- •Глава IV Числовые последовательности п. 1 Определение и примеры
- •Способы задания последовательности
- •Последовательности бывают:
- •Бмп (бесконечно малые последовательности);
- •3. Неограниченные;
- •Пример. Последовательность ограничена, но не является бмп.
- •П. 2 Свойства бмп
- •П. 3 Сходящиеся последовательности
- •П. 4 Арифметические свойства пределов
- •П. 5 Свойства пределов, связанные с неравенствами
- •П. 6 Принцип компактности и принцип полноты
- •П. 7 Число e
П. 5 Свойства пределов, связанные с неравенствами
Теорема 1. Пусть . Тогда, если найдется номер , начиная с которого , то .
Доказательство:
Так как , то для нее имеет место соотношение (**). Предположим противное, т.е. пусть . Тогда из соотношения (**) имеем . Так как , то можно выбрать такое , что и . Тогда, начиная с некоторого номера, определяемого этим , , что противоречит условию.
Следствие 1. Пусть и существует такой номер , начиная с которого . Тогда .
Доказательство:
Рассмотрим . Последовательность сходится. Более того, начиная с некоторого номера . Тогда . Но . Следовательно, .
Следствие 2. Пусть и, начиная с некоторого номера , . Тогда .
Следствие 3. Пусть и, начиная с некоторого номера , . Тогда .
Теорема 2. Пусть , причем . Тогда существует такой номер , что .
Доказательство:
Так как , то имеет место соотношение (**), т.е. . Имеем , выберем таким, чтобы . Тогда найдет такой номер , начиная с которого, .
Следствие 1. Пусть , причем . Тогда существует такой номер , начиная с которого, .
Следствие 2. Пусть , причем . Тогда существует такой номер , начиная с которого, .
Следствие 3. Пусть , причем . Тогда существует такой номер , начиная с которого, .
Теорема 3. Теорема о двух милиционерах.
Пусть , , причем начиная с
некоторого номера , . Тогда .
Доказательство:
Так как последовательности и сходятся, то имеет место соотношение (**), т.е. и . Пусть . Тогда начиная с номера . Отсюда получим , или , т.е. .
П. 6 Принцип компактности и принцип полноты
Определение 1. Пусть - некоторая последовательность. Рассмотрим последовательность натуральных чисел такую, что . Тогда последовательность называют подпоследовательностью последовательности . Если последовательность сходится, то ее предел называют частичным пределом последовательности .
Пример. Рассмотрим последовательность . Тогда является подпоследовательностью последовательности .
Теорема 1. Если последовательность сходится к , то любая ее подпоследовательность сходится к .
Доказательство:
Пусть , тогда имеет место соотношение (**), т.е. начиная с некоторого номера . Так как члены подпоследовательно-
сти являются членами последовательности , то при имеем . Следовательно, .
Ясно, что можно привести примеры последовательностей, которые расходятся, но их подпоследовательности являются сходящимися.
Пример. Последовательность является расходящейся, но одна ее подпоследовательность сходится к , а другая подпоследовательность сходится к .
Теорема 2. Теорема Больцано-Вейерштрасса - принцип компактности.
Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство:
Пусть последовательность ограничена, т.е. . Следовательно, множество ограничено. По принципу ТВГ и ТНГ имеем . Построим ССС следующим образом.
Разделим отрезок пополам. Тогда, по крайней мере, в одном из полученных интервалов содержится бесконечное число членов последовательности . Пусть является таковым. Далее, отрезок поделим пополам и выберем тот из полученных, который содержит бесконечное число членов последовательности. Обозначим его и т.д. В результате получим СВС : , причем длина -го отрезка равна .
Назовем самый крайний левый член последовательности, который уже попадает в интервал . Далее, назовем самый крайний левый член последовательности, который уже попадает в интервал при условии, что , и т.д. получим некоторую подпоследовательность , причем .
В соответствии с теоремой Кантора о существовании и единственности точки , принадлежащей всем ССС сразу, имеем и . То по теореме о двух милиционерах подпоследовательность .
Пример. Рассмотрим последовательность . В последовательности можно выделить подпоследовательности и , которые сходятся к 0 и 1 соответственно.
Определение 2. Последовательность называется фундаментальной, если выполняется соотношение (***): .
Другими словами, модуль разности между сколь угодно далекими членами последовательности может быть сколь угодно мал, если эти члены достаточно далеко.
Пример 3. Критерий Коши - принцип полноты.
Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Доказательство:
Необходимость. Пусть сходится, т.е. существует . Тогда имеет место соотношение (**), т.е. существует некоторый номер , начиная с которого . Тогда .
Рассмотрим . Таким образом, выпол-
няется соотношение (***), следовательно, - фундаментальная последовательность.
Достаточность. Пусть - фундаментальная последовательность. Тогда имеет место соотношение (***), т.е. начиная с некоторого номера , или . Это означает, что, начиная с некоторого номера , последовательность ограничена. Тогда в соответствие с принципом компактности из последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность . Пусть . Тогда имеет место соотношение (**), т.е. начиная с номера .
С другой стороны, последовательность фундаментальная. Следовательно, имеет место соотношение (***), т.е. начиная с номера (в силу построения подпоследовательности ). Пусть . Тогда, начиная с номера . Таким образом, выполняется соотношение (**), т.е. последовательность сходится.