- •Глава II Векторная алгебра
- •П. 1 Понятие вектора. Линейные операции
- •Определение 2. Вектор (Гиббс) – математический объект, характеризуемый скалярной величиной, направлением и геометрическим характером сложения.
- •Пример. В одномерном случае преобразование пространства – это биекция, у которой ,.
- •П. 2 Базис на плоскости
- •Доказательство:
- •П. 4 Линейная независимость векторов
- •П. 7 Скалярное произведение векторов
- •Свойства скалярного произведения:
- •Дистрибутивность: .
- •Решение:
- •П. 8 Скалярное произведение в дпск
- •Наличие обратной операции
- •П. 9 Орт вектора. Направляющие косинусы вектора
- •П. 10 Векторное произведение векторов
- •Свойства векторного произведения:
- •Антикоммутативность: .
- •Дистрибутивность:
- •Векторное произведение в дпск
- •Решение:
- •П. 11 Произведения тройки векторов п. 11.1 Смешанное произведение векторов
- •Свойства смешанного произведения
- •Доказательство:
- •П. 12 Основные задачи векторной алгебры
- •П. 12.1 Плоскость в пространстве
- •Основные задачи
- •Угол между двумя плоскостями.
- •Расстояние от точки до плоскости.
- •П. 12.2 Прямая на плоскости
- •Другие уравнения прямой:
- •Угол между двумя прямыми
- •Условие перпендикулярности:
- •Условие параллельности:
- •Расстояние от точки до прямой
- •П. 12.3 Прямая в пространстве
- •Угол между прямыми
- •П.13 Линии второго порядка п.13.1 Эллипс
- •Свойства эллипса
- •Доказательство:
- •П. 13.2 Гипербола
- •Свойства гиперболы
- •П. 13.3 о гиперболических функциях
- •П. 13.4 Парабола
- •Свойства параболы
- •П.14 Поверхности второго порядка п. 14.1 Поверхности вращения
- •П. 14.2 Поверхности второго порядка
- •3. Двуполостной гиперболоид:
- •Цилиндрические поверхности
- •9. Гиперболический параболоид
П. 7 Скалярное произведение векторов
Определение 1. Скалярным произведением векторов и называется операция (результат операции), ставящая в соответствии упорядоченной паре векторов и скаляр, равный произведению длин векторов на косинус угла между ними. .
Замечание. Из определения скалярного произведения, следует, что .
Замечание. Заметим, что . Если взять вектор такой, что , то . Таким образом, скалярное произведение одного вектора на другой, имеющий единичную длину, равно проекции первого вектора на направление, определяемое вторым. В этом заключается геометрический смысл скалярного произведения.
Замечание. Механический смысл скалярного произведения. Если рассмотреть действия силы на материальную точку при её перемещении по вектору , то работа , совершаемая этой силой равна: .
Свойства скалярного произведения:
-
Коммутативность: .
Доказательство: . ■
-
Унитарность: , причём тогда и только тогда, когда .
Доказательство: . ■
-
Однородность: .
Доказательство: . ■
-
Дистрибутивность: .
Доказательство: . ■
Замечание. « однородность + дистрибутивность = линейность».
Теорема1. Критерий ортогональности
Пусть векторы и . Тогда тогда и только тогда, когда .
Пример. В треугольнике медиана перпендикулярна биссектрисе, причём . Найти угол.
Решение:
Обозначим , , и . Тогда . Выразим .
Известно, что биссектриса угла делит противолежащую сторону в отношении, равном отношении длин прилежащих сторон. Таким образом, . По условию, , т.е. .
Так как , , то . (В этом можно было убедиться и геометрически: по условию задачи, в биссектриса является и высотой, а значит, – равнобедренный, т.е. ).
Таким образом, ,. Следовательно, . Отсюда находим .
П. 8 Скалярное произведение в дпск
Рассмотрим векторы и в ДПСК . Из определения скалярного произведения для базисных векторов имеем: , или
|
|
||
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
Тогда
.
Итак, . Заметим, что . Тогда , а также .
Наличие обратной операции
Пусть даны вектор и скалярное произведение . Можно ли найти вектор ?
Как было показано, . Все векторы лежат на конусе, осью которого является носитель вектор (прямая, на которой лежит вектор), т.е. таких векторов бесконечно много.
Таким образом, обратная операция не определена.
П. 9 Орт вектора. Направляющие косинусы вектора
Определение 1. Косинусы углов, которые вектор образует с базисными ,,, называются направляющими косинусами вектора . Обозначают , , .
Определение 2. Ортом вектора называется вектор , имеющий единичную длину и тоже направление, что и вектор : .
Покажем, что координатами орта вектора являются его направляющие косинусы.
Пусть . Рассмотрим . С другой стороны, . Следовательно, . Аналогично можно показать, что , . Заметим, что .
П. 10 Векторное произведение векторов
Определение 1. Рассмотрим некоторую произвольную тройку некомпланарных векторов ,,, приведённых к точке . Тройка векторов ,, называется правой, если для неё выполняется правило буравчика: глядя с конца вектора и , можно увидеть, что кратчайший поворот от к происходит против часовой стрелки.
Определение 2. Векторным произведением векторов называется операция (результат операции), которая любой упорядоченной паре векторов и ставит в соответствие вектор , обладающий следующими свойствами:
-
;
2) вектор ортогонален каждому
из и ;
-
,, – правая тройка;
-
если и - коллинеарные, то =.
Замечание. Геометрический смысл векторного произведения двух векторов и состоит в том, что модуль равен площади параллелограмма, построенного на векторах и .
Замечание. Механический смысл векторного произведения. Если вектор изображает приложенную в некоторой точке М силу, а вектор
идёт из некоторой точки О в точку М, то вектор представляет собой момент силы относительно точки О.