П. 4 Линейная независимость векторов

Определение 1. Пусть – система векторов в пространстве, где – вещественные числа. Тогда вектор называется линейной комбинацией векторов ,…,.

Определение 2. Система векторов называется линейно зависимой, если хотя бы один из векторов данной системы является линейной комбинацией остальных векторов.

Определение 3. Система векторов называется линейно независимой, если ни один из векторов данной системы не является линейной комбинацией остальных векторов.

Теорема1. Критерий линейной зависимости

Для того чтобы система векторов была линейно зависима, необходимо и достаточно, чтобы существовали действительные числа , не равные нулю одновременно, такие, что . (1)

(,…,– система линейно  зависима) .

Доказательство:

Необходимость. Пусть система линейно зависима. Тогда по определению хотя бы один из векторов системы, например, , можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов: . Прибавим к обеим частям равенства –, получим: .

Положим ,, не все равны нулю одновременно, причем выполняется равенство (1).

Достаточность. Пусть существуют , такие, что . Среди чисел , по крайней мере, одно не равно нулю, например, . Тогда получим , что означает по определению линейную зависимость векторов ,…,. ■

Теорема 2. Критерий линейной независимости

Для того, чтобы система векторов была линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы равенство (1) влекло за собой равенство нулю всех .

Доказательство:

Необходимость. Пусть ,…, линейно независимы. Предположим противное, т.е. что имеет место (1) и из него не следует . Тогда , а . По теореме 1 система ,…, линейно зависима, что противоречит условию.

Достаточность. Пусть равенство (1) влечет . Предположим, противное, т.е. ,…, линейно зависимые. Тогда по теореме 1 найдутся такие, что , что противоречит условию. ■

Пример.  Доказать, что:

а) векторы и линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарные;

б) векторы , , линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Доказательство:

а) Пусть . Если , то и коллинеарность и влечет линейную зависимость и .

Если и коллинеарные, то согласно признаку коллинеарности, существует такое , что , т.е. , , и линейная зависимость и очевидна.

б) Пусть , и компланарны. Если векторы и коллинеарные, то из доказанного следует при некоторых и таких, что . Но тогда , причем , т.е. , , линейно зависимы.

Пусть теперь компланарные векторы , , таковы, что и не коллинеарные. Тогда вектор можно разложить по базису : . Отсюда , причём , т.е. , , линейно зависимы.

п. 5 Линейные операции над векторами в координатной форме

Пусть – некоторая аффинная система координат в пространстве.

Теорема 1. Пусть векторы и . Тогда:

1. ;

2. 

Доказательство:

1. Рассмотрим векторы и : , . Тогда сумма векторов и :  .

2.   . ■

Теорема 2. О делении отрезка в данном отношении

Пусть в ДПСК-3 задан отрезок , т.е. , . Тогда точка , такая, что , имеет координаты .

Доказательство:

Пусть точки и - начало координат. Тогда , , , где и - радиус-векторы точек.

Получим, что . Так как , то или . ■

п. 6 Свойства проекций

Определение 1. Осью называется прямая с выбранным на ней направлением.

Определение 2. Геометрической проекцией вектора называется вектор , где и – ортогональные проекции точек А и В на ось .

рис. 2.18

Определение 3 Алгебраической проекцией вектора на ось называется число, равное длине , взятое со знаком “”, если , и со знаком “-”, если . Обозначается Пр_l.

Теорема1. .

Доказательство:

Так как , то . С другой стороны, =. ■

Теорема 2. .

Доказательство:

Пусть . Перенесём вектор так, что его начало находилось на прямой . Тогда треугольники и подобны. Если , а , то . Отсюда .

рис. 2.20

Т ак как , то . Значит, .

Если же , то треугольники и так же подобны. Но . ■

рис. 2.21

Теорема 3. , где – угол между вектором и положительным направлением оси .

Доказательство:

1. рис. 2.22

   Угол – острый, тогда очевидно, что , т.е. .

2. Угол – тупой. Так как , , то . ■