eltsov-prakt

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5.115. Для уравнения y

2y 10y 0 корни характеристического

уравнения r2 2r 10 0 равны r

1 3i, ифундаменталь-

уравнения r2 2r 10 0 равны r

1 3i, ифундаменталь-

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

3.8 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2117 18 19 20 21 > Следующая >>>

5.2. Уравнения высших порядков

161

5.113. Для уравнения y 8y 16y 0 характеристическое уравнение r3 8r2 16r 0 имеет корни r 0 кратности 1 и r 4 кратности 2, так

как r3 8r2 16r r r 4 2 . Поэтому фундаментальной системой решений

исходного уравнения является система функций y1 1,	y2 e4x, y3 xe4x,
а общее решение имеет вид y C1 C2e4x C3xe4x.

5.114. Для уравнения	y(5) 10y(4) 25y 0 характеристическое
уравнение r5 10r4 25r3 0	имеет корни r 0 кратности 3 и r 5 крат-

ности 2, так как r5 2r4 r3 r3 r 5 2 . Поэтому фундаментальной сис-

темой решений исходногоуравненияявляется системафункций y1 1, y2 x,

y3 x2, y4 e5x,	y5 xe5x,	а общее решение имеет вид y C1 C2x C3x2
C4e5x C5xe5x.

ная система решений состоит из функций y1 e–x cos 3x, y2 e–x sin 3x,

а общее решение имеет вид		y C e x cos 3x C e x sin 3x.
		1		2
5.116. Для уравнения		y 6y 13y 0		корни характеристического
					6
уравнения r3 6r2 13r 0	равны r		0, r		6	36 52	3 2i , и фун-
уравнения r3 6r2 13r 0	равны r		0, r				3 2i , и фун-
		1	2,3			2
						2

даментальная система решений состоит из функций y1 1, y2 e3xcos 2x,


ходного уравнения является система функций y1 cos 3x,			y2 sin 3x,
y3 xcos 3x, y4 xsin 3x, а	общее решение имеет вид y C1cos 3x
C2sin 3x C3xcos 3x C4xsin 3x.
Задачи для самостоятельного решения
5.118. y 4y 3y 0.	5.119. y 5y 4y 0.
5.120. y 3y 2y 0.	5.121. y 4y 4y 0.
5.122. y 9y 27y 27y 0.		5.123. y(5) 6y(4) 9y 0.
5.124. y 4y 0. 5.125. y(4)		6y 9y 0.
5.126. y 4y 5y 0.	5.127. y 3y y 5y 0.

162	5. Дифференциальные уравнения

5.2.3.Метод вариации произвольных постоянных решения линейных неоднородных уравнений

Рекомендуется предварительно ознакомиться с п. 5.2.5 из пособия [5]. Алгоритм метода следующий:

1) находим фундаментальную систему решений y1, y2, ..., yn соответствующего однородного уравнения;

2) ищем решение неоднородного уравнения в виде y(x) C1(x)y1

C2(x)y2 ... Cn(x)yn Cj (x)yj , где C1(x), C2(x), ..., Cn(x) — функции,

j 1

подлежащие определению; для нахождения функций Cj (x) составляемси-

стему алгебраических уравнений

Cj (x)yj 0,

j 1

	Cj (x)yj 0,
	Cj (x)yj 0,
j 1
................................

n		b(x)
	Cj (x)yj(n 1)	b(x)	, an (x) 0.
	Cj (x)yj(n 1)		, an (x) 0.
j 1		an (x)

Для n 2, то есть для уравнения второго порядка, эта система уравнений приобретает вид

C1 y1 C2 y2 0,

							b(x)
		C1 y1 C2 y2								,
		C1 y1 C2 y2					a2(x)			,
							a2(x)
а для n 3 система записывается в виде

C y C				y C		y 0,
	1	1	2	2	3		3
C1 y1			C2 y2		C3 y3 0,
									b(x)
C		y	C	y	C	y			b(x)		.
C		y	C	y	C	y					.
	1	1	2	2	3		3		a (x)
								3
								3

Изложенный метод называется методом вариации произвольной постоянной или методом Лагранжа.

5.128. Найти общее решение уравнения	y y 6y	5e2x
				.
		e2x
			9

Соответствующее однородное уравнение имеет вид y y 6y 0. Кор-

ни его характеристического уравнения r2 r 6 0 равны 2 и 3. Поэтому фундаментальная система решенийоднородногоуравнения состоит из функ-

5.2. Уравнения высших порядков

163

ций

e2x

e 3x.

Решение неоднородного уравнения ищем в виде

y C (x)e2x C (x)e 3x.

Для нахождения производных

C , C

составляем

C e

5e2x

систему уравнений

2C e2x 3C e 3x

e2x 9

Умножая первое уравнение на 3 и складывая результат со вторым,

получаем 5C e2x

5e2x

, или C

. Далее, умножая первое уравне-

e2x 9

ние на 2 и вычитая из второго, имеем 5C e 3x

5e2x

, или C

e5x

e2x 9

Интегрируя,

получаем

e 2x

d e 2x

e2x 9

1 9e 2x

e5x

e3x e2x 9 9

ln 1

C , C

e2x 9

e3x

ex e2x 9 9

9 e

e2x 9

27arctg

C2 .

Подставляя C1 и C2

в выражение для y, окончательно находим

% 2x

ln 1 9e

27e

arctg

C e

5.129. Найти общее решение уравнения y 2y y 2y

e2x 9

Корни характеристического полинома r3 2r2 r 2 соответствующего однородного уравнения равны 1, 1, 2. Поэтому фундаментальная систе-

ма решений однородного уравнения состоит из функций										y	e	x, y ex,
y e2x.										1		2
y e2x.	Решение неоднородного уравнения ищем в виде										y C (x)e x
3												1
C (x)ex C (x)e2x.		Для нахождения производных C							, C , C			составляем
2	3					1				2	3
систему уравнений

		C e x C ex			C e2x 0,
			1	2	3
		C e		x C ex 2C e2x		0,
			1	2	3
							27
		C e x C ex			4C e2x		27	.
		C e x C ex			4C e2x			.
			1	2	3		e2x 9

164	5. Дифференциальные уравнения

Вычитая из третьего уравнения первое,

получаем

3C e2x

e2x 9

или

Складывая первое и второе уравнения,

имеем

e2x e2x 9 .

2C ex 3C e2x

0 , или C

C ex. Подставляя найденноеранее C , окон-

чательно получаем C2

. Вычитая из первого уравнения вто-

2ex e2x 9

рое, имеем 2C e x

C e2x

0 , или C

C e3x

. Подставляя найденное ра-

нее

окончательно получаем

9ex

. Интегрируя полученные

e2x 9

d ex

функции, имеем

arctg

C1 ,

2 e2x 9

x 2

e 3xdx

e x 9e 2x 1 1 dx

2 ex e2x 9

2 1 9e 2x

2 9

1 9e 2x

e x

9dx

arctg 3e

C ,

2 1 9e 2x

e2x e2x 9

ln 1 9e

C .

Подставляя C1, C2, C3 в выражение для y, окончательно находим

% x

arctg

arctg 3e

ln 1 9e

C e

5.130. Решить задачу Коши y 16y

, y(0) 1, y (0) 1.

cos

Найдем вначале общее решение однородного уравнения. Соответству-

ющее однородное уравнение имеет вид y 16y 0. Корни его характерис-

тического уравнения r2 16 0 равны 4i . Поэтому фундаментальная

5.2. Уравнения высших порядков

165

система решений однородного уравнения состоит из функций y1 cos 4x

и y2 sin 4x. Решение		неоднородного	уравнения ищем					в виде
y C1(x)cos 4x C2(x)sin 4x . Для нахождения производных C1,C2								состав-
ляем систему уравнений
C1 cos 4x C2 sin 4x 0,
						4
4C sin 4x 4C cos 4x						4
4C sin 4x 4C cos 4x						3
	1	2				3
				cos 4x
или, что то же самое,
C1 cos 4x C2 sin 4x 0,
			1
C sin 4x C cos 4x			1				.
C sin 4x C cos 4x							.
	1	2	cos		3	4x
			cos			4x

Умножая первое уравнение на cos 4x, второе — на sin 4x и вычитая

из полученного первого полученное второе, находим C1 sin 4x . Далее, cos3 4x

умножая первое уравнение на sin 4x, второе — на cos 4x и складывая ре-

зультаты, имеем C

. Интегрируя функции

C ,

получаем

cos2 4x

8cos2

C1 ,

tg 4x C2

. Подставляя C1

и C2

в выражение

для y, находимобщеерешение неоднородного уравнения y(x)

8 cos 4x

sin2

C1 cos 4x

C2 sin 4x.

4 cos 4x

Находим y (x)

sin 4x

2 sin 4x cos2 4x sin3 4x

4C1 sin 4x

cos2 4x

2 cos2 4x

y(0)

4C2 cos 4x. Тогда начальныеусловия запишутся в виде

y (0) 4C2

Из последнего получаем

. Подставляя эти значения в

общее решение неоднородного уравнения, находим решение задачи Коши

y(x)	1		sin2 4x		9	cos 4x	1	sin 4x.
	8 cos 4x		4cos 4x	8		4

166

5. Дифференциальные уравнения

Задачи для самостоятельного решения

Найти общее решение уравнения.

5.131. y 25y

10e5x

5.132. y 2y 3y

4 e5x

9 e2x

5.133. y 6y 12y 8y

5.134. y 9y 3 tg2 3x.

5.135. y 10y 25y

e 5x

5.136. y

2y 10y

x2 2x 1

sin 3x

5.137. y 6y 25y 4e3x tg 4x.

5.138. y 4y 4 tg 2x .

Решить задачу Коши.

5.139. y 16y

y(0)

y (0) 2ln 2.

1 e4x

5.140. y 6y 9y

e3x

y(1)

y (1) e3.

5.141. y 4y

y(0) 2,

y (0) 2.

cos3

5.142. y 5y 6y e x,

y(0) 1,

y (0) 1.

5.2.4. Уравнения с правой частью специального вида

Рекомендуется предварительно ознакомиться с п. 5.2.6 из пособия [5].

Теорема (о видеобщего решениялинейного неоднородного урав-

нения). Общее решение yон линейного неоднородного дифференциального уравнения L(y) b(x) есть сумма общего решения yоо соответствующего однородного уравнения L(y) 0 и какого-либо частного решения yчн исходного неоднородного уравнения.

Для уравнений с постоянными коэффициентами

L(y) aky(k) any(n) an 1y(n 1) ... a1y a0 b(x)

k 0

и правой частью b(x) e x P(x) cos x Q(x) sin x , у которой P(x) и Q(x) — некоторые полиномы, частное решение может быть найдено в виде

y(x) xke x R(x) cos x S(x) sin x ,

где R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x); k — число, равное кратности корня + i характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, если + i — корень этого полинома, и k 0, если + i не является корнем характеристического полинома.

5.2. Уравнения высших порядков

167

5.143. Для уравнения y 7y 15y 9y 9x 3 корнями характери-

стического уравнения r3 7r2 15r 9 0 являются r 1 кратности 1 и r 3 кратности 2. Так как правая часть может быть записана в виде

(9x 3)e0 x cos(0 x) sin(0 x) , то 0, 0, и, следовательно, i 0

неявляется корнем характеристического уравнения. Поэтому k 0, и част-

ное решение ищем в виде y cx d. Так как y c, y 0, y 0, то, под-

ставляя в уравнение, получаем 15c 9cx 9d 9x 3. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем 9c 9, 15c 9d 3. Решая эту систему, получаем c 1, d 2, и поэтому y x 2 — частное, а y x 2 C1ex C2e3x C3xe3x — общее решения уравнения.

5.144. Для уравнения y 7y 15y 9y (9x 3)ex правая часть мо-

жет быть записана в виде 9x 3 ex cos (0 x) sin (0 x) , следовательно,1, 0, и число i 1 является корнем характеристического уравнения кратности 1. Поэтому частное решение ищем в виде y x(cx d)ex.

5.145. Для уравнения y 9y 12sin3x корнями характеристическо-

го полинома r2 9 являются числа r 3i кратности 1. Правая часть этого уравнения можетбыть записана ввиде 12 sin 3x e0 x 0 cos 3x 12sin 3x ,

поэтому 0, 3, следовательно, i 3i является корнем крат-

ности 1 характеристического полинома. Поэтому k 1, и частное реше-

ние ищем в виде	y x a1 cos3x a2 sin3x . Тогда y a1 3a2x cos 3x
a2 3a1x sin 3x,	y 6a2 9a1x cos 3x 6a1 9a2x sin3x.
Подставляя в	исходное уравнение и приводя подобные, получаем

6a2cos 3x 6a1sin 3x 12sin 3x, откуда a1 2, a2 0. Следовательно,

y 2xcos 3x — частное, а y 2xcos 3x C1cos 3x C2sin 3x — общее реше-

ния уравнения.

5.146. Для уравнения y 4y y 6y 4x 7 корнями характерис-

тического уравнения r3 4r2 r 6 0 являются числа 1, 2, 3. Так какпра-


вая часть может быть записана в виде (4x 7)e0 x cos(0					x) sin(0 x) , то
0, 0	и, следовательно,	i 0	не является корнем характерис-
тического уравнения. Числа		i 0	среди этих корней нет. Поэтому
k 0, и частное решение ищем в виде y cx d.
5.147. Для уравнения y 9y cos 4x корнями характеристического
полинома r2 9 являются числа r 3i			кратности 1. Правая часть этого
уравнения	может быть записана в виде			cos 4x e0 x (cos 4x 0 sin 4x),
поэтому 0, 4, следовательно, i				4i не является корнем харак-

теристического полинома. Поэтому k 0, и частное решение ищем в виде

y a1 cos 4x a2 sin 4x.

5.148. Для уравнения y 4y y 6y x2e x ex cos 3x xe5x записать частное решение с неопределенными коэффициентами.

168	5. Дифференциальные уравнения

По теореме о наложении решений частным решением данного уравнения является функция y y1 y2 y3, где y1 — частное решение уравне-

ния с правой частью f1(x) x2e x, y2 — частное решение уравнения с пра-

вой частью f2(x) ex cos 3x, y3 — частное решение уравнения с правой частью f3(x) xe5x. Корнями характеристического полинома соответствующегооднородного уравненияявляются числа 1, 2, 3. Для правой части f1 число i 1 является корнем кратности 1 характеристического урав-

нения, поэтому y1 x ax2 bx c e x. Для правой части f2 число i

1 3i не является корнем характеристического уравнения, следовательно, y2 d cos 3x g sin 3x ex. Для правой части f3 число i 5 не является корнем характеристического уравнения, поэтому y3 (hx t)e5x.

Задачи для самостоятельного решения

Найти общее решение.

5.152. y 6y 25y e 3x (2x 5).

5.153. y 2y 10y ex sin 3x.		5.154. y 4y 20y 17 sin 4x.
5.155. y 3y 2y 3x2ex.	5.156. y 4y 4y cos x 2 sin x.
Решить задачу Коши.
5.157. y 25y x cos5x sin5x, y(0)			1,	y (0) 2.
5.158. y 6y 45y ex cos x,		y(0)	39	, y (0)	4	.

		1537		1537

Записать частное решение с неопределенными коэффициентами для уравнений.

5.159. y 16y x2 3x ex xex cos 4x sin 4x .

5.160. y 6y 25y (x 3)ex xe3x cos 4x sin 5x.

5.3. Системы дифференциальных уравнений

5.3.1. Общий случай

Предварительно рекомендуется прочитать п. 5.3.1 из [5].

Обычно рассматривают систему обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме (форме Коши)

y1	f1 x,y1,y2,...,yn ,
	f2 x,y1,y2,...,yn ,
y2	f2 x,y1,y2,...,yn ,
	(5.12)
	L L
	fn x,y1,y2,...,yn ,
yn	fn x,y1,y2,...,yn ,

5.3. Системы дифференциальных уравнений

169

которую также можно записать в векторной форме y f(x,y), где y y1,y2,...,yn T , y y1,y2,...,yn T , f(x,y) f1(x,y),f2 (x,y),..., fn (x,y) T ,

по виду совпадающей с записью дифференциального уравнения первого порядка.

Для системы обыкновенных дифференциальных уравнений можно поставить задачу Коши: найти решение y1,y2,...,yn T системы, удовлет-

воряющее начальным условиям

y1 x0 ,y2 x0 ,...,yn x0 T y10,y20,...,yn0 T .

Так же как и для дифференциальных уравнений, для систем дифференциальных уравнений справедлива теорема существования и единственности.

Теорема. Пусть в системе уравнений (5.12) все функции fi x,y1,y2,...,yn , i 1,n , непрерывны по совокупности переменных x,y1,y2,...,yn в области D и имеют непрерывные частные произ-

водные по переменным y1,y2,...,yn . Тогда найдется окрестность точки x0, в которой решение системы уравнений (5.12), удовлетворяющее начальным данным

y1 x0 ,y2 x0 ,...,yn x0 T y10,y20,...,yn0 T ,

существует и единственно.

В общем случае для решения систем имеются методы интегрируемых комбинаций и исключения неизвестных.

Разберем на примерах метод исключения неизвестных. 5.161. Решить систему дифференциальных уравнений

x 2y y 7x cos t sin t,

x x y sin t.

Выражая y из второго уравнения, имеем y x x sin t . Дифферен-

цируя, получаем y x x cos t. Подставляя y и y в первое уравне-

ние и приводя подобные, получаем уравнение x 4x 5x 3sint. Это линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Корни характеристического полинома r2 4r 5 соответствующего одно-

родного уравнения равны r 5, r		1. Поэтому	x C e 5t C et		есть
1	2		1	2

общее решение соответствующего однородного уравнения. Находя частное решение неоднородного уравнения по виду правой части, имеем

x		3	cos t	9	sin t. Таким образом,			общее решение уравнения
x			cos t		sin t. Таким образом,			общее решение уравнения
чн	13		26
x 4x 5x 3sint равно						x C e 5t C et			3	cos t	9	sin t. Подставляя
x 4x 5x 3sint равно						x C e 5t C et				cos t		sin t. Подставляя
						1	2	13		26
								13		26

170	5. Дифференциальные уравнения

в выражение для y, получаем

y 4C1e

2C2e

cos t

sin t , или

cos t

в векторной форме x

sin t

2et

cos t

sin t

5.162. Найти решение задачи Коши

x 2y t,

x(0) 3, y(0) 1.

y 2x 3y

t2,

Выражая из первого уравнения y,

получаем y

x x t

. Диффе-

ренцируя, имеем y

x x 1 . Подставляя y и y

во второе уравнение

и приводя подобные, получаем x 2x x 2t2

3t 1. Это линейноеурав-

нение второго порядка с постоянными коэффициентами. Корни характе-

ристического полинома r2 2r 1 соответствующего однородного уравне-

ния равны r1,2 1. Поэтомуобщеерешениесоответствующего однородного

уравнения есть x C e t C te t. Частное решение, найденное по виду пра-

вой части, x 2t2

11t 17. Следовательно, общее решение неоднородно-

го уравнения есть

x C e t C te t

2t2

11t 17. Подставляя в выраже-

ние для y, получаем y C1e

C2 t

14, или в векторной

e t

te t

2t2 11t 17

форме

Подставляя начальные данные, получаем систему уравнений

0 C1

C2 14 1,

решая которую, имеем C1 14,

C2 2.

Таким образом, решением задачи

te t

2 11t 17

Коши будет

8t 14

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2117 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.05.2015130.16 Кб10ekonomika.docx
#
11.05.2015495.62 Кб96ekzamen_istoria.doc
#
27.09.2019214.53 Кб7Ekzam_Voprosy_po_PM.doc
#
11.05.2015271.36 Кб46Ekz_testy_OPES.doc
#
11.05.20152.75 Mб47Ekz_testy_osnova.doc
#
11.05.20153.8 Mб16eltsov-prakt.pdf
#
11.05.20153.21 Mб26eltsov.pdf
#
16.03.201635.56 Кб18English 1-6.pdf
#
11.05.20152.43 Mб447English for Engineering Faculties_new version.pdf
#
11.05.20152.43 Mб300English for Engineering Faculties_new version.pdf
#
10.05.20153.89 Mб85English for Masters. 12.doc