Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

eltsov-prakt

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

3.8 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 214 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

1.2. Приемы нахождения неопределенного интеграла

3 1

Приводя к общему знаменателю, получаем

x3 2x2 5x 17	M1	M2 x3 2M2 N1 N2	x2

x2 2x 5 x2 4		x2 2x 5 x2 4
x2 2x 5 x2 4		x2 2x 5 x2 4

4M1 2N2 5M2 x 4N1 5N2 .

x2 2x 5 x2 4

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в числителях правой и левой частей последнего соотношения, имеем

M1 M2

2M2 N1 N2 2,

4M 5M

4N1 5N2

17.

Решая эту систему, находим M1 2, M2 1, N1 3, N2 1.

Таким образом,

x3 2x2 5x 17

2x 3

x 1

5 x

2x 5

2x 2

d x2 2x 5

2x 5

d x2 4

x 1

ln x

2x 5

arctg

(x 1)2 4

x2 4

x 4

arctg

C .

1.199. Найти

x3 9x2 8x 11

dx .

2x 5 x

4x 8

Корнями знаменателя являются две пары комплексно-сопряженных

корней x1,2 1 2i

и x3,4 2 2i кратности 1. Поэтому подынтегральная

функция может быть представлена в виде

x3 9x2 8x 11

x2 2x 5 x2

4x 8

M1x N1

M2x N2

Приводя к общему знаменателю,

получаем

x2 2x 5

x2 4x 8

x3 9x2 8x 11

M1 M2 x3 4M1 2M2 N1 N2

x2 2x 5 x2 4x 8

x2 2x 5 x2 4

8M1 5M2 4N1 2N2 x 8N1 5N2

x2 2x 5 x2 4

3 2	1. Неопределенныйинтеграл

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в числителях правой и левой частей последнего соотношения, получаем

	M1	M2	1,
4M 2M N N			9,
	1	2 1 2
		5M2 4N1 2N2	8,
8M1		5M2 4N1 2N2	8,
		8N1 5N2	11.
		8N1 5N2	11.

Решая эту систему, находим M1 1, M2 2, N1 2, N2 1. Таким образом,

x3 9x2 8x 11

x 2

2x 1

2x 5 x

4x 8

x 2x 5

4x 8

(2x 2)dx

(2x 4)dx

x 2x 5

2x 5

x 4x 8

4x 8

d x2 2x 5

d x2 4x 8

2x 5

(x 1)

4x 8

(x 2)

x 1

x 2

2x 5

arctg

ln x

4x 8

arctg

Задачи для самостоятельного решения

1.200.

11x2 40x 100

dx . 1.201.

2x3 21x2 51x 36

dx .

2x 10 x

4x 20

9 x

6x 18

1.202.

3x3 8x2 24x 22

x2 4x 8 x2

2x 10 dx.

Среди комплексных корней знаменателя есть кратные

1.203. Найти

2x4

8x3

13x2

12x 22

dx .

x2 4 2 x2 2

Корни знаменателя комплексные — x1,2

кратности 1 и

x3,4,5,6 2i кратности 2. Поэтому подынтегральная функция может быть

	x5	2x4 8x3 13x2 12x 22					M x N		M x N
представлена в виде							1	1	2	2
представлена в виде		x	2	2	2	2	x2 2		x2 4
			2	2	2		x2 2		x2 4
				4 x

M3x N3 . Приводя к общему знаменателю, получаем

x2 4 2

1.2. Приемы нахождения неопределенного интеграла

3 3

x5 2x4 8x3 13x2 12x 22

M2 x5 N1 N2

x2 4 2

x2 2

x2 4 2

x2 2

8M1 6M2 M3 x3

8N1

6N2 N3 x2

x2 4 2 x2 2

3 .

16M

x 16N

x2 4 2 x2 2

8M1 6M2 M3

8N1

6N2 N3

16M

8M 2M

12,

16N

8N 2N

22.

Решая эту систему, находим M1 0,

M2 1,

M3 2, N1 1, N2 1,

N3 1.

Таким образом,

2x4 8x3 13x2 12x 22

x 1

2x 1

4 x2 2

xdx

2xdx

x 2

x 4

x2 4

arctg

x2 4

arctg

C .

2 2

x2 4 16

2 8 x2 4

Интеграл

посчитан по рекуррентной формуле

x2 4 2

Jn 1

2n 1

2na2 x2 a2 n

2na2

для вычисления интеграла Jn 1

при n 1, a 2. Действи-

a2 n 1

тельно, из рекуррентной формулы имеем J

x2 2a2 2

2 22 x2 22

2 1

8 x2 4

arctg

2 22

x2 22

3 4	1. Неопределенныйинтеграл

Задачи для самостоятельного решения

1.204.

x5 3x3 15x2 19x 10

dx .

x2 1 x2 2x 2 2

1.205.

x5 8x3 x2 19x 5

dx .

x2 3 2 x2 5

1.206.

2x5 11x3 3x2

dx.

x2 2x 2 x2 5

1.207.

3x5 3x4 56x3

47x2 235x 232

dx.

x2 2x 5 x2 9 2

Общий случай

1.208. Найти

2x7 7x6 14x5 157x4 217x3 120x2 224x 75

dx .

x2 (x 3) x2 8x 25

Полином в знаменателе x2(x 3) x2 8x 25 x5

5x4

75x2

имеет степень 5, а полином в числителе имеет степень 7. Следовательно, рациональная дробь является неправильной. Выделяя целую часть подынтегральной дроби, получаем

2x7 7x6 14x5 157x4 217x3 120x2 224x 75 x5 5x4 x3 75x2

2x2 3x 1 x4 7x3 45x2 224x 75 . x5 5x4 x3 75x2

Далее, корни знаменателя — x1,2 0 кратности 2, x3 3 кратности 1 и пара комплексно-сопряженных корней x4,5 4 3i кратности 1. Поэтому для правильной части подынтегральной дроби можем записать

x4 7x3 45x2 224x 75

Mx N

5x4 x3 75x2

x 3

8x 25

Приводя к общему знаменателю, получаем

x4 7x3 45x2 224x 75

x5 5x4 x3 75x2

A1 A3 M x4 5A1 A2 8A3 3M N x3

x2 8x 25 2 x2(x 3)

A1 5A2 25A3 3N x2

75A1 A2

x 75A2

x2 8x 25 2 x2 (x 3)

1.2. Приемы нахождения неопределенного интеграла

3 5

A3 M

8A 3M N 7,

5A2 25A3

45,

75A

224,

75A

75.

Решая эту систему,

находим A1 3, A2 1,

A3 2,

M 2,

N 1.

Таким образом,

2x7 7x6 14x5 157x4

217x3 120x2 224x 75

x2(x 3) x2 8x 25

(2x 1)dx

2x 3x 1 dx

(x 3)

x2 8x 25

x 3 ln

2 ln

x 3

ln x2

8x 25

3arctg

x 4

C .

11x3 20x2 193x 1095

1.209. Вычислить

dx .

x 4x 29 (x 4)

Подынтегральная дробь правильная (степень полинома в числителе меньше степени полинома в знаменателе). Корни знаменателя — x1,2 4 кратности 2 и пара комплексно-сопряженных корней x4,5 2 5i кратности 1. Поэтому для подынтегральной дроби можем записать

11x3 20x2 193x 1095

Mx N

x2 4x 29 (x 4)2

x 4

(x 4)2

x2 4x 29

Приводя к общему знаменателю, получаем

11x3 20x2

193x 1095

A1 M x3 A2 8M N x2

x2 4x 29 (x 4)2

16N

13A

4A 16M

116A

29A

x2 4x 29 (x 4)2

	A1			M		11,
			A2	8M	N	20,
			A2	8M	N	20,
	13A		4A 16M		8N	193,
	1		2
116A		29A			16N	1095.
	1		2

3 6

1. Неопределенныйинтеграл

Решая эту систему, находим A1 9, A2 1, M 2, N 5.

Таким обра-

11x3 20x2 193x 1095

(2x 5)dx

зом,

4x 29 (x 4)2

x 4

(x 4)2

x2 4x 29

9 ln

x 4

ln x

4x 29

arctg

x 2

C .

x 4

Задачи для самостоятельного решения

1.210.

3x3 17x2 22x 30

dx .

6x 10

(x 5)

1.211.

4x7 11x6 18x5 177x4 646x3 1055x2 954x 433

dx.

(x 1) (x 2) x 4x

1.212.

2x3 80x2

756x 884

dx .

x2 4x 40 (x 3)2(x 2)

Разложить рациональные дроби на элементарные, не находя коэффи-

циентов.

1.213.

5x2 x 3

x2 2x 37 3 (x 4)2 (x 8)

1.214.

3x3 4x2 5

x2 10x 34 2 (x 5)3 (x 2)

1.2.5. Интегрирование простейших иррациональностей

Рациональной функцией переменных x1, x2, ..., xn назовем отношение двух полиномов от этих переменных, или, что то же самое, отношение двух линейных комбинаций целых степеней этих переменных.

Пусть R x, r1x, r2x,..., rnx — рациональная функция от

x,r1x, r2x,..., rnx. Эта функция, а следовательно, и интеграл от нее рацио-

нализируются подстановкой x tr , где r — наименьшее общее кратное чисел r1, r2, .., rn. Тогда dx rtr 1dt и, подставляя x и dx в подынтегральное выражение, получаем под интегралом рациональную функцию аргумента t. Аналогично, если подынтегральное выражение


	ax b		ax b		ax b
R x, r1		, r2		, ..., rn
R x, r1		, r2		, ..., rn
	cx d		cx d		cx d

1.2. Приемы нахождения неопределенного интеграла

3 7

есть рациональнаяфункция от x,

r ax b

ax b

, 2

, ...,

топодын-

cx d

тегральная функция рационализируется подстановкой

ax b

tr,

где

cx d

r — наименьшее общеекратноечисел r , r , ..., r . Тогда x

dtr

Под-

ctr

ставляя в исходное выражение, получаем рациональную функцию от t.

1.215. Вычислить

Наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 равно 6. Поэтому делаем заме-

ну x t6. Тогда dx 6t5dt и

6t5dt

2 3

9 x

9 t

t2 9 9

6 dt 54

6t 18 arctg

C 6

x 18 arctg

C .

t2 9

1.216. Вычислить

x 7

dx.

3 x 7 5 (x 7)6

Наименьшее общее кратное чисел 2 и 5 равно 10. Поэтому делаем

dt и

(x 7)

замену x 7 t

. Тогда dx 10t

3 x 7 5 (x 7)6

t2 10t9

dt 10

7 10

3 t

C .

1.217. Вычислить

2 x 5 4 (x 5)3

Наименьшее общее кратное чисел 2 и 4 равно 4. Поэтому делаем заме-

ну x 5 t4. Тогда dx 4t3dt и

4t3dt

2 3

2 x 5 4 (x 5)3

t 2 2

4t 8 ln

t 2

C 44 x 5 8 ln

4 x 5 2

t 2

1.218. Вычислить

x 2

(x 1)

x 1

Делаем замену

x 2

t2 . Тогда x

6tdt

x 1

3 8	1. Неопределенныйинтеграл

				dx								6t t2 1 2 dt										2		t	dt			2		t 4 4	dt
											2												t 4
											2
							x 2							2					3								3			t 4
	(x 1)2			4			x 2				9 (4				t) t	1
	(x 1)2			4			x 1				9 (4				t) t	1
							x 1

																								4		C .
		2	t	8	ln	t 4		C				2			x 2		8	ln			x 2
		2		8								2			x 2		8				x 2

3				3							3				x 1	3					x 1
3				3							3				x 1	3					x 1
							Задачи для самостоятельного решения
		1.219.								dx				. 1.220.										dx					.

						3			2				4												3
						3			2				4							x 3 2					3		(x 3)
							(x 5) (x 2)													x 3 2							(x 3)


1.221.		4 x 2 dx							1.222.
	4						5 .
		(x 2)3
		(x 2)3				x 2
		4			1
1.223.		4	x 5		1
								dx.	1.224.


		x 5		4 (x 5)3

x 8 dx.

x 8 3 (x 8)2

x 3 2 dx . x 3 1

Для интегрирования рациональных выражений вида R x, a2 x2

применяют

замену

x a sin t

или

x a cos t ,

выражений

вида

или x

R x, x2 a2

— подстановку x

, а для интегрирова-

cos t

sin t

применяют замену x a tg t

ния выражений вида

R x, a2 x2

или

x a ctg t . Можно в этих случаях пользоваться аналогичными заменами с использованием гиперболических функций.

													2 x3 dx
			1.225. Вычислить																.
			1.225. Вычислить												4x	2			.
													9		4x
																				3								3
			Воспользуемся заменой												x					3	sin t . Тогда				dx			3		cos tdt,	9 4x2
																2											2
													2 x3 2					27				sin3 t и исходный интеграл равен
			9 9 sin2 t 3 cos t,															27
			9 9 sin2 t 3 cos t,
																8
		1			27	sin3 t		dt .				Далее,		1			27				sin3 t		dt t			27			1 cos2 t		d	cos t
		1				sin3 t		dt .				Далее,		1							sin3 t		dt t						1 cos2 t		d	cos t
				16												16									16
				16												16									16
				27					27			3										2x	27						2x
t						cos t					cos		t C	arcsin										cos arcsin
t				16		cos t			48		cos		t C	arcsin								3	16	cos arcsin
				16					48													3	16							3
		9		3						2x
				cos			arcsin					C .
	16			cos			arcsin					C .
	16								3

Желающие могут преобразовать этот ответ.

1.2. Приемы нахождения неопределенного интеграла

3 9

1.226. Вычислить

4 x

2dt

Воспользуемся заменой

x 2tg t. Тогда

4 x2

cos t

и исходный интеграл равен

. Далее,

4 4tg2t

cos t

2sin t

sin2

cos2

ctg

2 sin t

4sin

cos

sin

arctg ( x 2)

C .

cos

Задачи для самостоятельного решения

1.227.

1.228.

25 x

16 9x

1.2.6.Интегрирование биномиального

дифференциала xm axn b p dx

Для нахождения интегралов xm axn b p dx , где m, n, p — рацио-

нальные числа, применяются следующие замены переменных (подстановки):

1)если p — целое, то интеграл относится к рассмотренному ранее в

п. 1.2.5 типу интегралов и рационализируется заменой x tq, где q —

наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n;

2) если m 1 — целое, то применяется замена axn b tq, где q — n

знаменатель числа p;

3) если m 1 p — целое, то используют замену a bx n tq, или, что n

тоже самое, axn b tqxn , где q — знаменатель числа p.

Все эти замены были известны давно. Русский математик Пафнутий Львович Чебышёв показал, что во всех остальных случаях первообразная

функции xm axn b p не является элементарной функцией. В честь него вышеперечисленные замены называются подстановками Чебышёва.

4 0	1. Неопределенныйинтеграл

1.229. Вычислить						dx			.
1.229. Вычислить							2		.
				4 x3 1			6
				4 x3 1			6	x
Здесь m	3	, n	1		, p 2. Так как p — целое, то применяем пер-
Здесь m		, n			, p 2. Так как p — целое, то применяем пер-
4		6

вую подстановку x t12. Тогда dx 12t11dt и, подставляя x и dx в исходный интеграл, получаем

12t11dt

t2 1 1

1 t2 2

dt 12 arctg t 12

1 6

1 t2 2

Интеграл

находится по рекуррентной формуле

1 t2

2n 1

n 1

2na2 a2

a2 t2

2na

при

n 1,

a 1. Тогда

2 1 t2

arctg t C ,

поэтому

1 t2 2

12t

12arctg t

arctg t

C 6arctg t

1 t

2 2

1 t

Делая обратную замену t 12

, получаем

6 12

6arctg

C .

1.230. Вычислить

dx .

3 8 x2

В данном случае m 5, n 2, p

. Так как

m 1

3, то применяем

замену x2

8 t3. Тогда x2 t3 8,

2xdx 3t2dt,

3t2dt

. Подстав-

t3 8

ляя x и dx в исходный интеграл, получаем

x5dx

t3 8 2 t2dt

16t5

64t2

t 16t

64t dt

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 214 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.05.2015130.16 Кб10ekonomika.docx
#
11.05.2015495.62 Кб97ekzamen_istoria.doc
#
27.09.2019214.53 Кб7Ekzam_Voprosy_po_PM.doc
#
11.05.2015271.36 Кб46Ekz_testy_OPES.doc
#
11.05.20152.75 Mб47Ekz_testy_osnova.doc
#
11.05.20153.8 Mб16eltsov-prakt.pdf
#
11.05.20153.21 Mб26eltsov.pdf
#
16.03.201635.56 Кб18English 1-6.pdf
#
11.05.20152.43 Mб447English for Engineering Faculties_new version.pdf
#
11.05.20152.43 Mб300English for Engineering Faculties_new version.pdf
#
10.05.20153.89 Mб85English for Masters. 12.doc