П. 2 Базис на плоскости
Определение
1. Пусть
и
– ненулевые векторы на плоскости, тогда
и
называются коллинеарными,
если их носители параллельны или
совпадают.
Теорема1.
Векторы
и
коллинеарные тогда и только тогда, когда
существует такое
,
что
.
Доказательство:
Необходимость.
Пусть
вектора
и
коллинеарные. Тогда по определению они
лежат на одной или параллельных прямых.
С помощью параллельного переноса
совместим начала векторов
и
.
Тогда
,
где
рис. 2.13
,
если
(сонаправлены), или
,
если
;
(котранаправлены). (Рис. 2.13).
Достаточность.
Пусть
.
Тогда по определению произведения
вектора на числа получаем коллинеарность
векторов
и
.
■
Определение 2.
Базисом на
плоскости
будем называть всякую упорядоченную
пару неколлинеарных векторов
.
Совокупность фиксированной точки
плоскости и произвольного базиса
на плоскости, приведенного к этой точке,
называется аффинной системой координат
(АСК)
.
Теорема2.
Пусть
некоторая АСК на плоскости. Тогда любой
вектор
этой плоскости можно представить в виде
,
и при том единственным образом.
Доказательство:
Покажем
существование разложения вектора
.
Совместим начало вектора
с точкой
.
Проведём
через конец вектора
прямые, параллельные
и
.
Тогда
– параллелограмм. Отсюда
.
Но векторы
и
коллинеарные, значит
.
Аналогично, векторы
и
коллинеарные, значит
.
Тогда
.
Теперь докажем единственность разложения.
.
Пусть существует два разложения
по базису
:
и
такие, что
.
Тогда
или
.
Если
,
то
,
что означает коллинеарность векторов
и
и противоречит условию.
Аналогично,
если
,
то получим коллинеарность
и
,
что противоречит условию. Таким образом,
,
.
■
Такое
представление вектора
называется разложением
по базису
,
а числа
и
называются координатами
в АСК
.
Вектор
в этом случае можно записать так:
.
Замечание.
Если векторы базиса выбрать взаимно
перпендикулярными и имеющими единичную
длину, то такая АСК на плоскости носит
название
декартовой
прямоугольной системой координат
(ДПСК).
Базисные
вектора, входящие в ДПСК обозначают
и
(кратчайший поворот против часовой
стрелки от
к
).
На плоскости существуют и другие системы координат. Задавая на плоскости некоторую АСК, мы устанавливаем взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами действительных чисел.
п. 3 Базис в пространстве
Определение 1.
Векторы
,
,
называются компланарными,
если они лежат на одной или параллельных
плоскостях.
Определение 2.
Базисом в
пространстве
называется упорядоченная тройка
произвольных некомпланарных векторов.
АСК в пространстве называется совокупность
фиксированной точки
и некоторого базиса
,
приведённого к этой точке.
Теорема1.
Пусть
некоторая АСК в пространстве. Тогда
любой вектор
можно представить в виде
,
и притом единственным образом.
Доказательство:
Совместим
начало вектора
с началом координат точкой
.
Проведем через конец вектора
две прямые:
-
первую параллельно вектору
до пересечения с плоскостью, в которой
лежат
и
;
-
вторую параллельно плоскости, в которой лежат
и
,
до пересечения с прямой, на которой
лежит вектор
.
Тогда
– параллелограмм, следовательно,
.
Вектор
лежит на плоскости, образованной
векторами
и
.
По теореме о разложении по базису на
плоскости имеем
.
Вектор
коллинеарен вектору
,
следовательно,
.
Таким образом
.
Нетрудно показать единственность разложения. ■
Пример.
Дано: Векторы
,
и
некомпланарны.
Доказать:
.
Доказательство:
Если
хотя бы одно из чисел в равенстве,
например
,
то равенство
эквивалентно равенству
,
где
,
,
что означает компланарность векторов
.
Получили противоречие условию.
Следовательно,
.
Обратно:
если
,
то равенство
очевидно. ■