eltsov-prakt

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

уравнение прямой x 1 имеет

вид cos 1, или

, а уравнение прямой

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

3.8 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 219 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

3.2. Вычисление кратных интегралов

		6 3x	6 3x 2y
	2	2	6 3x 2y
Поэтому xydxdydz dx		dy	xydz. Вычисляя внутренний ин-
V	0	0	0

							6 3x 2y							06 3x 2y			xy(6 3x 2y) 6xy 3x2y 2xy2 .
теграл, имеем											xydz xyz
теграл, имеем

								0
														6 3x
													2		2		6xy 3x2y 2xy2 dy
Следовательно,								xydxdydz dx									6xy 3x2y 2xy2 dy
								V					0		0
	2											6 3x			2				2			3
	2											2			2	3x 2 x			(6 3x)			3
			3xy2		3	x2y2			2	xy3			dx								x(6 3x)		dx
			3xy2			x2y2				xy3			dx					8					dx
			2					3										8		12
	0											0			0
	0											0			0
2				9x(2 x)3			dx .
2							dx .
			8
		0

Вычисляя последний интеграл, получаем xydxdydz 1,8.

3.15. Пусть область V задана неравенствами y 0, y 0, x2 z2 y2.

Вычислить тройной интеграл xydxdydz.

Данная область есть прямой круговой конус, лежащий в полупространстве y 0 и ограниченный плоскостью y 1. Проекция этого конуса на плоскость XOZ есть круг с границей x2 z2 1, который одновременно является направляющей конуса. Поэтому, расставляя пределы интегрирования, получаем

									1			1 x2				1
xydxdydz dx																dz							xydy. Вычисляя
V									1				2						2		2
												1 x							x	z
																										1												2		1							1			x 1	2		2	.
																										1												2		1
																																					xy
внутренний интеграл,																имеем															xydy																				x	z
внутренний интеграл,																имеем															xydy							2										2			x	z
																																						2			2		z	2				2
																									x2 z2																	x
																									x2 z2																	x

																				1	1							1 x2
Следовательно, xydxdydz																				1				dx									x 1 x2 z2 dz
Следовательно, xydxdydz																				2				dx									x 1 x2 z2 dz
									V												1											2
																													1 x

	1	1					2				z3				1 x2						1			1										2		3		1					2			3
															1 x2																					3										3

						x												dx									x					x									x								dx
	2										3										2																	3
			x		1				z																					1					2				1						2
					1																									1					2				1						2
		1													1 x2									1
		1													1 x2									1
	1	1	2					3						1 2								5					1
		1						3														5

	4		3			2				2				6 5						2
				1 x			2		dx								1 x				2						0.
				1 x					dx								1 x										0.
		1																									1
																											1

82	3. Кратные интегралы

3.16. Пусть область V ограничена поверхностями x 0, y 0, x 2y 4,

z x2 y2 2. Втройном интеграле f(x,y,z)dxdydz перейти к повторным

и расставить пределы интегрирования.

Данная область есть цилиндр с образующей, параллельной оси OZ, c направляющей, являющейся границейтреугольника x 0, y 0, x 2y 4, и ограниченный поверхностями z 0, z x2 y2 2. Проекция этого цилиндра на плоскость XOY есть треугольник с границей x 0, y 0, x 2y 4, которая одновременно является направляющей цилиндра. Поэтому

	4	4 x	x2 y2 2
	4	2	x2 y2 2
f(x,y,z)dxdydz dx		dy	f(x,y, z)dz .
V	0	0	0

3.17. Область V ограничена поверхностями y 0, z 0,			5x y 10,
2x y 10, x y z 10.	В тройном интеграле f(x,y,z)dxdydz перейти
	V	z

к повторным и расставить пределы интегрирования.

Область однозначно проектируется на треугольник 5x y 10, 2x y 10, y 0, лежащий в плоскости XOY, является цилиндром, ограниченным поверхностями z 0, z 10 x y, направляющая которого есть указанный выше треуголь-

ник. Поэтому f(x,y, z) dx dy dz

			V
	10 y		10 x y
10		2	10 x y
dy			dx f(x,y,z)dz.
0	10 y		0
		5

10 y

5 x

3.18. Область V ограничена поверхностями y 0, z 0, 5x y 10,

2x y 10, x y z 15. В тройном интеграле f(x,y,z)dxdydz перейти

к повторным и расставить пределы интегрирования.

Область однозначно проектируется на треугольник y 0, 5x y 10, 2x y 10, лежащий в плоскости XOY, является цилиндром, ограниченным поверхностями z 0, z 15 x y, направляющая которого есть указанный выше тре-

10 y

	z
	15
2	10 y
2

5 x

угольник. Поэтому f(x,y,z)dxdydz	10		2	15 x y
угольник. Поэтому f(x,y,z)dxdydz		dy		dx f(x,y, z)dz.
V	0		10 y	0

3.2. Вычисление кратных интегралов

Задачи для самостоятельного решения

3.19. В тройном интеграле f(x,y,z)dxdydz перейти к повторным

и расставить пределы интегрирования, если область D задана неравенствами (приведен один из вариантов ответа):

а) x 0,

y 0,

z 0,

2x y 2,

z x2 y2 3;

б) x 0,

y 0,

z 0,

x 2y 2,

x2 y2 z ;

в) z 0,

x2 y2 8 z ;

г) y 0,

z 0,

x2 y2 8 z ;

д) x 0,

y 0,

z 0, 2x 3y 6,

x y z 5 0;

е)

x 0,

z 1,

z 10,

x2 y2

4y;

ж) y 2,

z 0,

z 8,

x2 y2 4y ;

з)

x 0,

z 0,

x 5y 15,

x 3y 15,

x y 2z 15;

и)

x 0,

z 0,

x 5y 15,

x 3y 15,

x y 2z 25;

к) x z 4,

x z 4,

2x x2 y2 4x;

л) z 0,

2y z 8,

2y x2 y2 4y.

3.20. Вычислить интегралы:

x y

x2 y2

а)

y z

dz ;

б)

dz ;

1 z

x z

в)

dz dx

ydy ;

г)

dx dz

2ydy.

x z

3.21. Вычислить интегралы:

а)

если область V задана неравенствами x2 y2

2x,

xdxdydz ,

0 z 2;

б)

dxdydz

, если область V задана неравенствами x y z 3,

x y z 3

x 0, y 0, z 0 ;

в)

xyzdxdydz, если область V задана неравенствами x2 y2 z2 4,

x 0, y 0, z 0 ;

г) zx2 z2 dxdydz, если область V задана неравенствами x2 z2 y2,

0 y 2.

84	3. Кратные интегралы

3.3. Замена переменных в кратных интегралах

Рекомендуется предварительно прочитать подразд. 3.3 из [5].

3.3.1. Криволинейные системы координат

Пусть D, D1

Rn — области, r : D D — отображение,
	1
		x1	u1,u2,...,un

r(u) r(u ,u ,...,u )		x2	u1, u2,...,un .
1 2	n		L
			u ,u ,...,u
		x	u ,u ,...,u
		n	1 2	n

Если r — биективное (взаимно однозначное) отображение, то будем говорить, что задана криволинейная система координат, так как в этом случае положение точки x D однозначно определяется точкой u D1. Если вектор-функция r дифференцируема, то криволинейную систему координат будем называть регулярной. Если векторы rul , l 1, 2, ..., n,

попарно ортогональны, то криволинейная система координат называется ортогональной. В частности, криволинейная система координат на плоско-

сти будет ортогональной, если перпендикулярны векторы ru (u,v), rv (u,v) .

Аналогично криволинейная система координат в R3 будет ортогональной,

если перпендикулярны векторы ru (u,v, w), rv (u,v,w), rw (u, v,w) .

Теорема. Пусть f(x) f x1,x2,..., xn — функция, заданная в об-

ласти D Rn, r : D1 D — биективное (осуществляющее взаимно однозначное соответствие) дифференцируемое отображение

x1 u1,u2,...,un

x r(u) r u1,u2,...,un

u ,u ,...,u

n .

u1,u2,...,un

Тогда

f(x)dx

f(u)

r (u)

du ,

...

r (u)

...

где

— модуль якобиана

, то есть

...... ...... ... ......

...

3.3. Замена переменных в кратных интегралах

определителя матрицы Якоби, или, что то же самое, производной мат-


	x1		x1

	u		u
	1	2
	x		x
	2		2
	u1		u2
рицы r (u)	u1		u2
...... ......
			xn
xn			xn
	u		u
	1	2

...

	x1

	u
	n
	x
	2

	un .
......

	xn
	u
	n

3.3.2.Криволинейные системы координат на плоскости. Полярная система координат

Положение точки в этой системе координат определяется длиной радиус-вектора точки и углом между радиус-вектором точки и осью. Если в роли оси полярной системы взять ось OX,

то в координатном виде переход от декартовых y координат к полярным осуществляется по форму-

лам x cos ,		В векторной форме то же самое
	y sin .
записывается в виде
записывается в виде								x
x	x ( , )		cos					x
x	x ( , )		cos
	r( , )			( cos ) i ( sin ) j.
y	y ( , )			sin
	Угол при этом может быть выбран из любого полуинтервала
							3
длиной 2 . Чаще всего берут полуинтервалы [0, 2 ),						,		, [ , ) .
длиной 2 . Чаще всего берут полуинтервалы [0, 2 ),					2	,		, [ , ) .
					2		2

Полярная система координат является ортогональной. Для полярной системы координат на плоскости формула перехода к полярным координатам в двойном интеграле приобретает вид

f(x,y) dxdy f( cos , sin ) d d .

Простейшими областями на плоскости для полярной системы координат являются области, заданные неравенствами 1 2, 1( ) 2( )

86	3. Кратные интегралы

или 1 2, 1( ) 2( ). Соответственно расстановка пределов интегрирования в полярной системе координат будет иметь вид

	2	2 ( )
f(x,y) dxdy		d		f( cos , sin ) d
D	1		1( )

в случае первой простейшей области и

	2	2 ( )
f(x,y) dxdy d			f( cos , sin ) d
D	1	1( )

в случае второй простейшей области.

			0			0
3.22. Вычислить интеграл				dx				3 x2		y2 dy .
			R			2	2
						R	x
		Перейдем к полярным координатам. Так как
область интегрирования есть четверть круга
радиуса R,						лежащая в третьем квадранте, то
0			0									R		3 2
dx						3 x2 y2 dy 3 2 d										d
R			2	2								0
		R		x
	R		3 2							R					R
	R			3		2				R	3		2		R	5 3
				3		2					3		2			5 3
					d				2			d		2			d
					d							d					d
	0									0					0

3 83 R 3 R83 . 16 0 16

R 2

R2 x2

3.23. Вычислить J

y2 dy dx

x2 y2 dy.

R 2

Область интегрирования есть сектор, изобра-

женный на рисунке. Переходя к полярным коорди-

натам, имеем J

3.24. Пусть область D — внутренность треугольника с вершинами

A(0, 0), B(2, 2), C(4, 1). В интеграле

f(x,y) dxdy перейти к полярным

координатам и расставить пределы интегриро-

вания.

Уравнения прямых AB, AC и BC — y x,

и 3x 2y 10 соответственно. Поэтому

угол между радиус-векторомточки, принадлежащей треугольнику ABC,

3.3. Замена переменных в кратных интегралах

и осью OX меняется в пределах

arctg

Уравнение прямой

3x 2y 10 в полярных координатах переписывается в виде

3 cos

2 sin 10,

или,

что то же

самое,

Поэтому

3 cos 2 sin

3cos 2sin

f(x,y) dxdy

f( cos , sin ) d .

arctg 0,25

3.25. Пусть область D — внутренность треугольника с вершинами

A(1, 0), B(0, 2), C(1, 2). В интеграле f(x,y)dxdy перейти к полярным

координатам и расставить пределы интегрирования.

Уравнения прямых AB, AC и BC есть 2x y 2, x 1 и y 2 соответственно. Уравнение прямой 2x y 2 в полярных координатах имеет вид 2 cos sin 2, или, выражая через ,

y 2 переписывается в виде sin 2, или, что

то же самое,	2	. С учетом того, что при
	sin

изменении угла в пределах 2 arctg ( 2) и arctg ( 2) 0 длина радиус-вектора точки, принадлежащей треугольнику ABC, меняется в раз-

arctg( 2)	2
	sin

ных пределах, имеем f(x,y) dxdy							d		f( , ) d
					D	2		1
								2cos sin
			1
	0			cos
		d			f( , ) d .
	arctg( 2)		1
			2cos sin

3.26. Пусть область D — внутренность круга			y
3.26. Пусть область D — внутренность круга
с центром в точке A( 1, 0) и радиуса 1. В интегра-
с центром в точке A( 1, 0) и радиуса 1. В интегра-
ле f(x,y)dxdy перейти к полярным координа-
D
там и расставить пределы интегрирования.	–2	–1		x
там и расставить пределы интегрирования.
Уравнение данной окружности в декартовых
координатах записывается в виде (x 1)2 y2 1,
координатах записывается в виде (x 1)2 y2 1,

88	3. Кратные интегралы

или, после преобразований, x2 y2 2x. Переходя к полярным координатам, получаем для этой окружности уравнение 2cos . Поэтому

	3 2		2cos
f(x,y) dxdy		d		f( cos , sin ) d .

D2 0

3.27.Пусть область D задана неравенствами x2 y2 4x, x2 y2 2x. Перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования

винтеграле f(x,y)dxdy .

		D
	y		Уравнение окружности x2 y2 4x в по-
	y		Уравнение окружности x2 y2 4x в по-
			лярных координатах имеет вид 4cos , а ок-
			ружности x2 y2 2x —			2cos . Поэтому
–4 –2		x		3 2	4cos
–4 –2		x	f(x,y) dxdy	d		f( cos , sin ) d .
			f(x,y) dxdy	d		f( cos , sin ) d .
			D	2	2cos

3.28. Пусть область D задана неравенствами 1 x2 y2 4, x 0,
x y 1, x y 1.			Перейти к полярным координатам и расставить преде-

лы интегрирования в интеграле f(x,y)dxdy .

Уравнения прямых x y 1 и x y 1 в полярных координатах имеют соответственно вид

cos sin 1 и cos sin 1. Таккак


			2		2

cos sin	2			cos		sin 2 sin		,

		2			2		4

то эти уравнения переписываются в виде

y
2
1
1	2	x
2 sin	1	и
4

		sin				1.		Разрешая последние относительно ,
	2	sin				1.		Разрешая последние относительно ,						получаем соот-
			4
ветственно							arcsin		1	и	arcsin	1	. Поэтому	f(x,y) dxdy
ветственно							arcsin			и	arcsin		. Поэтому	f(x,y) dxdy
						4			2	4		2		D
														D
				arcsin		1
			4	arcsin
2			4			2
d						1	f( cos , sin )d .
1					arcsin	1
			4		arcsin
			4			2

3.29. Пусть область D задана неравенствами 4 x2 y2 16, 1 y 2, x 0. Перейти к полярным координатам и расставить пределы интегриро-

вания в интеграле f(x,y)dxdy .

Уравнения прямых y 1 и y 2 в полярных координатах имеют вид sin 1 и sin 2. Разрешая последние относительно , получа-

3.3. Замена переменных в кратных интегралах


ем соответственно arcsin			1		и	arcsin	2	. Поэто-
ем соответственно arcsin					и	arcsin		. Поэто-

		arcsin		2
	4	arcsin
	4
му f(x,y) dxdy d					f( cos , sin ) d .
D	2	1
		arcsin
		arcsin

3.30. Пусть область D задана неравенствами 4 x2 y2 16, x 1. Перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в

интеграле f(x,y)dxdy.

Уравнениепрямой x 1 в полярныхкоординатахимеетвид cos 1.

Разрешая его относительно ,

получаем соответственно arccos

для

участка прямой, лежащего в полуплоскости

y 0,

и arccos

для участка прямой, лежа-

щего в полуплоскости y 0. Поэтому

arccos

f(x, y) dxdy d

f( cos , sin ) d .

arccos

Иногда бывает удобно перейти от декартовых координат к обобщён-

нымполярным координатам либо по формулам

x a cos , либо по фор-

y b sin ,

x a cos

что в векторной форме записывается

в виде

мулам

y b sin ,

x( , )

a cos

i b sin j в первом

случае

r( , )

y( ,

)

b sin

и соответственно

x( , )

a cos

r( , )

a cos i b sin j

y( , )

b sin

во втором. Угол при этом может быть выбран из любого полуинтервала длиной 2 . Для первой замены модуль якобиана равен J ab , а для второй — J ab sin 1 cos 1 . Первая замена обычно применяется в том случае, когда область есть эллипс или какая-то его часть, ограниченная дугой этого эллипса.

90	3. Кратные интегралы

3.31. Вычислить интеграл 3	x2		y2	dxdy, где D — область, задан-
3.31. Вычислить интеграл 3	9		4	dxdy, где D — область, задан-
D
ная неравенствами 4x2 9y2 36, y		2	, y		2	x.
ная неравенствами 4x2 9y2 36, y			, y			x.
		3		3	3

Область интегрирования есть часть эллипса, поэтому удобно сделать замену x 3 cos , y 2 sin . Уравнения границ в новых координатах

имеют соответственно вид 1,																								tg																		и tg					1		. Поэтому, когда
																																		3													1
																																		3
																																																3
					y											точка пробегает область, переменная меняется
					y											точка пробегает область, переменная меняется
			2													в пределах 0 1, а переменная																																						— в преде-

																																																		1
																лах от							значения																			0	arctg																до зна-
										3 x						лах от							значения																			0	arctg												6				до зна-
										3 x																																									3				6
																										arctg																		.
																чения																										3			Пересчитывая подын-
																чения																										3			Пересчитывая подын-
																								1																			3
																																											3
тегральную функцию в новых координатах, имеем
																																																							2
	x2		y2						9 2 cos2					4 2 sin2																																									2


3						3																				3 2						cos2 sin2 3 2 3 . Модуль
3	9		4			3		9									4									3 2						cos2 sin2 3 2 3 . Модуль

якобиана перехода равен																			J		3 2														6 . Поэтому															3		x2				y2			dxdy
																																																				x2				y2
																																																				9					4
																																																				9					4
																																																D
						2		1 5														1										5													1 5												8	1
1			3			2		1 5						3								1										5													1 5								3				8	1		9
d						3	6 d 6					3	d d								6							3										3			d 3					3	d 3						3				3			9
																																															d 3						8							8	.
																																																					8							8	.
0								0														0								6															0													0
																						0								6																												0
			6											6
		3.32. Вычислить интеграл 4																											4										dxdy,
		3.32. Вычислить интеграл 4																									x		4						y				dxdy,						где D — область, задан-
																					D
																				12, y												81					, y 0.
ная неравенствами											9x							4y														81
ная неравенствами											9x							4y														4
																																4
		Разделив обе части первого неравенства на 6,

можно переписать его в виде																						x									y		2. Это
можно переписать его в виде																					4							9					2. Это
																					4							9
наталкивает на применение замены x 4 cos4																																			,		y 9 sin4 .

		Тогда уравнение границы																								x										y				2				можно записать в виде
		Тогда уравнение границы																																9						2				можно записать в виде
																										4								9

	x			y						cos2					sin2										2. Или, что то жесамое,																													4. Урав-
	x			y
4			9
4			9

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 219 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.05.2015130.16 Кб10ekonomika.docx
#
11.05.2015495.62 Кб97ekzamen_istoria.doc
#
27.09.2019214.53 Кб7Ekzam_Voprosy_po_PM.doc
#
11.05.2015271.36 Кб46Ekz_testy_OPES.doc
#
11.05.20152.75 Mб47Ekz_testy_osnova.doc
#
11.05.20153.8 Mб16eltsov-prakt.pdf
#
11.05.20153.21 Mб26eltsov.pdf
#
16.03.201635.56 Кб18English 1-6.pdf
#
11.05.20152.43 Mб447English for Engineering Faculties_new version.pdf
#
11.05.20152.43 Mб300English for Engineering Faculties_new version.pdf
#
10.05.20153.89 Mб85English for Masters. 12.doc