eltsov-prakt
.pdf3.3. Замена переменных в кратных интегралах |
101 |
Удобен бывает также переход к обобщённым цилиндрическим коорди-
|
x a cos , |
|
|
|
|
, |
|
|
x a cos |
|
|||
натам по формулам |
|
либо в более общем виде |
y b sin |
, |
||
|
y b sin , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z. |
|
|
|
|
z z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В векторной форме то же самое записывается в виде
x |
|
x( , , z) |
|
a cos |
|
|||
|
|
( , , z) |
|
|
|
|
|
(a cos )i |
y |
y( , , z) |
b sin |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
z( , , z) |
|
z |
|
|
для первой замены или
x |
|
x( , ,z) |
a cos |
||
|
|
|
|||
|
( , , z) |
|
|
b sin |
|
y |
y( , ,z) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
z |
|
z( , , z) |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
(a cos )i
(b sin )j zk
(b sin )j zk
для второй замены. |
|
|
При этом 0 , |
0 2 , |
z . Угол допускается выбирать |
из любого полуинтервала длиной 2 . Для первой замены модуль якобиана равен J ab , а для второй — J ab sin 1 cos 1 . Первая замена обычно применяется в том случае, когда область есть эллиптический цилиндр или какая-то его часть, ограниченная частью поверхности этого цилиндра.
3.46. Вычислить интеграл zdxdydz, где D — область, заданная не-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x2 |
|
|
y2 |
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
равенствами 1 |
|
|
|
|
|
4, |
y |
3 3x |
|
y x, z 0. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
9 |
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Область интегрирования есть часть эллипсоида, поэтому удобно сде- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
лать замену x 2 cos sin , y 3 sin sin , |
z 4 cos . Пересчитывая |
||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнения эллипсоидов |
|
x2 |
|
|
y2 |
|
|
z2 |
1, |
|
x2 |
|
|
y2 |
|
z2 |
4 в новые коор- |
||||||||||||||||
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
16 |
|
|
|
|
9 |
16 |
|
|||||||||||||
динаты, получаем 1 2 4, |
следовательно, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1 2. Проекция области на плоскость XOY |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
есть часть эллипса |
|
x2 |
|
|
|
|
y2 |
4, |
лежащая меж- |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
ду прямыми y |
x |
|
и y |
3 |
3 |
x . Записывая урав- |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нение первой прямой в новых координатах, имеем 3 sin sin
3 2cos sin или, после преобразований, tg 1. Для второй прямой
2
102 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Кратные интегралы |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получаем 3 sin sin |
3 |
|
3 |
2cos sin |
|
|
|
tg |
|
|
||||||
|
или, что то же самое, |
3. |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Cледовательно, arctg 1 |
|
arctg |
|
|
|
|
. Таккак z 0, то 0 |
|
. По- |
|||||||
3 |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
дынтегральная функция в новых координатах будет иметь вид z 4 cos ,
модуль якобиана равен |
|
|
J |
2 3 4 2 sin 24 2 sin . Подставляя в исход- |
|||||||||||||||||||||||
ный интеграл, получаем zdxdydz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
d |
d 4 cos 24 2 sin d 96 |
|
d |
d 3 sin cos d |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
4 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
2 |
|
3 sin2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||
96 |
d |
sin cos |
|
|
|
|
|
d 24 15 |
d |
sin cos d 24 15 |
|
|
|
|
|
d |
|||||||||||
4 |
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
4 |
|
|
0 |
|
4 |
|
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
24 15 |
3 |
|
24 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
15 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.47. Вычислить интеграл |
x y zdxdydz, |
где D — область, за- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
данная неравенствами 4 |
x2 |
|
y2 |
9, |
x 0, |
y 0, 0 |
z 2. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
9 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Область интегрирования есть часть эллиптического цилинд- |
||||||||||||||||||||||||
ра, поэтому удобно сделать замену x 3 cos , |
y 2 sin , z z. Пересчи- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
тывая уравнения эллиптических цилиндров |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
4, |
|
x2 |
|
y2 |
|
9 в новые координаты, |
||||||||||||
|
|
|
9 |
|
4 |
|
|
9 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
получаем 4 2 9, следовательно, 2 3. Про- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
екция области на плоскость XOY есть ее часть, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
заключённая между эллипсами |
x2 |
|
y2 |
4, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
4 |
|
|
|
|||
|
x2 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
9 и лежащая в первом квадранте, |
следовательно, |
0 |
|
. |
||||||||||||||||||
9 |
4 |
2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подынтегральная функция в новых координатах будет иметь вид
x y z 3cos 2sin z, модуль якобиана равен |
J |
2 3 6 . Под- |
||||||||||||||||||||
ставляя в исходный интеграл, получаем |
x y zdxdydz |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
6 |
|
d |
|
d |
|
3 cos 2sin |
|
|
2zdz 6 |
|
d |
|
3 cos 2 sin |
|
2 |
z |
|
|
|
d |
||
0 |
2 |
0 |
|
0 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3. Замена переменных в кратных интегралах |
103 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
12 |
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
3 cos |
2 sin |
|
|
2d |
12 |
|
|
|
|
|
3 cos |
2sin |
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
8 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
12 |
|
|
|
|
|
|
3 cos 2sin |
|
|
d 12 |
|
|
3 sin 2cos |
|
|
2 380. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3.48. Вычислить интеграл |
|
|
dxdydz |
|
, |
где D — область, заданная |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
xyz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
неравенствами 1 |
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
2, |
x 0, |
|
y 0, z 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Введём |
|
новые |
переменные |
|
по |
формулам |
|
|
|
x 2 cos4 sin4 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y 3 sin4 sin4 , |
z 4 cos4 |
. Тогда уравнение границы |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
z |
|
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
3 |
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 cos4 sin4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 sin4 sin4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
можно записать в виде |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 cos4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 sin2 |
|
|
|
|
|
|
|
sin2 |
sin2 |
|
|
|
|
cos2 |
|
|
|
|
1. |
|
|
Или, |
что |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
то же самое, 1. |
Аналогично для второй грани- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
z |
|
2 получаем |
|
|
|
|
2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
цы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
то же самое, 4. Поэтому |
|
|
1 4. Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
часть границы проходит по осям OX, OY, OZ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и область лежит в первом октанте (x 0, |
|
y 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z 0), |
|
то |
|
|
0 |
|
, 0 |
|
|
. |
|
Переходя к но- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
вым координатам в подынтегральной функции, |
|
|
получаем |
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
xyz |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Модуль якобиана перехода равен |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 cos2 |
sin2 sin4 |
|
|
cos2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
6 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
J |
|
|
|
2 3 4 2 |
42 sin7 cos3 |
|
sin3 cos3 |
384 2 sin7 cos3 |
sin3 |
cos3 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dxdydz |
|
|
384 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
4 |
2 sin7 cos3 sin3 cos3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
sin |
4 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
xyz |
|
|
|
|
|
2 |
|
6 |
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
sin |
|
cos |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
192 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
d 1 2 cos sin sin3 cos d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
104 |
3. Кратные интегралы |
|
192 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
d |
|
cos sin |
sin |
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
128 7 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
128 7 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos sin |
sin |
|
|
|
cos d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
cos |
|
|
|
|
|
d |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
128 7 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
128 7 |
sin4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
128 7 |
|
|
|
|
|
112 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
cos d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
6 |
|
|
|
2 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 2 6 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3.49. Вычислить интеграл 3 |
|
|
zdxdydz, где D — область, заданная |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
y |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
неравенствами |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9, |
|
|
1 |
z 2, |
|
y 0, |
|
y |
|
|
|
x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
В данном случае удобно перейти кобобщенной цилиндрической систе- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ме координат по формулам x 2 cos3 |
, |
y 5 sin3 , |
|
|
z z. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Модуль якобиана равен |
|
|
|
J |
|
2 5 3 cos2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 30 cos2 |
|
|
sin2 . |
|
|
Границы |
|
области |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 в новых коор- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
динатах будут иметь вид |
2 3 |
cos2 sin2 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и 2 3 |
9 . То есть 1 27. Переписывая уравнение границы y |
5 |
x в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
новых координатах, получаем 5 sin3 |
|
5 |
2 cos3 |
или tg 1. Поэтому |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 arctg 1 . Подынтегральная функция в новых координатах
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
будет иметь вид |
|
3 |
|
z |
3 2 cos3 |
z 3 |
|
|
cos z. |
Таким образом, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
27 |
2 |
|
|
|
|
cos z 30 cos2 |
sin2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3 |
x |
zdxdydz |
|
d d 3 |
2 |
dz |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
4 |
27 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||
303 2 |
|
|
d |
d 4 3z cos3 |
sin2 dz 153 2 d 4 3 cos3 |
sin2 z2 |
1 d |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
27 |
|
4 3 |
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
4 |
3 |
|
2 |
7 3 |
|
3 |
|
27 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
||||||||||||||||||||
3 15 |
|
2 |
|
|
|
|
cos sin |
|
d 45 |
|
2 |
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3. Замена переменных в кратных интегралах |
105 |
|
3 |
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
135 |
|
|
cos3 sin2 37 1 d |
135 2 |
37 |
1 |
|
sin2 |
1 sin2 d sin |
|||||||||||||||||||||||||||
7 |
|
|
|
7 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1353 |
2 |
|
|
sin3 |
|
|
sin5 |
4 |
|
|
1353 |
2 |
|
|
|
2 2 |
|
2 2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2186 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2186 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
7 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
3 |
|
5 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
135 2186 3 |
|
7 |
|
|
|
|
98376 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
2 |
|
32 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
7 120 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Иногда бывает удобно перейти к криволинейной системе координат, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
отличной от рассмотренных выше. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
3.50. Вычислить интеграл |
x 2y z dxdydz, |
|
где D — внутрен- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ность параллелепипеда с гранями x y 2z 1, x y 2z 3, 2x y 5z 0, 2x y 5z 2, x 3y 5z 1, x 3y 5z 6.
При расстановке пределов интегрирования в декартовой системе координат приходится разбивать область интегрирования на несколько частей. Введение новых переменных по формулам u x y 2z, v 2x y 5z, w x 3y 5z позволяетпроще вычислитьэтотинтеграл. При этом u, v и w
меняются в пределах 1 u 3, 0 v 2, |
1 w 6. Выражая старые коор- |
|||||
динаты через новые [1, 2], получаем |
x |
10u v 3w |
, |
y |
5u 3v w |
, |
|
5 |
|
|
5 |
|
z 5u 2v w . Подынтегральная функция в координатах u, v, w приоб-
5 |
|
|
|
|
|
|
ретает вид x 2y z |
10u v 3w |
|
10u 6v 2w |
|
5u 2v w |
|
5 |
|
|
||||
|
5 |
5 |
|
25u 9v 2w . Определитель матрицы Якоби (якобиан перехода) равен
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
|
|
x |
|
x |
|
2 |
1 |
|
|
|
3 |
|
|
0 |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
u |
|
v |
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
J |
|
y |
|
|
y |
|
y |
|
1 |
3 |
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
. Модуль якобиана ра- |
||||||||||||||||||||||
|
u |
|
v |
|
w |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
5 5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
z |
|
z |
|
z |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
u |
|
v |
|
w |
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
6 |
25u 9v 2w |
1 |
|
|||||||||||||||
вен |
J |
|
|
|
. |
Тогда |
x 2y z dxdydz du dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dw |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
3 du2 dv6 |
25u 9v 2w |
dw |
1 |
3 du2 |
|
25u 9v |
|
|
w |
|
6 |
w2 |
|
6 dv |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
106 |
3. Кратные интегралы |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
du 25u 9v 5 35 dv |
|
|
du 25u 9v 7 dv |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
9v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
25u 7 |
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
du |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 25u |
7 |
|
|
18 du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
3 |
|
50u 32 |
|
|
|
du |
|
|
|
1 |
|
25u2 |
|
3 |
|
32u |
|
3 |
|
1 |
|
|
25 8 32 2 |
|
|
|
|
136 |
|
27,2. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3.51. Вычислить интеграл y4zdxdydz , |
где D — область, заданная |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
неравенствами 2x y 4x, 1 xy 3, |
x z 2x . Переписав неравенст- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ва, задающие область, в виде 2 |
|
y |
|
|
4, 1 xy 3, |
|
1 |
z |
2, видим, что |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||
удобно сделать замену переменных u |
y |
, |
v xy, |
|
w |
z |
. Тогда перемен- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ные u, v и w меняются соответственно в пределах |
|
|
2 u 4, 1 v 3, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 w 2. |
Выражая старые переменные через новые, |
|
получаем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
v |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
z w |
v |
|
. Подынтегральная функция в новых перемен- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
, |
|
|
uv, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y4z |
|
|
|
|
4 w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ных принимает вид |
|
|
|
|
|
|
v |
|
u3 2v5 2w. |
|
Якобиан перехода (оп- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
uv |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ределитель матрицы Якоби) равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
v |
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2u v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
y |
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
v1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u1 2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
v1 2 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
v |
|
w |
|
|
|
2u1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2v1 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2u3 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
z |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u v w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
1 2 1 2 |
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2u |
|
|
|
1 2 |
|
|
2u |
v |
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Модуль якобиана равен |
|
J |
|
|
|
v |
|
|
. Поэтому |
y4zdxdydz |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2u |
3 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
4 |
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
3 2 |
|
|
5 2 |
|
|
|
|
|
|
v1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|
3 |
3 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
du dv u |
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
dw |
|
|
|
|
du dv |
v w dw |
|
|
|
du |
v |
w |
|
dv |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
2 |
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
4 |
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 80 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
du v |
|
dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
1 du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du 15 u |
|
2 15 4 2 30 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
16 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3. Замена переменных в кратных интегралах |
107 |
Задачи для самостоятельного решения
3.52. В тройном интеграле f(x,y,z)dxdydz перейти к сферическим
D
или цилиндрическим координатам и расставить пределы интегрирования, если область D задана неравенствами:
а) x 0, y 0, 9 x2 + y2 + z2 25;
б) |
x 0, z 0, z 9 – x2 – y2; |
в) |
x2 + y2 9, x2 + y2 10z, z 10, y 0; |
г) x2 + y2 9, x2 + y2 10z, z 0, y 0; |
|||
д) |
x 0, z 0, 9 x2 + y2 + z2 16; |
е) y 0, 9 x2 + y2 + z2 16; |
|
ж) y 0, z 0, z 16 – x2 – y2; |
з) x2 + y2 5z, z 5; |
||
и) |
x2 + y2 10z, z 10, x 0. |
|
|
3.53. Вычислить интегралы по заданным областям, перейдя предварительно к сферическим или цилиндрическим координатам:
а) |
x2dxdydz , если область D задана неравенствами |
||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 y2 z2 4, z y z ; |
|||||||||
б) |
x2 y2 zdxdydz , если область D задана неравенствами |
||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 y2 4, |
x2 y2 z2 9, z 0 ; |
||||||||
в) |
ydxdydz, если область D задана неравенствами |
||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 z2 9, x2 y2 z2 3z, z 0, y 0; |
|||||||||
г) |
|
dxdydz |
|
, если область D задана неравенствами |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
2 |
|
2 |
|||||
|
D |
|
|
y |
|
|
|
||
|
|
|
|
||||||
1 x2 y2 9, z |
|
x2 y2 , z 4. |
3.54. Вычислить интегралы по заданным областям, перейдя предварительно к одной из обобщённых сферических или цилиндрических систем координат:
а) |
|
|
dxdydz |
, если область D задана неравенствами |
||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
6x y |
|
|
|
|
|
|
||||||
x 2 3 |
|
|
|
|
|
y 2 3 |
z 2 3 |
|
|
|
||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2, x 0, y 0, z 0; |
||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|||||||||
б) |
|
dxdydz |
|
, если область D задана неравенствами |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
3xy |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
x |
|
|
y |
|
3, y 0, y |
27 |
x ; |
||||||||||||||||
4 |
3 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
108 |
3. Кратные интегралы |
|
|
в) |
|
4 x 3z dxdydz, если область D задана неравенствами |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
||
1 |
y2 |
|
|
z2 |
4, 2 x 5, y 0 ; |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
9 |
|
|
|
16 |
|
|
|
|
||||
|
|
г) |
yzdxdydz, |
если область D задана неравенствами |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|||
|
x2 |
|
|
y2 |
|
z2 |
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16, |
x 0, y 0, z 0 . |
1 |
|
|
4 |
|
9 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3.55. Вычислить интегралы по заданным областям, сделав удобную замену переменных:
а) |
4x 2y z dxdydz, если область D задана неравенствами |
|||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
1 x y 3z 2, 0 2x y z 3, 2 x 2y z 4; |
||||||||
б) |
3x 5y 3z dxdydz, если область D задана неравенствами |
|||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
0 3x y z 2, 1 x y z 1, 1 x 2y z 3; |
||||||||
в) |
|
y3z |
dxdydz , если область D задана неравенствами |
|||||
|
|
|
||||||
|
D |
x |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y 2x, 2 xy 4, 1 z 5; |
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
г) |
|
y |
z |
dxdydz, если область D задана неравенствами |
||||
x |
6 |
|
||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
x y2 2x, 2x y 4x, x2 z 5x2 ; |
||||||||
д) |
|
z |
dxdydz , |
если область D задана неравенствами |
||||
2 |
||||||||
|
D |
x |
|
|
|
|
|
|
x2 y 3x2, y2 x 4y2, x z 2x ; |
||||||||
|
|
2x 3y |
2 z |
dxdydz , если область D задана неравенствами |
||||
е) |
|
2 |
|
|||||
|
D |
|
|
|
|
xy |
|
|
6 2x 3y 12, x y 2x, y z 3y.
3.4. Геометрические приложения кратных интегралов
Рекомендуется предварительно прочитать подразд. 3.4 из [5].
Из определения двойного интеграла следует, что площадь S(D) плоской области D выражается формулой
S(D) dxdy.
D
3.4. Геометрические приложения кратных интегралов |
109 |
Из определения тройного интеграла следует, что объем V(G) пространственной области G выражается формулой
V(G) dxdydz.
G
x x(u,v),
Для поверхности, заданной параметрически y y(u,v), (u, v) D, или,
z z(u,v),
|
x |
|
x(u,v) |
|
||
|
|
|
|
|
|
r(u,v) x(u,v)i y(u,v)j |
что то же самое, в векторной форме |
y |
y(u,v) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
z(u,v) |
|
z(u,v)k , |
площадь поверхности равна |
|
S |
|
ru (u,v),rv (u,v) |
dudv , где |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ru,rv — векторное произведение [1, 2] векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ru xu (u,v)i yu (u,v)j zu (u, v)k, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
rv xv (u,v)i yv (u,v)j zv (u,v)k, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
вычисляемое по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
j |
|
k |
|
yu |
zu |
|
|
xu |
zu |
|
|
xu |
yu |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
r |
,r |
|
x |
|
|
|
y |
z |
|
i |
j |
k , |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
u |
v |
|
u |
|
|
|
u |
|
u |
|
yv |
zv |
|
|
xv |
|
zv |
|
|
xv |
yv |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xv |
|
|
|
yv |
zv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
ru ,rv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а |
|
|
|
— длина этого вектора, которая находится по формуле |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
r ,r |
|
|
|
|
|
y |
z |
|
2 |
|
|
x |
z |
|
2 |
|
|
x |
y |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
u |
|
|
|
|
u |
|
u |
|
|
|
|
|
u |
|
u |
|
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
u v |
|
|
|
|
|
|
y |
z |
|
|
|
|
x |
z |
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
v |
|
|
|
|
|
v |
|
v |
|
|
|
|
|
|
v |
|
v |
|
|
|
|
|
|
Если поверхность задана явно уравнением z f(x, y), (x, y) D, то площадь поверхности может быть найдена по формуле
S 1 fx (x,y) 2 fy (x,y) 2 dxdy.
D
3.56. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y x , y x2.
1 x
Кривые пересекаются в точках A(0, 0) и B(1, 1). Поэтому S dx dy
0 x2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
x2 |
2 x |
|
x3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.57. Найти площадь области, заданной неравенствами 2y x2 y2 4y, y x.
110 |
3. Кратные интегралы |
Переходя в интеграле S(D) dxdy к полярным координатам, имеем
D
|
|
|
|
4sin |
|
|
|
|
2 |
|
|
4sin |
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
S(D) d |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
d 6 sin |
d 3 |
(1 |
cos2 )d |
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3 |
|
|
sin 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4
3.58. Вычислить площадь области, заданной неравенствами
(x r)2 y2 r2, |
y 0, |
2x 2r y, |
перейдя предварительно к полярным |
|||||||||||||||||||||
координатам. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проще всего эту задачу решать, если перене- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
сти начало координатв центр окружности, то есть |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
перейти к новым переменным по формулам |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x1 x r, |
|
y1 y. |
В новых переменных область |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
2 |
||
|
|
|
|
будет задаваться неравенствами |
|
|
|
|
r , |
|||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
y1 0, 2x1 y1. Находя точки |
пересечения |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
прямой y |
1 |
2x |
1 |
с окружностью |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
y |
2 r2, |
||||||||||||||
|
r |
|
|
2r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
2r |
|
||||||
получаем x1 |
|
|
, y1 |
m |
|
|
. На границеобласти лежитточка |
|
|
|
|
, |
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
Поэтому в полярных координатах область будет задаваться неравенствами
0 r, 2 arctg ( 2) 2 arctg 2. Следовательно, |
S dxdy |
|||||
|
|
|
|
|
|
D |
r |
2 arctg 2 |
|
r2( arctg 2) |
|
|
|
d |
|
d |
|
. |
|
|
2 |
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
3.59. Вычислить площадь области, ограничен-
ной линией x2 y2 2 8xy.
Удобно перейти к полярной системе координат. В этой системе координат уравнение кривой будет иметь вид 4 8 2cos sin , или, что то же
самое, 2sin 2 . Кривая, а следовательно,
и область, ею ограниченная, симметрична относительно начала координат.
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
sin 2 |
|
3 2 |
|
2 |
sin 2 |
2 |
|
2 sin 2 |
|
Поэтому S dxdy |
d |
|
d |
|
d |
|
d 2 |
d |
|
d |
|||||||||
|
|
|
|
|
D |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
sin 2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
4sin 2 d 2cos 2 |
4. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
0 |
|
d |
0 |
|
|
|
|
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.60. Найти объем области, ограниченной поверхностями x 0, y 0, z 0, x y 3, z x2 y2 1.