П. 13.4 Парабола

Определение 1. Параболой называется линия на плоскости, если найдётся такая ДПСК-2 (декартова прямоугольная система координат), в которой её уравнение примет вид .

Величину называют фокальным параметром параболы, точку – фокусом, ось – фокальной осью, прямую : – директрисой.

Свойства параболы

1. Фокальное свойство: отсутствует.

2. Директориальное свойство: парабола – ГМТ (геометрическое место точек), равноудаленных от фокуса и директрисы, т.е. .

Доказательство:

Рассмотрим , . Тогда ,, . ■

3. Оптическое свойство: парабола – ГМТ (геометрическое место точек), в которых касательная образует равные углы с фокальным радиусом и положительным направлением оси .

Другими словами, лучи света, исходящие из фокуса параболы, после зеркального отражения от параболы, образуют пучок, параллельный оси параболы. И наоборот, все лучи, параллельные фокальной оси, отражаясь от параболы, попадают в фокус параболы.

Доказательство:

Рассмотрим параболу или . Покажем, что .

Запишем уравнение касательной к параболе, проходящей через точку : .

рис.2.56

Так как , то

. По директориальному свойству . Отсюда . Следовательно, треугольник равнобедренный, т.е. . ■

П.14 Поверхности второго порядка п. 14.1 Поверхности вращения

рис.2.57

Рассмотрим в ДПСК-2 (декартова прямоугольная система координат) линию : . Совместим с этой ДПСК-2 (декартова прямоугольная система координат) систему ДПСК-3 так, что у них совпадают начало координат и оси: ось совпадает с осью , ось совпадает с осью , а ось перпендикулярна плоскости . При вращении линии : вокруг оси любая точка , совпадающая с точкой на плоскости , опишет окружность с радиусом и центром в точке . Таким образом, чтобы получить уравнение поверхности, образованной вращением линии : вокруг оси , надо сделать замену переменных: .

Соответствующие правила для вращения вокруг других осей сформулировать самостоятельно.

Рассмотрим примеры поверхностей вращения (вокруг оси ):

1. Эллипсоид вращения эллипса: , .

2. Параболоид вращения параболы: , .

3. Однополостной гиперболоид получается при вращении гиперболы вокруг оси : .

4. Двуполостный гиперболоид получится при вращении гиперболы вокруг оси :.

П. 14.2 Поверхности второго порядка

Если у поверхности вращения заменить , т.е. сжать все эти поверхности вдоль оси , то получаются общие поверхности второго порядка. Исследовать их легко с помощью метода сечений (некоторые поверхности второго порядка не являются поверхностями вращения).

рис.2.58

1. Эллипсоид: , – полуоси эллипсоида. Из уравнения вытекает, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии, а начало координат – центром симметрии эллипсоида. Пересечём поверхность плоскостью , параллельной плоскости . Тогда уравнение линии, полученной в сечении, имеет вид

.

Полагая получим уравнение эллипса с полуосями и .

Аналогичная ситуация возникает при пересечении эллипсоида плоскостями, параллельными плоскостям и . Заметим, что эллипсоид с равными полуосями: называют сферой.

Из уравнения вытекает, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии, а начало координат – центром симметрии эллипсоида.

2. Однополостной гиперболоид.

Из уравнения следует, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии однополостного гиперболоида. Пересечение поверхности плоскостью есть эллипс: , где , . Сечения однополосного гиперболоида координатными плоскостями и представляют собой гиперболы, определяемые уравнениями соответственно

и .