Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

eltsov-prakt

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

3.8 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 213 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

1.2. Приемы нахождения неопределенного интеграла

2 1

1.148.								x				dx		1				2x				dx			1			2x 5 5			dx			1		dx			5		dx
1.148.					2x 5							dx					2x 5					dx									dx			2		dx
					2x 5							2					2x 5							2				2x 5						2				2		2x 5
x	5	ln	2x 5							C .
	5

4
4									x2								x2		36 36															dx
1.149.									x2				dx				x2		36 36							dx dx 36								dx
1.149.							x	2					dx						x	2	36					dx dx 36						2			36
							x			36									x		36											x			36
x 6arctg				x		C .
x 6arctg						C .
6
1.150.								x2					dx			1			4x2 9 9								dx		1	dx			9			dx					1	x
1.150.					4x				2				dx		4					4x			2	9			dx		4	dx		4				4x	2	9		4		x
					4x						9				4					4x				9					4			4				4x		9		4

3 arctg 2x C .

8 3

	1.151.					(x 3)2					dx			x2 9 6x															x2 4 5 6x												dx
																									dx													dx
							2		4					x		2		4							dx						x	2	4					dx
						x			4					x				4													x		4
5			dx				6xdx				dx 5							dx					3				d x2 4						x				5	arctg			x
5		x	2	4			x	2	4		dx 5					x	2						3					2		4			x				2	arctg			2
		x		4			x		4							x				4							x			4							2				2
3 ln x2 4 C .
									Задачи для самостоятельного решения
	1.152.					x 3						1.153.							2x 7									1.154.						(4x 5)2
										dx.															dx.															dx.
										dx.									3x						dx.									2						dx.
						2x 3													3x			1												16x			25
							x2														2x 1														3x 5
	1.155.										dx.	1.156.														dx.				1.157.									dx.
	1.155.										dx.	1.156.								3x						dx.				1.157.									dx.
					9x2 16															3x				4										4x 3
	Преобразование тригонометрического выражения
	Наиболее часто применяются формулы понижения степени
										sin2 x			1 cos 2x									,			cos2 x						1 cos 2x					,
										sin2 x												,			cos2 x											,
															2																	2

формулы преобразования произведения в сумму

sin sin 1 cos( ) cos( ) , 2

cos cos 1 cos( ) cos( ) , 2

sin cos 1 sin( ) sin( )

и некоторые другие.

2 2	1. Неопределенныйинтеграл

1 cos 8x

1.158. sin

4x dx

sin 8x

C .

1.159. cos

5x dx

1 cos10x

sin 10x C .

1.160. cos 3x cos5x dx

(cos 2x cos 8x) dx

sin 2x

sin 8x C .

1.161. cos 3x sin 5x dx

(sin 8x sin 2x) dx

cos 8x

cos2x

C .

1.162. sin 2x sin7xdx

(cos5x

cos 9x)dx

sin5x

sin 9x C .

1 sin

1.163. ctg2 3x dx

cos

ctg 3x x C .

sin

1.164. cos3 7xdx cos2 7x cos7xdx 1 sin2 7x cos7xdx

sin2 7x d sin 7x

sin7x

sin3 7x C .

2 x

sin

cos

sin

cos

1.165.

sin x

2sin

cos

sin

d cos

d sin

cos

sin

cos

sin

Задачи для самостоятельного решения

1.166. sin2 5x dx.

1.167. sin3

6x dx.

1.168. sin 8x cos5x dx .

1.169. tg2 4x dx.

1.170. tg45x dx.

1.171. cos 8x cos5x dx .

Выделение полного квадрата

Иногда удается получить табличный интеграл, выделив в подынтегральной функции выражения вида (ax b)2, то есть полный квадрат двучлена ax b.

1.172. Вычислить x2 6x 25 .

1.2. Приемы нахождения неопределенного интеграла

2 3

Имеем

x2 6x 25

6x 9 16 x 3 2

42 .

Сделав замену

x 3 t, получаем

arctg

x 3

C .

6x 25

1.173. Вычислить

36x 9x

Имеем 36x 9x2 13 9 x2

4x 4 36 13 49 9 (x 2)2. Поэтому

arcsin

3(x 2)

C .

36x 9x2 13

49 9(x 2)2

1.174. Вычислить

Имеем x2 4x x2 4x 4

4 4 (x 2)2. Поэтому

arcsin x 2 C .

4 (x 2)2

Интегралы

Mx N

dx ,

Mx N

dx выделениемвчис-

px q

px q)

лителе дифференциала выражения x2 px q сводятся к интегралам

x2 px q

x2 px q n

1.175. Вычислить

5x 3

dx.

6x 18

Производная знаменателя равна 2x 6. Поэтому

5x 3

6x 18

(2x 6)

6 3

2x 6

dx 18

6x 18

x 6x 18

d x2 6x 18

x 3

6arctg

x 6x 18

6x 9

ln x

2 4																						1. Неопределенныйинтеграл
		Интеграл					(Mx N)dx
																	выделением в числителе дифференци-

								a		2					2
								a				(x b)
	ала подкоренного выражения сводится к интегралу																															dx				.

																														a	2				2
																														a		(x b)
		1.176. Вычислить													(6x 2)dx				.

																2
																4 (x 2)
		Производная подкоренного выражения равна 2(x 2). Поэтому
	(6x 2)dx					2(x 2)( 3) 14 dx																											x 2
	(6x 2)dx					2(x 2)( 3) 14 dx																		2									x 2
																				6 4 (x 2)								14arcsin							C .
																																		2
		4 (x	2												2																			2
		4 (x	2)								4 (x 2)
						Задачи для самостоятельного решения
						dx															dx											dx
																							.
		1.177.		2		6			45.							1.178. x2				8x 41					1.179.						2				.
				x		x																							9x			12x 20
		1.180.				dx							.			1.181.					dx				.		1.182.					(3x 5)dx
																																					.
					8x x2				7									7 4x2 12x														4x2 4x 10					.
		1.183.			(2x 3)dx										. 1.184.						(3x 2)dx					.
				2		12x 20
				2																2
				9x																7 4x 12x
		1.185.			(x 2)dx									.

						2
					8 4x				4x

1.2.4. Интегрирование рациональных дробей

Предварительно рекомендуется прочитать п. 1.2.4 из [5].

Рациональной дробью или рациональной функцией называется отношение двух полиномов (многочленов), то есть выражение вида

P(x)	k	n
	, где P(x) blxl bkxk bk 1xk 1 ... b1x b0	и Q(x) alxl
Q(x)
	l 0	l 0

anxn an 1xn 1 ... a1x a0 — полиномы (многочлены) степеней k

иn соответственно. Если степень полинома (многочлена) в числителе меньше степени полинома в знаменателе, то есть k n, то такую рациональную дробь называют правильной, если k n, то рациональную дробь называют неправильной.

Вслучае неправильной дроби числитель можно представить в виде P(x) Q(x)R(x) S(x), где R(x) и S(x) — полиномы, называемые обычно,

1.2. Приемы нахождения неопределенного интеграла

2 5

как и в случае действительных чисел, частным и остатком, причем степень полинома S(x) меньше n. Тогда рациональнаядробь запишется ввиде

P(x) R(x) S(x) , а интеграл от полинома R(x) мы вычислять умеем.

Q(x) Q(x)

Описанный прием называется выделением целой части рациональной дроби. Частное R(x) в этом случае называется целой частью рациональ-

ной дроби, а S(x) — правильной частью. Покажем на конкретном приме-

Q(x)

ре, как выделить целую часть и записать рациональную дробь в виде суммы полинома и правильной рациональной дроби. Пусть

P(x) x5 2x4 10x3 13x2 25x 16, Q(x) x3 x2 4x 4.

Разделим полином P(x) на полином Q(x) так же, как мы делим вещественные числа. Имеем

_ x5 2x4 10x3 13x2 25x 16				x3 x2 4x 4
_ x5 2x4 10x3 13x2 25x 16				x2 x 5
				x2 x 5
x5 x4	4x3 4x2
_ x4	6x3 9x2 25x 16
x4		x3 4x2 4x

	_ 5x3 5x2 21x 16
		5x3 5x2 20x 20
			x 4

Таким образом, мы получили целую часть дроби (частное от деления полинома P на полином Q) R(x) x2 x 5 и остаток S(x) x 4 от этого

деления. Поэтому можем записать															x5 2x4 10x3			13x2		25x 16
деления. Поэтому можем записать																	x3 x2	4x 4
																	x3 x2	4x 4
x	2	x 5						x 4
												.
				3			2					.
				x			x		4x 4
		Аналогичный пример можно найти в [5].
		Простейшими рациональными дробями назовем дроби																					1		,
		Простейшими рациональными дробями назовем дроби																							,
																						x a
		1					1		1							1					1
			,							,				и дроби					,					,
	(x a)n		,		x2			a2		,	x2 a2 n			и дроби			x2 px q		,	x2	px q n			,
		Mx N							Mx N
						,							при p2 4q			0.
	x2 px q					,		x2	px q n				при p2 4q			0.

2 6	1. Неопределенныйинтеграл

Интегралы от первых трех дробей являются табличными. Интеграл

Jn dx может быть найден по рекуррентной формуле

x2 a2 n

2n 1

J ,

n 1

2na2 x2 a2 n

2na2

два следующих заменой

сводятся к интегралам

. Интегралы

Mx N

dx ,

Mx N

dx выделением

x2 px q

px q

в числителе дифференциала выражения x2 px q сводятся к интегралам

		dx	,	dx		. Более подробно можно посмотреть в [5].
	2		,		n	. Более подробно можно посмотреть в [5].
x		px q		x2 px q

Любую правильную рациональную дробь можно представить как сумму простейших. Опишем этот алгоритм.

По основной теореме алгебры [14] любой полином может быть раз-

ложен на простейшие множители, то есть представлен в виде Q(x)

an x x1 x x2 ... x xn an x xl , где xl — действительные или

l 1

комплексные корни полинома Q(x), повторенные столько раз, какова их кратность.

Пусть полином Q(x) имеет n различных корней x1, x2, ..., xn. Тогда правильную рациональную дробь можно представить в виде

P(x)	A1	A2	...	An	,
	x x1	x x2
Q(x)				x xn

где A1, A2, .., An — числа, подлежащие определению. Если xi — корень кратности , то ему в разложении на простейшие дроби соответствует

слагаемых	A1		A2	...	A	. Если xj — комплексный
	x xi		x xi 2		x xi

корень кратности полинома с действительными коэффициентами, то комплексно-сопряженное число xj — тоже корень кратности этого по-

линома. Слагаемые в разложении правильной рациональной дроби, соответствующие парам комплексно-сопряженных корней, объединяют и за-

писывают одним слагаемым вида	Mx N	,	если x		,		— корни
				j		x
	x2 px q						j

кратности один. Если xj , xj — корни кратности , то им соответствует

слагаемых и соответствующее разложение имеет вид

M1x N1			M2x N2		...	M x N		.
	2			2
		px q	x2			x2
x				px q			px q

1.2. Приемы нахождения неопределенного интеграла

2 7

Таким образом, интегрирование правильных рациональных дробей свелось к интегрированию простейших дробей, рассмотренных в начале подраздела.

Одним из способов нахождения коэффициентов Aj, Mj, Nj в разложении правильной рациональной дроби является следующий. Правую часть полученного разложения с неопределенными коэффициентами Aj, Mj, Nj приводят к общему знаменателю. Так как знаменатели правой и левой частей равны, то должны быть равны и числители, которые являются полиномами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x (так как полиномы равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях x), получаем систему линейных уравнений для определения этих коэффициентов. Продемонстрируем изложенное на примерах.

Корни знаменателя вещественны и различны

1.186. Найти		x 1
			dx.
	x3
		7x 6

Согласно теореме Виета корни знаменателя ищем среди делителей свободного члена. Таковыми являются 1, 2, 3, 6. Подстановкой убеждаемся, что x 1 является корнем знаменателя. По теореме Безу знаменатель делится на x 1 без остатка. Разделив знаменатель на x 1, имеем

_ x3	7x 6	x 1
_ x3	7x 6	x2 x 6
		x2 x 6
x3 x2

_ x2 7x 6 x2 x

_ 6x 6

6x 6 0

Поэтому знаменатель x3 7x 6 можно записать в виде x3 7x 6

x 1 x2 x 6 . Два остальных корня находим, решая уравнение

x2 x 6 0. Таким образом, корнями знаменателя являются: x1 3, x2 1 и x3 2. Следовательно, x3 7x 6 (x 3)(x 1)(x 2) и подынтегральная

функция может быть представлена в виде

x 1

x3 7x 6

x 3

x 1

x 2

Приводя к общему знаменателю, получаем

x 1

A1(x 1)(x 2)

A2 (x 3)(x 2) A3 (x 3)(x 1)

7x 6

x3 7x 6

3 .

x2 3A

x 2A

x3 7x 6

2 8	1. Неопределенныйинтеграл

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в числителях правой и левой частей последнего соотношения, получаем

	A1 A2 A3 0,

3A1 A2 2A3 1,
	2A 6A 3A 1.
	1	2	3

	Решая эту систему, находим A																							1		, A				1		,	A		3	.
	Решая эту систему, находим A																									, A						,	A			.
																	1				10					2			2				3	5
																					10								2					5
	Таким образом,												x 1							dx			1				dx				1			dx			3			dx
	Таким образом,																			dx
										x3 7x 6											10					x 3 2							x 1 5					x 2
	1	ln	x 3				1	ln		x 1					3	ln			x 2			C					1	ln					(x 2)6						C .


																													(x 3)(x 1)5
10						2								5												10
10						2								5												10
	1.187. Найти								2x2 9x 3									dx .
	1.187. Найти																	dx .
									x3		2x2 3x
	Корни знаменателя — x1 1,																					x2 0 и x3 3. Поэтому x3 2x2
3x (x 1) x (x 3)									и подынтегральная функция может быть представле-
					2x2	9x 3							A A								A
на в виде														1						2	3				.
на в виде					x3 2x2 3x																				.
					x3 2x2 3x								x 1				x x 3
	Приводя к общему знаменателю, получаем
				2x2 9x 3								A x(x 3) A (x 1)(x 3) A (x 1)x
												1									2												3
				x3 2x2 3x																	x3 2x2 3x
				x3 2x2 3x																	x3 2x2 3x

A1 A2 A3 x2 3A1 2A2 A3 x 3A2 . x3 2x2 3x

	A1 A2 A3 2,

3A1 2A2 A3 9,
	3A2	3.

Решая эту систему, находим A1 2, A2 1, A3 1.

Таким образом,

2x2 9x 3

dx 2

2ln

x 1

x3 2x2 3x

x 1

x 3

x(x 1)2

x 3

C ln

C .

x 3

1.2. Приемы нахождения неопределенного интеграла

2 9

Задачи для самостоятельного решения

x2 6x 1

x 11

1.188.

dx. 1.189.

dx.

5x 6

1.190.

4x 2

1.191.

x2 3x 5

dx.

dx .

x 2

5x 6

Среди действительных корней знаменателя есть кратные

1.192. Найти x3 5x2 8x 4 .

Корни знаменателя — x1 2 кратности 2 и x2 1 кратности 1. Поэтому x3 5x2 8x 4 (x 2)2(x 1) иподынтегральная функция может

быть представлена в виде

x 2

x3 5x2 8x 4

x 1

(x 2)2

Приводя к общему знаменателю, получаем

A (x 2)2

A (x 1)(x 2) A (x 1)

x3 5x2 8x 4

A1 A2 x2 4A1 3A2 A3 x 4A1 2A2 A3 . x3 5x2 8x 4

	A1	A2	0,
		3A2	A3 0,
4A1		3A2	A3 0,
	4A	2A	A 1.
	1	2	3

Решая эту систему, находим A1 1, A2 1, A3 1.

Таким образом,

x 1

x 2

8x 4

(x 2)

x 1

C .

x 1

x 2

C ln

x 2

1.193. Найти

3x 3

dx .

(x 2)

Корнями знаменателя являются числа x1 2 кратности 1 и x2 1 кратности 3. Поэтому подынтегральная функция может быть представле-

на в виде

x2 3x 3

(x 1)3(x 2)

x 2

x 1

(x 1)2

(x 1)3 .

3 0	1. Неопределенныйинтеграл

Приводя к общему знаменателю, получаем	x2 3x 3
	(x 1)3	(x 2)

A1(x 1)3 A2(x 1)2(x 2) A3(x 1)(x 2) A4(x 2) . (x 1)3(x 2)

Раскрывая в числителе правой части скобки и приводя подобные, имеем

2					A	A		x	3	3A		4A	A	2
x 3x 3					1	2					1	2	3
(x 1)3(x 2)								(x 1)3 (x 2)
(x 1)3(x 2)								(x 1)3 (x 2)
	3A 5A 3A A						x A 2A 2A 2A
		1	2	3		4				1		2	3	4	.
						(x 1)3(x 2)									.
						(x 1)3(x 2)

3A1 4A2 A3

5A2

3A3 A4

3A1

Решая эту систему, находим A1 1, A2 1, A3 0, A4 1.

Таким образом,

3x 3

1) (x 2)

(x 1)

x 1

x 2

x 1

C ln

C .

2(x 1)2

x 2

2(x 1)2

Задачи для самостоятельного решения

1.194.

7x2 6x 17

1.195.

x2 3x 7

dx.

1) (x 3)

(x 1) (x

1.196.

8x2

15x 29

1.197.

3x2

9x 7

dx.

(x 2) (x

Корни знаменателя комплексные и различные

1.198. Найти

x3 2x2 5x 17

dx .

5 x

Корнями знаменателя являются две пары комплексно-сопряженных корней x1,2 1 2i и x3,4 2i кратности 1. Поэтому подынтегральная функция может быть представлена в виде

x3 2x2 5x 17	M x N		M x N
x2 2x 5 x2 4	1	1	2	2	.
	x2 2x 5		x2 4

<<< < Предыдущая 1 23 / 213 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.05.2015130.16 Кб10ekonomika.docx
#
11.05.2015495.62 Кб96ekzamen_istoria.doc
#
27.09.2019214.53 Кб5Ekzam_Voprosy_po_PM.doc
#
11.05.2015271.36 Кб46Ekz_testy_OPES.doc
#
11.05.20152.75 Mб47Ekz_testy_osnova.doc
#
11.05.20153.8 Mб16eltsov-prakt.pdf
#
11.05.20153.21 Mб26eltsov.pdf
#
16.03.201635.56 Кб18English 1-6.pdf
#
11.05.20152.43 Mб447English for Engineering Faculties_new version.pdf
#
11.05.20152.43 Mб300English for Engineering Faculties_new version.pdf
#
10.05.20153.89 Mб85English for Masters. 12.doc