П. 7 Число e

Рассмотрим числовую последовательность . Докажем сходимость этой последовательности.

С этой целью сначала рассмотрим бином Ньютона: .

Пусть . Тогда

.

Теперь пусть .

.

Покажем, что последовательность монотонно возрастает. Для этого рассмотрим член последовательности: .

Увеличилось каждое слагаемое, т.к. увеличилась каждая скобка в силу того, что от единицы отнимается меньшее число. Также появился еще один положительный член. Таким образом, .

Теперь покажем ограниченность последовательности :

.

Таким образом, . Следовательно, последовательность сходится. Оказывается, что , .