Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

eltsov-prakt

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

3.8 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2110 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

3.3. Замена переменных в кратных интегралах

нение границы y	81	x	записывается в виде 9 sin4			81	4 cos4 или,
						4
4
после преобразований,			tg		0			. Переходя
				3. Поэтому 0 4,

						3

кновым координатам в подынтегральной функции, получаем 4x 4y

2 4 cos 3 4 sin .

Якобиан перехода (определитель матрицы Якоби, или, что то же са-

																																															x						x
мое, определитель производной матрицы) равен																																																							4 4 9 cos3
мое, определитель производной матрицы) равен																																														y						y			4 4 9 cos3
																																														y						y

sin3				144 cos3										sin3					. Таким образом,
															4			3
4					4					dxdy d															4		cos											4					sin 144 cos3																	sin3				d
4			x		4			y		dxdy d														2	4		cos										3	4					sin 144 cos3																	sin3				d
D															0			0
									4					3																					4															3
	144								2	5 4d cos4										sin3 d 144																				3		5 4d cos3 sin4																					d .
									0						0																				0																0
	Для внутреннего интеграла в первом слагаемом имеем
3																3																																3
cos4 sin3 d																		cos4 1 cos2															d(cos )																					cos4 d(cos )
0															0																																		0
3																		5			3									7				3																1						1						1		233
3																		5			3									7				3
	cos6					d(cos )											cos									cos																1																									.
	cos6					d(cos )																																				5								5						7								4480			.
0																		5			0							7						0	2									5						5						2		7			7			4480
0																					0													0
	Для внутреннего интеграла во втором слагаемом получаем
3			4						3					3					4	1										2		d(sin )														sin			5						3				sin		7		3
3														3																																			5						3						7		3
sin															sin
					cos d																				sin
					cos d																				sin																							5												7
0				5									7		0								5								7																								0								0
0															0																																								0								0

																				3									3						9						22				7													5
		3					1					3			1					3									3						9				3		22				7					27						3		5			117			3
																																																																	.
																			5																									7																					.
	2						5								7				5		5				7					7														7			5		7												4480
	2						5				2				7			2			5				2					7					2												5		7												4480
									4																					4						233									5 4
									4																											233									5 4
	Тогда x													4 y dxdy 144																2																		d
	Тогда x													4 y dxdy 144																2																		d
									D																					0						4480
																						9 233										117 3
						4																								2																						4					3728 2808
									117		3				5 4																													9 4					4																	2


144					3													d																																																		.
144					3				4480									d												280																			9												35							.
									4480																					280																			9												35
						0																																														0
						0																																														0

92	3. Кратные интегралы

Иногда бывает удобно перейти к криволинейной системе координат, отличной от рассмотренных выше.

3.33. Вычислить интеграл 2x y dxdy, где D — внутренность

D
параллелограмма со сторонами 3x y 1 0,	3x y 1	0,	3x 2y 0,
3x 2y 1 0.

При расстановке пределов интегрирования в декартовой системе координат приходится разбивать область интегрирования на три. Введение новых переменных по формулам u 3x y, v 3x 2y позволяет проще

вычислить этот интеграл. При этом x	2u v	, y u v , и когда точка
	3

(x, y) пробегаетпараллелограмм, то u и v меняются в пределах 1 u 1, 0 v 1. Подынтегральная функция в координатах u и v приобретаетвид

			4u 2v												u v					Определитель матрицы Якоби (якобиан
2x y					3		u v									3			.	Определитель матрицы Якоби (якобиан
2x y							u v												.

										x				x							2 3			1 3															J		1	,
										x				x
перехода) равен J										u				v																2		1	1	. Тогда



										y				y
										y				y							1				1				3 3				3							3
										u				v
							1		1 u v							1				1			1				1		2		1		1		1		1
							1		1 u v							1				1			1				1		2		1		1		1		1
2x y dxdy								du									dv							uv				v				du				u		du
2x y dxdy								du			3					3	dv			9				uv			2	v				du	9			u	2	du
D							1	0			3					3				9			1				2				0		9		1		2
D		u2				1	1	0															1								0				1
	1			u				1		1			1					1				1			1	.
	1			u				1		1			1					1				1			1



	9	2		2		1		9		2		2					2					2			9
		2				1

3.34. Вычислить интеграл xdxdy, где D — область, заданная нера-

венствами y x, y 4x, xy 1, xy 9. Переписав уравнения прямых

y x,

y 4x, на которых лежит часть границы области, в форме

видим, что удобно сделать замену переменных u xy,

. Так

как данную область можно задать неравенствами x y 4x,

1 xy 9,

то переменные u и v меняются соответственно в пределах

1 u 9,

1 v 4. Выражая старые переменные через новые, получаем

uv . Подынтегральная функция в новых переменных принимает вид

. Якобиан перехода (определитель матрицы Якоби) равен

3.3. Замена переменных в кратных интегралах

												u					u									1																u
												u					u									1																u
							J					x					y					2 uv														2 v3																	u									u					v		1		.
												x					y					2 uv																															u									u					v		1
												v					v

																											v													u										4 uv v									4				u				v3		2v
												x					y

																								2 u											2 v																				1													1		4
																								2 u											2 v


																					9										4																	9				4													9
																					9										4				u													9				4			u2										9			2u2
		Поэтому										xdxdy du																															dv				du												dv											du
		Поэтому										xdxdy du																															dv				du										3		dv									1		du
																																2v							v
												D									1										1																	1				1 2v2											1					2v2
9																				9																		3									9																							1
																																																																						1



					u																	u												u2										2										1					2
					u																	u												u2										2										1					2
									u du																	du																						9											8		.
				2					u du												2					du																						9						3					8		.
				2																	2												2 3																					3					3
	1																			1
																																															1
																																															1
		3.35. Вычислить интеграл																																							dxdy							, где D — область, заданная нера-
		3.35. Вычислить интеграл																																							2 2							, где D — область, заданная нера-
																																			D						x y
венствами								y 4x2,												y 9x2,												x y2,														x 4y2 . Переписав уравнения границ
в виде						y		4,								y		9,						x					1,							x							4, видим, что удобно сделать замену
в виде						2		4,								2		9,						2					1,							2							4, видим, что удобно сделать замену
						x									x								y											y
u		y		, v							x			. Тогда								4 u 9,																		1 v 4. Выражая x и y через u и v,
u		2		, v						2				. Тогда								4 u 9,																		1 v 4. Выражая x и y через u и v,
		x								y
															2										y								4				2											3									1											1
получаем x vy ,																				u											, y						v					u			y, y															,	y								,
																						v2y4																																		uv2
																						v2y4																																		uv2											3 uv2
x v				1											1				.
x v																			.
			3 u2v4										3 u2v
		Якобиан (определитель производной матрицы, или, что тоже самое,
матрицы Якоби) равен
																				x			x										2				u				5 3						v	1 3							1			u	2 3		v		4 3
																				x			x										2								5 3							1 3							1				2 3				4 3
														J						u			v										3																						3
														J						u			v										3																						3
																				y			y										1				u				4 3						v	2 3							2			u	1 3		v		5 3
																				u			v										3				u										v								3			u			v
																				u			v										3																						3
											4		u 6 3 v 6 3															1		u 6 3 v 6 3																			3		u 6 3 v 6 3													1		u 2 v 2 .
													u 6 3 v 6 3																	u 6 3 v 6 3																					u 6 3 v 6 3															u 2 v 2 .
										9																9																						9															3

Подынтегральная функция в новых координатах принимает вид

1
			3 u2v4 3 u4v2 u2v2 .
2		2
x y
	1	9	4	1	9	v	14 du	1
		du dv

	3			3				3

		4	1		4

	dxdy	9	4	1	u 2v 2 dv
Тогда		du u2v2
	2 2			3
D	x y	4	1

3 du u 94 5.

94	3. Кратные интегралы

Задачи для самостоятельного решения

3.36. В двойном интеграле f(x,y)dxdy перейти к полярнымкоорди-

натам и расставить пределы интегрирования, если область D задана неравенствами:

a) 1 x2 y2 4, y x, y 3x ;

б) y x, y

3 x, x 3;

в) y x, y

3 x, 3x 2y 6;

г) x 2y 4, x 4, y 2 ;

д) x2 y2 4y ;

е) 2y x2 y2 4y ;

ж) x

x2 y2 2x;

з) y

x2 y2 2y ;

и) 1 x2 y2 4, x 0, x y 1, x y 1 ;

к) 4 x2 y2 16, 1 y 2, x 0 ; л)

4 x2 y2 16, 2 y 1, x 0 ;

м) 4 x2 y2 16, 2 y 1, x 0 ;

н) 4 x2 y2

16, x 1;

о) 4 x2 y2 16, y 1;

п) 4 x2 y2 16, y 1;

р) x2 y2 4, x 1.

3.37. Вычислить интегралы, перейдя предварительно к полярным

координатам:

а)

5x2 4xy dxdy, если

область D задана неравенствами y 0,

x2 y2

2x ;

б)

cos x2 y2 dxdy,

если область D задана неравенствами

y2 ;

в)

ydxdy,

если область D задана

неравенствами y 0, x 3,

x2 y2

6x ;

г)

3 x2 y2

5 dxdy,

если область D задана неравенствами y x,

1 x2 y2 16.

3.38. Вычислить интегралы, перейдя предварительно к одной из обоб-

щённых полярных систем координат:

x y dxdy, если

а)

область D задана неравенствами y

x ,

36 9x2 4y2 324;

б)

16 4x2 y2 dxdy,

если область D задана неравенствами

4x2 y2 16, x 0, y 0;

3.3. Замена переменных в кратных интегралах

в)

xydxdy,

если

область D задана неравенствами

x ,

36 4x2 9y2

576;

ydxdy,

x 2 3

y 2 3

г)

если область D задана неравенствами 1

x 0,

y 0;

д)

2y dxdy, если

область D задана

неравенствами

2, y

x, x 0 .

3.39. Вычислить интегралы, подобрав удобную систему координат:

а)

12x 3y dxdy,

если

область D задана

неравенствами

1 x 2y 3, 2 3x y 5 ;

б)

dxdy,

если область D задана неравенствами 6 3x 2y 12,

D x

x y 5x;

в)

dxdy

если область D задана неравенствами x2 y 9x2,

x y 4x ;

г)

dxdy

если область D задана неравенствами

x3 y 27x3,

3 3

x y

y3 x 9y3 ;

д)

dxdy

если область D задана неравенствами x3 y 8x3,

x y

y2 x 4y2 ;

е)

y2dxdy, если область D задана неравенствами x y 3x,

4 xy 5;

ж)

dxdy

если область D задана неравенствами x y2

10x,

3x y 5x ;

з)

ydxdy,

если область D задана неравенством

96	3. Кратные интегралы

3.3.3.Криволинейные системы координат в R3 . Сферическая

ицилиндрическая системы координат

Возможны два обобщения полярной системы координат на случай

пространства R3. Первое из них называется сферической системой коор-

z		динат. Положение точки в этой системе коорди-
		нат определяется длиной радиус-вектора точки,
		нат определяется длиной радиус-вектора точки,
		углом междурадиус-вектором точки и осью OZ,
		углом между проекцией радиус-вектора точ-
	y	ки на плоскость XOY и осью OX. Формулы
		ки на плоскость XOY и осью OX. Формулы
		перехода в координатной форме имеют вид
		перехода в координатной форме имеют вид
x		x cos sin ,
			sin sin ,
		y	sin sin ,
			cos .
		z	cos .

В векторной форме эти формулы записываются в виде

x		x( , , )	cos sin
	r( , , )			sin sin
y		y( , , )
				cos
z		z( , , )

( cos sin ) i ( sin sin ) j ( cos ) k.

При этом 0 , 0 2 , 0 . Как и в полярной системе координат, допускается угол выбирать из любого полуинтервала длиной 2 .

Формула перехода к сферическим координатам в тройном интеграле приобретает вид

f(x,y,z) dxdydz f( cos sin , sin sin , cos ) 2 sin d d d .

Второе обобщение полярной системы коорди-

нат называется цилиндрической системой коор-

динат. Положение точки в этой системе координат определяется длиной проекции радиус-вектора точки на плоскость XOY, углом между этой проекцией и осью OX, координатой z. Формулыпереходавкоординатнойфор-

x cos ,

ме записываются в виде y sin ,

z z.

В векторной форме то же самое записывается в виде

x		x( , , z)	cos
	( , , z)			sin
y		y( , , z)

z		z( , , z)	z

( cos )i ( sin )j zk.

3.3. Замена переменных в кратных интегралах

При этом 0 < , 0 < 2 , – < z < . Так же как в полярной и сферической системах координат, в цилиндрической системе координат допускается угол выбирать из любого полуинтервала длиной 2 .

Формула перехода к цилиндрическим координатам в тройном интеграле приобретает вид

f(x,y, z)dxdydz f( cos , sin , z) d d dz .

D	D1

	R		R2 x2		0	x2 y2 dz , перей-
3.40. Вычислить интеграл	dx			dy		x2 y2 dz , перей-
	0
	0	R2 x2			R2 x2 y2

дя к сферической системе координат.

Область интегрирования есть часть нижней половины шара с центром в начале координат и радиуса R, лежащей в полупространстве x 0.

Поэтому 0 R,

Далее,

x2 y2 2sin2 . Следова-

R2 x2

тельно,

x2 y2

2 sin2

2 sin d

R x

d sin

R .

1 x2

3.41. Вычислить интеграл

dz,

перейдя к цилиндриче-

ской системе координат.

Область интегрирования есть половина кругового цилиндра радиуса 1,

лежащая в полупространстве y 0. Поэтому

0 1, 0 , 0 z a. Сле-

1 x2

dy dz d d dz

довательно,

3.42. Вычислить интеграл y2dxdydz,

если область D задана нера-

венствами z

x2 y2 ,

z 3.

Область интегрирования есть внутренность

прямого кругового конуса z2 x2

y2 , лежащая

в полупространстве z 0 и ограниченная плоско-

стью z 3. В данном случае удобно перейти к ци-

линдрической системе координат. Из уравнения

98	3. Кратные интегралы

z x2 y2 при z 3 получаем x2 y2 9. Поэтому проекцией данной ча-

сти конуса на плоскость XOY будет круг радиуса 3 с центром в начале координат. Следовательно, 0 3, 0 2 . Уравнение данной нам час-

ти конуса z x2 y2 в цилиндрической системе координат будет иметь

вид z . Поэтому z 3. Подынтегральная функция в цилиндрической

системе координат примет вид y2 2 sin2																										. Таким образом, получаем
							2					3	3										2			3	3
y2dxdydz										d d					2 sin2 dz									d d 3 sin2								dz
D								0				0											0			0
	2		3	3			2					3					2		3		2		3						2			2			3 4		5	3
	2		3														2		3										2

		d						z										d		sin							d												d
																																			4
					sin								d												3					sin
	0		0														0		0										0		2							0
	0		0														0		0										0									0
	243 2				2						243 2				1 cos 2								243					sin2						243
	243 2				2						243 2				1 cos 2								243					sin2						243
				sin		d															d															2 12,15 .
	20 0			sin		d						20 0						2			d		40				2							40		2 12,15 .
																		2					40				2				0			40
																															0
		3.43. Вычислить интеграл yzdxdydz, если область D задана нера-
																				D

венствами z									x2 y2 ,							x2 y2 z2 4,									y 0 .
		Область интегрирования есть вырезанная в шаре x2 y2 z2 4 внут-
ренностью конуса z2 x2																	y2		часть, лежащая в пересечении (общей час-
														ти) полупространств y 0,															z 0. Так как область
														является частью шара, то удобно перейти к сфери-
														ческой системе координат. При этом угол
														принимаетнаибольшеезначение, когда точка лежит

														на части конуса z x2														y2 , и оно равно значению
																arctg1						. Поэтому 0											. Проекция облас-
													1								4											4
ти на плоскость XOY будет часть круга с центром в начале координат и
лежащая в полуплоскости y 0.																					Следовательно, 0 . Так как сфера
имеет радиус,								равный 2, то меняется в пределах																										0 2.			Подын-

тегральная функция в сферической системе координат примет вид

yz 2 sin sin cos . Таким образом, получаем					yzdxdydz
					D

	4	2	4	2

d d 2 sin sin cos 2 sin d d d 4 sin sin2 cos d

0	0	0							0	0	0
						2
	4		2		5	2	32		4			2
d sin sin			2	cos		d	32	d sin sin				2	cos d
d sin sin				cos	5	d	5	d sin sin					cos d
0	0					0		0	0
0	0					0		0	0

3.3. Замена переменных в кратных интегралах

			sin3
	32			4		8 2						8 2							16 2
	32	sin		4	d	8 2		sin d				8 2	cos						16 2			.
	5		3		d	15						15	cos			0				15
	5		3			15						15				0				15
		0		0			0			f(x,y, z) dxdydz,
		0		0			0
	3.44. В тройном интеграле																	где D — область, за-
											D
							2			2	2	2	1		x		2		2		, y 0,
данная неравенствами						1 x			y		z 9, y							z					перейти
						1 x			y		z 9, y			4				z

к сферическим координатам и расставить пределы интегрирования.

Область интегрирования есть находящаяся между сфер x2 y2 z2 1,

x2 y2 z2 9 внутренность конуса y2 14 x2 z2 , лежащая в полупрост-

ранстве y 0. В данном случае лучше перейти к сферическим координатам, предварительно поменяв местами оси OY и OZ, то есть произвести пе-

реход по формулам x cos sin , y cos ,

z sin sin , где —угол между радиус-векто-

ром точки и осью OY, а остальные переменные те же, что и в стандартной сферической системе координат. Наибольшее значение угол принимает

вслучае, когдаточкалежит наповерхности конуса, и оноравно 1 arctg 2,

следовательно, 0 arctg 2. Так какпроекция области на плоскость XOZ есть круг с центром в начале координат, то 0 2 . И наконец, когда точка лежит в области интегрирования, её радиус-вектор изменяется

						f(x,y, z)dxdydz
в пределах 1 3. Таким образом, получаем						f(x,y, z)dxdydz
					D
2		arctg 2	3
	d		d f( cos sin , cos , sin sin ) 2 sin d .
0		0	0
	3.45. В тройном интеграле			f(x,y, z)dxdydz,			где D — область, за-
				D
данная неравенствами x2 z2 4,				y2 x2 z2 ,	y 0,		y 9 x2 z2 , перей-

ти к цилиндрическим координатам и расставить пределы интегрирования.

Область интегрирования ограничена цилиндром x2 z2 4 с образу-

ющей, параллельной оси OY, конусом y2 x2 z2 и параболоидом враще-

ния y 9 x2 z2 . В данном случае лучше перейти к цилиндрическим координатам, предварительно поменяв местами оси OY и OZ, то есть произвести переход по формулам x cos ,

y y, z sin , где — проекция радиус-век-

тора точки на плоскость XOZ; — угол между этой проекцией и осью OX. Так как проекция области на плоскость XOZ есть круг с центром в начале

100	3. Кратные интегралы

координат радиуса 2, то 0 2 , 0 2. Пересчитывая уравнения гра-

ниц y2 x2 z2 , y 9 x2 z2 в цилиндрические координаты, имеем соот-

ветственно y2 x2 z2 2 cos2 2 sin2 2 , или y и y 9 x2 z2

9 2 cos2 2 sin2 9 2 . Следовательно, y меняется в пределах

y 9		2 . Таким образом, получаем f(x,y, z)dxdydz
			D
2	2	9 2
	d d		f( cos ,y, sin ) dy.
0	0

Иногда бывает удобно перейти от декартовых координат к обобщён-

x a cos sin ,

ным сферическим по формулам y b sin sin , либо в более общем виде

z c cos

x a cos sin ,

y b sin sin ,

z c cos .

В векторной форме то же самое записывается в виде

x		x( , , )	a cos sin
	r( , , )
y	r( , , )	y( , , )	b sin sin

z		z( , , )	c cos

(a cos sin ) i (b sin sin ) j (c cos ) k

для первой замены и в виде

x		x( , , )	a cos sin

	r( , , )		b sin	sin
y	r( , , )	y( , , )	b sin	sin

z		z( , , )	c cos

(a cos sin ) i (b sin sin ) j (c cos ) k

для второй замены.

Угол при этом может быть выбран из любого полуинтервала

длиной 2 . Для первой замены модуль якобиана равен J abc 2 sin , а

для второй — J abc 2 2 sin2 1 sin cos cos 1 .

Первая замена обычно применяется в том случае, когда область есть эллипсоид или какая-то его часть, ограниченная частью поверхности этого эллипсоида.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2110 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.05.2015130.16 Кб10ekonomika.docx
#
11.05.2015495.62 Кб97ekzamen_istoria.doc
#
27.09.2019214.53 Кб7Ekzam_Voprosy_po_PM.doc
#
11.05.2015271.36 Кб46Ekz_testy_OPES.doc
#
11.05.20152.75 Mб47Ekz_testy_osnova.doc
#
11.05.20153.8 Mб16eltsov-prakt.pdf
#
11.05.20153.21 Mб26eltsov.pdf
#
16.03.201635.56 Кб18English 1-6.pdf
#
11.05.20152.43 Mб447English for Engineering Faculties_new version.pdf
#
11.05.20152.43 Mб300English for Engineering Faculties_new version.pdf
#
10.05.20153.89 Mб85English for Masters. 12.doc