поверхности второго порядка п. 14.1 Поверхности вращения
- •П. 14.2 Поверхности второго порядка
- •3. Двуполостной гиперболоид:
- •Цилиндрические поверхности
- •9. Гиперболический параболоид
Свойства векторного произведения:
-
Антикоммутативность: .
Доказательство:
Положим , . По определению векторы и имеют одинаковую длину. Также в силу того, что оба вектора и ортогональны к плоскости, определяемой векторами и , вектор коллинеарен вектору . Тогда либо , либо . Если бы имело место первое равенство, то по определению, обе тройки , , и , , оказались бы правыми, но это невозможно. Итак, . ■
-
Однородность: .
Доказательство:
Положим , . Пусть векторы и не коллинеарные и . Обозначим и . По определению , .
Возможны два случая:
|
|
Рис. 2.30 |
В обоих случаях , тогда . Далее, заметим, что векторы и коллинеарные. Остаётся проверить, что эти векторы имеют одинаковое направление.
Пусть , тогда векторы , а значит и векторы . Итак, . ■
-
Дистрибутивность:
Доказательство:
Для доказательства приведём две леммы.
Лемма 1. Векторное произведение произвольного вектора плоскости на единичный вектор , ортогональный плоскости , поворачивает вектор на угол по часовой стрелке, если смотреть с конца вектор .
Доказательство:
По определению , причём вектор ортогонален векторам и , значит, он лежит на плоскости . Тройка векторов , , правая, следовательно, поворот от вектора к вектору совершается на по часовой стрелке, если смотреть с конца вектора . ■
Лемма 2. Векторное произведение произвольного вектора на единичный вектор равно , где – геометрическая проекция вектора на плоскость , ортогональную вектору .
Доказательство:
По определению векторного произведения векторы . Рассмотрим их модули: ;
. По условию . ■
Теперь вернёмся к доказательству дистрибутивности . Для простоты рассмотрим вместо вектора его орт . Пусть векторы ,, некомпланарные. Обозначим , – геометрические проекции векторов на плоскость ортогональному вектору . Тогда по лемме 2 имеем , причём вектор получен поворотом вектора на угол по часовой стрелке (по лемме 1).
Аналогично, и , причём векторы и получены поворотами векторов и на угол по часовой стрелке, соответственно. Тогда сумма даёт нам вектор , т.е. .
Таким образом, мы показали, что . Умножим обе части равенства на , получим: . ■
Теорема1. Критерий коллинеарности
Векторы и коллинеарные тогда и только тогда, когда . (доказать самостоятельно)
Векторное произведение в дпск
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рис. 2.34
.
Итак, . Для запоминания последней формулы удобно использовать псевдоопределитель:
.
Раскрывая этот «определитель», стоящий в правой части, по элементам первой строки, получим разложение вектора по базису .
Пример. Дан . На сторонах треугольника выбраны соответственно точки так, чтобы , , . При каком площадь треугольника наименьшая?