- •Глава II Векторная алгебра
- •П. 1 Понятие вектора. Линейные операции
- •Определение 2. Вектор (Гиббс) – математический объект, характеризуемый скалярной величиной, направлением и геометрическим характером сложения.
- •Пример. В одномерном случае преобразование пространства – это биекция, у которой ,.
- •П. 2 Базис на плоскости
- •Доказательство:
- •П. 4 Линейная независимость векторов
- •П. 7 Скалярное произведение векторов
- •Свойства скалярного произведения:
- •Дистрибутивность: .
- •Решение:
- •П. 8 Скалярное произведение в дпск
- •Наличие обратной операции
- •П. 9 Орт вектора. Направляющие косинусы вектора
- •П. 10 Векторное произведение векторов
- •Свойства векторного произведения:
- •Антикоммутативность: .
- •Дистрибутивность:
- •Векторное произведение в дпск
- •Решение:
- •П. 11 Произведения тройки векторов п. 11.1 Смешанное произведение векторов
- •Свойства смешанного произведения
- •Доказательство:
- •П. 12 Основные задачи векторной алгебры
- •П. 12.1 Плоскость в пространстве
- •Основные задачи
- •Угол между двумя плоскостями.
- •Расстояние от точки до плоскости.
- •П. 12.2 Прямая на плоскости
- •Другие уравнения прямой:
- •Угол между двумя прямыми
- •Условие перпендикулярности:
- •Условие параллельности:
- •Расстояние от точки до прямой
- •П. 12.3 Прямая в пространстве
- •Угол между прямыми
- •П.13 Линии второго порядка п.13.1 Эллипс
- •Свойства эллипса
- •Доказательство:
- •П. 13.2 Гипербола
- •Свойства гиперболы
- •П. 13.3 о гиперболических функциях
- •П. 13.4 Парабола
- •Свойства параболы
- •П.14 Поверхности второго порядка п. 14.1 Поверхности вращения
- •П. 14.2 Поверхности второго порядка
- •3. Двуполостной гиперболоид:
- •Цилиндрические поверхности
- •9. Гиперболический параболоид
3. Двуполостной гиперболоид:
.
Из уравнения видно, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии, а начало координат центром симметрии двух полосного гиперболоида.
Сечение поверхности плоскостью (при ) представляет собой эллипс с полуосями . Сечения двуполостного гиперболоида плоскостями и представляют собой гиперболы
и соответственно.
4. Эллиптический параболоид: .
Заметим, что координатные плоскости и являются плоскостями симметрии эллиптического параболоида. Ось называют осью данной поверхности. Сечение поверхности плоскостью , представляет собой эллипс , где .
Сечения эллиптического параболоида плоскостями и являются параболами и .
5. Конус: .
Отметим, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии, я начало координат – центром симметрии конуса. Сечение конуса плоскостью представляет собой эллипс: с полуосями и .
При пересечении конуса плоскостями и получаются пары пересекающихся прямых
и , соответственно, проходящих через начало координат.
Цилиндрические поверхности
6. Эллиптический цилиндр: .Как видно из уравнения, плоскости и являются плоскостями симметрии данного цилиндра. Сечение поверхности плоскостью представляет собой эллипс . Сечения цилиндра плоскостями и являются парами параллельных прямых и соответственно.
7. Гиперболический цилиндр: .
8 . Параболический цилиндр .
9. Гиперболический параболоид
рис.2.655
Заметим, что плоскость пересекает поверхность по двум прямым , являющихся асимптотами вышеуказанных гипербол. Сечения плоскостями и являются параболами и соответственно.