- •Глава II Векторная алгебра
- •П. 1 Понятие вектора. Линейные операции
- •Определение 2. Вектор (Гиббс) – математический объект, характеризуемый скалярной величиной, направлением и геометрическим характером сложения.
- •Пример. В одномерном случае преобразование пространства – это биекция, у которой ,.
- •П. 2 Базис на плоскости
- •Доказательство:
- •П. 4 Линейная независимость векторов
- •П. 7 Скалярное произведение векторов
- •Свойства скалярного произведения:
- •Дистрибутивность: .
- •Решение:
- •П. 8 Скалярное произведение в дпск
- •Наличие обратной операции
- •П. 9 Орт вектора. Направляющие косинусы вектора
- •П. 10 Векторное произведение векторов
- •Свойства векторного произведения:
- •Антикоммутативность: .
- •Дистрибутивность:
- •Векторное произведение в дпск
- •Решение:
- •П. 11 Произведения тройки векторов п. 11.1 Смешанное произведение векторов
- •Свойства смешанного произведения
- •Доказательство:
- •П. 12 Основные задачи векторной алгебры
- •П. 12.1 Плоскость в пространстве
- •Основные задачи
- •Угол между двумя плоскостями.
- •Расстояние от точки до плоскости.
- •П. 12.2 Прямая на плоскости
- •Другие уравнения прямой:
- •Угол между двумя прямыми
- •Условие перпендикулярности:
- •Условие параллельности:
- •Расстояние от точки до прямой
- •П. 12.3 Прямая в пространстве
- •Угол между прямыми
- •П.13 Линии второго порядка п.13.1 Эллипс
- •Свойства эллипса
- •Доказательство:
- •П. 13.2 Гипербола
- •Свойства гиперболы
- •П. 13.3 о гиперболических функциях
- •П. 13.4 Парабола
- •Свойства параболы
- •П.14 Поверхности второго порядка п. 14.1 Поверхности вращения
- •П. 14.2 Поверхности второго порядка
- •3. Двуполостной гиперболоид:
- •Цилиндрические поверхности
- •9. Гиперболический параболоид
Решение:
Пусть , . Тогда ,. Поэтому Минимум этого выражения достигается при , т. е. в случае, когда - медианы . Этот минимум равен .
П. 11 Произведения тройки векторов п. 11.1 Смешанное произведение векторов
Определение 1. Смешанным произведением векторов , , называется скалярное произведение одного из них с векторным произведением двух оставшихся .
Замечание. Геометрический смысл смешанного произведения. Рассмотрим произвольную тройку некомпланарных векторов ,,, приведённых к общему началу. Тогда модуль смешанного произведения векторов ,, равен объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах. Действительно,
, где , . Заметим, что если тройка векторов , , – правая, то , если , , – левая, то .
Свойства смешанного произведения
1. Ассоциативность: .
Доказательство:
Очевидно, что , так как каждая часть равенства выражает объём параллелепипеда, построенного на векторах ,,. Заметим, что обе тройки ,, и ,, правые, значит в силу коммутативности скалярного произведения. ■
2. Правило циклической перестановки:
.
Доказательство:
Модули всех этих смешанных произведений равны. Первые три смешанных произведения имеют одну ориентацию, последние три – другую. ■
3. Линейность по каждому аргументу:
,
,
.
Доказательство:
Теорема 1. Критерий компланарности векторов
Векторы , компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение .
Доказательство:
Пусть векторы ,,.
Необходимость. Путь векторы , компланарны.
По определению они лежат в одной или параллельных плоскостях. Совмести их начала, тогда все три вектора лежат в одной плоскости, отсюда . Следовательно, .
Достаточность. Пусть . Тогда либо , либо . Если , то векторы и коллинеарные, следовательно, векторы ,, - компланарны.
Если , то вектор лежит в той же плоскости, что векторы и , т.е. ,, - компланарны. ■
Смешанное произведение в ДПСК
Рассмотрим векторы , , в ДПСК . Тогда, учитывая, что
,
получаем .
Пример. При каком векторы , , будут компланарны?
Решение:
Воспользуемся критерием компланарности. Векторы ,, компланарны тогда и только тогда, когда . Вычислим определитель и решим уравнение относительно : ; .
Пример. Даны векторы , , трёх рёбер тетраэдра , выходящих из вершины . Найти вектор высоты тетраэдра, опущенной из вершины на плоскость .
Решение:
Вектор ортогонален плоскости , т.е. коллинеарен вектору
. Следовательно, существует такое число , что . Вектор компланарен векторам и . Тогда найдутся такие числа и , что . Получаем для , . Умножим обе части равенства скалярно на и получим: , т.е. . Таким образом,
.
п. 11.2 Двойное векторное произведение векторов
Определение 1. Двойным векторным произведением векторов ,, называют вектор , равный векторному произведению одного из векторов тройки на векторное произведение оставшихся .
Замечание. Мнемоническое правило для запоминания: .
Теорема1. .
Доказательство:
рис. 2.39
Итак, , учитывая коммутативность скалярного произведения. Покажем, что . Введём ДПСК так, чтобы векторы и были коллинеарными. Тогда . Рассмотрим произведение , ; , ;
,.
Сравнивая последнее равенство со следующим , получаем . ■