- •Глава IV Числовые последовательности п. 1 Определение и примеры
- •Способы задания последовательности
- •Последовательности бывают:
- •Бмп (бесконечно малые последовательности);
- •3. Неограниченные;
- •Пример. Последовательность ограничена, но не является бмп.
- •П. 2 Свойства бмп
- •П. 3 Сходящиеся последовательности
- •П. 4 Арифметические свойства пределов
- •П. 5 Свойства пределов, связанные с неравенствами
- •П. 6 Принцип компактности и принцип полноты
- •П. 7 Число e
Глава IV Числовые последовательности п. 1 Определение и примеры
Определение 1. Рассмотрим множество натуральных чисел и множество действительных чисел. Если , то правило такого соответствия и его результат называется числовой последовательностью и обозначается , где – общий член последовательности.
Замечание. Очевидно, что последовательность – множество значений функции натурального аргумента, т.е. .
Замечание. Существенно, что в определении последовательности аргумент пробегает все множество .
Последовательность конечного числа элементов (конечная последовательность) называют кортежем или вектором. Такие последовательности рассматривать не будем.
Способы задания последовательности
-
аналитический: ;
-
рекуррентный: .
Арифметическая прогрессия , геометрическая прогрессия , факториал , где причем , - примеры задания последовательностей рекуррентным способом.
Последовательности бывают:
1. ограниченные;
-
Бмп (бесконечно малые последовательности);
3. Неограниченные;
4. ББП (бесконечно большие последовательности).
Определение 2.Последовательность называется ограниченной, если существуют такие действительные числа m и M (), что (для любого натурального числа n).
Определение 2*.Пусть(А – максимальное из чисел m и M). Тогда последовательность называется ограниченной, если .
Пример. Последовательность 0,1,0,1, ... ограничена, т.к.
Определение 3.Последовательность называется БМП (бесконечно малой последовательностью) , если для любого положительного (эпсилон) найдется номер, зависящий от , такой, что, как только n>N выполняется неравенство
()
Пример. Рассмотрим последовательность . Для того, чтобы необходимо, чтобы , т.е. ( – целая часть числа ). Задавая некоторые значения, будем получать номер , начиная с которого члены последовательности попадут в -коридор. Например, если =10, то =0, тогда =1; если =1, то =1, тогда =2; если =0,1, то =10, тогда =11, и т.д.
Замечание. Обычно БМП обозначают первыми буквами алфавита.
Пример. Последовательность ограничена, но не является бмп.
Определение 4. Последовательность называется неограниченной, если
для любого неотрицательного числа А найдется n, такой что .
(.)
Определение 5. Последовательность называется ББП, если для любого положительного М найдется номер, зависящий от М, такой, что, как только n>N выполняется неравенство ().
Пример. Последовательность является ББП, а последовательность является неограниченной, но не является ББП.
П. 2 Свойства бмп
Вспомним определение БМП: если для любого положительного (эпсилон) найдется номер, зависящий от , такой, что, как только n>N выполняется неравенство
(*) , то - БМП.
Теорема 1. Сумма двух БМП есть БМП.
Доказательство:
П усть и - БМП. Тогда соотношение (*) имеет место для каждой из данных последовательностей. Выберем , тогда для последовательности найдется номер , начиная с которого , а для последовательности найдется номер начиная с которого
Рассмотрим последовательность . Пусть тогда, начиная с номера , , т.е. для , начиная с номера . Это означает, что последовательность является БМП.
Следствие. Сумма любого конечного числа БМП есть БМП. (Доказать самостоятельно).
Теорема 2. БМП ограничена.
Доказательство:
Пусть - БМП. Тогда для нее имеет место соотношение (*), т.е. начиная с некоторого члены войдут в -коридор. Другими словами, из этого -коридора выпадает не более чем конечное число первых членов последовательно-
сти . Пусть , тогда , что означает ограниченность последовательности .
Теорема 3. Если - БМП, а ограничена, то последовательность является БМП.
Доказательство:
Так как -БМП, то имеет место соотношение (*). Выберем и найдем номер , начиная с которого члены последовательности войдут в -коридор, где число . Тогда, начиная с номера , будет выполняться неравенство .
Следствие 1. Произведение двух БМП есть БМП. (Доказать самостоятельно).
Следствие 2. Произведение любого конечного БМП есть БМП. (Доказать самостоятельно).
Теорема 4. Для того, чтобы последовательность была БМП, необходимо и достаточно, чтобы была ББП.
Доказательство:
Необходимость. Пусть - ББП. Тогда имеет место соотношение (*), т.е., начиная с некоторого номера . Пусть , тогда , т.е. , что означает: - ББП.
Достаточность доказать самостоятельно.