Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

eltsov-prakt

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

3.8 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2114 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

4.3. Криволинейные и поверхностные интегралы второго рода

131

Поэтому параметрическое уравнение данной части конуса можно

записать							в		виде						x cos sin						3		cos		,	y sin sin							3				sin				,
записать							в		виде						x cos sin										,	y sin sin															,
																					4		2										4					2
z cos			3								или, что то же самое, в векторной форме r																								cos					i
z cos			4								или, что то же самое, в векторной форме r																													i
			4					2																														2
	sin			j					k , 0 2 , 0 4																	r		cos		i		sin				j			1	k ,
	sin																					2 .	Тогда					cos				sin							1
																						2 .	Тогда

2						2																											2					2
2						2																				2							2					2
r		sin					i			cos						j и,		вычисляя векторное произведение этих векто-
r							i									j и,		вычисляя векторное произведение этих векто-
			2					2
			2					2
ров, имеем
															i					j		k
															i					j		k
			r , r									cos								sin		1		cos			i		sin		j			k .
			r , r																								i				j			k .
														2				2				2	2			2							2
														2				2				2	2			2							2
													sin						cos			0
																						0
														2				2
	Этот вектор образует с осью OZ острый угол, так как скалярное произ-
ведение					r ,r ,k												0, и, следовательно,									является внешней норма-
ведение					r ,r ,k												0, и, следовательно,									является внешней норма-
														2

лью нужной нам половины конуса (внешняя нормаль к половине конуса, лежащей в полупространстве z 0, образуетс осью

OZ тупой угол, а внешняя нормаль к половине конуса, лежащей в полупространстве z 0, образует с осью OZ острый угол). Подставляя выражения x, y, z в функцию f и вычисляя скалярное

произведение f, r , r , получаем f, r ,r

	2
				0,5sin2 2cos2 1 2cos 2sin2						. Поэтому поток вектора через
	2	2		0,5sin2 2cos2 1 2cos 2sin2						. Поэтому поток вектора через
	2	2
поверхность равен
			4						2
			4			2	2		2
	f,								d 0,5 sin 2 2 cos 2 1 2 cos 2sin d		64	.
				dS							64

							2 2
	S				0		2 2	0		3

4.28. Вычислить поток вектора f x,y, z yz, x y, x z T через боко-

вую поверхность цилиндра x2 z2 9, 0 y 4 в сторону внешней нормали. Одно из параметрических уравнений данного цилиндра можно записать в виде x 3sin , y y, z 3cos или, что то же самое, в векторной форме r(y, ) (3sin , y, 3cos )T, где — угол между проекцией радиусвектора точки на плоскость XOZ и осью OZ, меняющийся в пределах

132	4. Криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля

0 2 , 0 y 4 . Тогда

(3 cos ,0, 3 sin )T,

r (0,1,0)T

[3,4] и, вы-

числяя векторное произведение этих векторов, имеем

3 cos

3 sin

k .

, r

3 sin

i 0j 3 cos

Этот вектор является внешней нормалью цилиндра, так как скаляр-

, i

3 sin

при

0 больше нуля и поэтому

ное произведение r

составляет, как и внешняя нормаль цилиндра, ос-

трый угол с осью OX, а при 2 меньшенуля

и поэтому составляет, как и внешняя нормаль

цилиндра, тупой угол с осью OX. Подставляя

выражения x, y, z в функцию f и вычисляя

скалярное произведение

f, r ,ry , получаем

f, r ,ry 9 0,5 y 1 sin2 0,5 0,5cos2 . Поэтому поток вектора че-

рез поверхность равен

f, dS dy 0,5(y 1)sin 2 0,5 0,5 cos 2 36 .

	Задачи для самостоятельного решения
4.29. Вычислить 3y2dx 4xdy :

а)	вдоль кривой y2 x от точки A(0,0) до точки B(4,2);
б)	вдоль кривой x cos 3t, y sin 3t, 0 t	в сторону увеличения

	2
параметра;
в)	вдольотрезкапрямой, соединяющего точки A(1,1), B(3, 2) внаправ-
лении от точки A к точке B.
4.30. Найти работу по перемещению материальной точки под действи-
ем силы f(x,y,z) (2x 3y)i (x 2y)j zk :
а)	вдоль кривой x 3cos t, y 5sin t, z t2, 0 t в сторону увеличе-

ния параметра;

б) вдоль отрезка прямой, соединяющего точки A(2,1, 1), B(3,4,2) в направлении от точки A к точке B.

4.31. Вычислить (2x y)dx (x 3y)dy (x z)dz вдоль эллипса, об-


	x2		y2	z2
разованного пересечением эллипсоида					1 с плоскостью
разованного пересечением эллипсоида	9	16		25	1 с плоскостью
	9	16		25

4.4. Элементы теории поля

133

							12		12								12		12
x y 0	в порядке следования точек							,		,0		,	0,0,5			,		,		,0 ,
x y 0	в порядке следования точек						5	,	5	,0		,	0,0,5			,	5	,	5	,0 ,
							5		5								5		5
0,0, 5		,	12	,	12	,0 .
0,0, 5		,		,		,0 .
				5
			5	5
4.32. Вычислить (3x y) dx (x 2z) dy (2x 3y) dz вдоль эллип-

са, образованного пересечением эллипсоида											x2		y2		z2	1 с плоскостью
са, образованного пересечением эллипсоида													9			1 с плоскостью
									16				9	25

y d, 0 d 3, двигаясь против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора (0,3,0).

4.33. Вычислить поток вектора f(x,y,z) (3x 4y, 2y z, x z)T через

часть поверхности 3x 2y 4z 18, заключенную между координатными

плоскостями в сторону нормали (3, 2,4).

4.34. Вычислить поток вектора f(x, y, z) x2 2y, 2xy z, y z T через внешнюю сторону пирамиды, образованной координатными плоскос-

тями и плоскостью 2x 3y z 6 .

4.35. Вычислить поток вектора f(x,y,z) (x 5y, x 3y, 3z)T:

а)	через половину сферы x	R2 y2 z2 в сторону внешней нор-
мали;

б)	через половину сферы x R2	y2 z2 в сторону внешней нормали;
в)	через поверхность тора x (3 2cos )cos , y (3 2 cos ) sin ,

z 2sin , 0 , 0 2 в сторону внешней нормали.

4.36. Вычислить поток вектора f(x,y,z) (xy,x y, y z)T через боко-

вую поверхность конуса z x2 y2 , z 4 в сторону внешней нормали.

4.37. Вычислить поток вектора f(x,y,z) (x y, xy, z)T через боковую поверхность цилиндра x2 y2 4, 0 z 3 в сторону внешней нормали.

4.4. Элементы теории поля

Предварительно рекомендуется прочитать подразд. 4.5 из [5]. Говорят, что в области G R3 (D R2) задано векторное поле, если за-

дана вектор-функция f : G R3 R3 (f : D R2 R2), то есть функция вида

	P(x,y,z)
f(x,y, z)		P(x,y, z)i Q(x,y, z)j R(x,y, z)k ,
f(x,y, z)	Q(x,y, z)	P(x,y, z)i Q(x,y, z)j R(x,y, z)k ,

	R(x,y, z)


	P(x,y)
f(x,y)		P(x,y)i Q(x,y)j
	Q(x,y)

134

с областью определения G R3 (D R2). Аналогично говорят, что в области G R3 (D R2) задано скалярное поле, если задана скалярно-

значная функция f : G R3 R (f : D R2 R) с областью определения

G R3 (D R2).

Если областью определения векторного поля является множество точек на плоскости, то поле называют плоским. Векторное поле можно интерпретировать как множество точек, к каждой из которых присоединен вектор.

						U
Вектор grad U	U	T		U	,		,	U T	называется градиентом

								z
			x			y

скалярной функции (скалярного поля).

	U		U			U		U
Скаляр					cos		cos		cos	называется произ-

		a		x		y		z

водной по направлению вектора a от скалярной функции векторного аргумента.

Более подробно о градиенте и производной по направлению можно прочитать в [3,4].

Векторное поле (вектор-функцию) назовем потенциальным, если

существует скалярная функция (скалярное поле) U(x,y,z) такая, что gradU U T f x,y, z P,Q, R T . Функцию U назовем при этом по-

тенциалом поля f.

Заметим, что если U — потенциал поля f, то U C тоже потенциал

этого поля.
В [5] показано, что векторное поле	f(x,y,z) P(x,y, z)i Q(x,y,z)j

R(x,y,z)k P(x,y, z),Q(x,y, z), R(x,y, z)	T является потенциальным в
R(x,y,z)k P(x,y, z),Q(x,y, z), R(x,y, z)

области R3 тогда и только тогда, когда выполнено одно из двух ус-

ловий:

1) криволинейный интеграл второго рода по любому замкнутому кон-

туру L, полностью лежащему в , равен нулю
		f, dl
		f, dl	0 для L

	L

или, что то же самое, циркуляция поля по любому замкнутому пути, полностью лежащему в , равна нулю;

2) если A1, A2 — любые две точки из		и L1, L2 — две произволь-
ные кривые, их соединяющие, то f,		f,		, то есть криволиней-
	dl		dl
L1		L2

ный интеграл второго рода не зависит от пути интегрирования. Если поле потенциально и U(x,y,z) — его потенциал, то

f, dl U A2 U A1 .

4. Криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля

135

Это дает возможность восстановить потенциал, если известно, что поле потенциально.

Вектор

i j

rot f(x,y, z)

x y

P Q

называется ротором (вихрем) вектор-функции f(x,y,z).

Если поле f(x,y, z) P(x,y,z),Q(x,y, z), R(x,y, z) T потенциально и су-

ществует непрерывная производная f x,y, z		[3,4], то rot f 0.
Если область является односвязной и rot f 0, то поле потенциально.
P(x,y)
Для плоского поля f(x,y)	P(x,y)i Q(x,y)j условие rot f 0
Q(x,y)

эквивалентно условию Q P . Поэтомуверны следующие утверждения:

x y

1) если плоское поле потенциально, то Q P ;

x y

2) если Q P и область односвязная, то плоское поле f потенци-

x y

ально; 3) если область односвязная, то любой криволинейный интеграл

Pdx Qdy по произвольному контуру L не зависит от пути интегриро-

вания тогда и только тогда, когда

;

4) если область односвязная, то поле плоское потенциально тогда и

только тогда, когда

4.38. Для функции u e2x y 3z найти:

а)

координаты вектора grad u в точке M0(1,4, 2);

б)

в точке M в направлении вектора

( 2, 2, 1)T .

Вычисляя частные производные, имеем

e2x y 3z 2 ,

e2x y 3z 1 ,

e2x y 3z 3 .

Поэтому grad u(x,y, z) 2e2x y 3z,

e2x y 3z, 3e2x y 3z T .

136	4. Криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля

Тогда

grad u(1, 4, 2) 2e 8, e 8, 3e 8 T . Далее, длина вектора

рав-

T .

на

2 2

1 2 3 .

Следовательно,

Тогда

3 3

(1,4,

grad u(1, 4, 2),

e 8

8 e 8 e 8 .

4.39. Доказать, что поле f(x,y) 2xy

2xy2

1 i 2x2yj

потен-

2x y

циально и восстановить его потенциал.

Так как

4xy,

4xy , то

полепотенциальново всей плоскости. Следователь-

но, криволинейный интеграл

Pdx Qdy по лю-

бому пути, соединяющему две точки, не зависит отпути интегрирования. В качественачальнойточ- ки интегрирования A0 выберем начало координат (0,0). Конечную точку

возьмем произвольную с координатами (x,y). Наиболее простыми путями интегрирования являются две возможные ломаные, состоящие из отрезков прямых, параллельных координатным осям. Поэтому для пути, изоб-

раженного на рисунке (с учетом того, что (x0,y0) (0,0)), U(x,y) f,dl

P(x,0) dx Q(x,y) dy (2x 0 1) dx 2x2y dy x x2y2 .

Таким образом, U(x,y) x x2y2. Заметим, что функция x x2y2 C также является потенциалом исходного поля.

4.40.Доказать, что поле f x,y,z 2xyz, x2z, x2y 2z T 2xyzi x2zj

x2y 2z k P, Q, R T потенциально и восстановить его потенциал.

Найдем

Q x2, Pz z


	R			Q
rot f

	y			z
2xy ,		R	2xy,

		x

k . Так как

Q 2xz, P 2xz, то rot f 0 и поле потен-

x y

циально во всем пространстве. Следовательно, криволинейный интеграл

4.4. Элементы теории поля		137
A	z		(x,y,z)
A	z
Pdx Qdy Rdz по любому пути, соединяю-
Pdx Qdy Rdz по любому пути, соединяю-
A0	(x0,y0,z0)
щему две точки, не зависит от пути интегриро-	(x0,y0,z0)
щему две точки, не зависит от пути интегриро-
вания. В качестве начальной точки интегриро-	(x,y0,z0)		y
вания A0 выберем начало координат (0,0,0).			(x,y,z0)
Конечную точку возьмем произвольную с	x		(x,y,z0)
Конечную точку возьмем произвольную с	x
координатами (x,y,z). Наиболее простыми пу-

тями интегрирования являются возможные ломаные, состоящие из отрезков прямых, параллельных координатным осям. Поэтому для пути, изоб-

раженного на рисунке (с учетом того, что (x0,y0,z0) (0,0,0)), U(x,y, z)

A			x	y	z	x
	f,			P(x,0,0) dx Q(x,y,0) dy		R(x,y, z) dz (2x 0 0) dx
		dl
A0	0			0	0	0

y z

x2z 0 dy x2y 2z dz x2yz z2 .

0	0
	Таким образом, U(x,y,z) x2yz z2. Заметим, что любой другой потен-
циал исходного поля равен x2yz z2 C.
	Назовем величину div F(x,y, z)	P(x,y,z)	Q(x,y, z)	R(x,y, z)	ди-
	Назовем величину div F(x,y, z)	x	y		ди-
		x	y	z

вергенцией векторного поля F или функцией источника. Для векторных полей имеют место следующие теоремы.

Теорема (Стокса). Пусть L — замкнутый кусочно-гладкий контур в R3, S — любая кусочно-гладкая поверхность, натянутая на L. Согласуем ориентации L и S так, чтобы если смотреть из конца вектора нормали к S, определяющего сторону, то обход L совершался бы против часовой стрелки. Тогда если f — дифференцируемая функция, то циркуляция вектора f по контуру L равна потоку вектора rot f через поверхность S, натянутую на этот контур, то есть

f, dl P(x,y, z)dx Q(x,y, z)dy R(x,y,z)dz rot f, dS .

L L S

Эта формула называется формулой Стокса.

В случае плоской области теорема Стокса формулируется следующим образом.

Теорема (Грина). Пусть D — плоская область с кусочно-гладкой границей D, и D ориентирована так, что обход по ней в положительномнаправлении совершается против часовой стрелки. Тогда, если f(x,y) — дифференцируемая функция, то

				Q		P
				Q		P
	f,dl		Pdx Qdy rot f,dxdy				dxdy.
	f,dl		Pdx Qdy rot f,dxdy		x		dxdy.
D		D	D	D	x	y

Эта формула называется формулой Грина.

138	4. Криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля

Теорема. Пусть G — область в R3 и G — кусочно-гладкая граница G, ориентированная в сторону внешней нормали. Тогда если f(x,y,z) — дифференцируемая функция, то поток вектора через границу области G равен интегралу по области G от div f, то есть

	f,		div f(x,y, z) dxdydz .
		dS
G			G

Эта формула называется формулой Гаусса-Остроградского. Перечисленные теоремы позволяют упростить вычисление криво-

линейных и поверхностных интегралов в случае замкнутых кривых и поверхностей.

4.41. Вычислить циркуляцию поля f x,y x y2, xy T x y2 i

xyj вдоль замкнутой кривой, пробегаемой против часовой стрелки

исостоящей из отрезка оси OX и дуги y 4x x2 .

Циркуляция поля равна криволинейному интегралу второго рода

по замкнутому контуру. Так как кривая плоская и замкнутая, то для вычисления этого интеграла воспользуемся формулой Грина

	Q		P
	Q		P
f, dl				dxdy , где D — область, ограниченная исходным
f, dl				dxdy , где D — область, ограниченная исходным
L	D	x	y

контуром.

По формуле Грина имеем

x y2 dx (xy) dy 3ydxdy .

В данном случае область D можно задать неравенствами

x2 y2 4x,

x 0 . Расставляя пределы интегрирования и вычисляя,

получаем

4x x2

4 4x x2

3ydxdy

3ydy 3

dx 3x

16.

4.42.

Вычислить циркуляцию поля

f x,y,z xz y2 i xyj

xy z2 k вдоль контура треугольника с вершинами в точках A(2,0,0),

B(0,1,0), C(0,0,4), пробегаемого в порядке следования точек ABCA.

Так как кривая пространственная и замкнутая, то воспользуемся формулой Стокса. В роли поверхности, натянутой на контур, удобно взять часть плоскости, в которой лежит треугольник ABC, ограниченную коор-

динатными плоскостями. Так как

x ,

2y,

то, вычисляя

rot f

k , полу-

чаем rot f xi x y j yk , и по формуле Стокса

4.4. Элементы теории поля

139

f, dl xz y2 dx (xy)dy xy z2 dz

rot f, dS xdydz (x y)dxdz ( y)dxdy .

S S

Уравнение плоскости, в которой лежит треугольник ABC, имеет вид 2x 4y z 4 0, или, переписывая в явном виде, z 4 2x 4y. Плоскость однозначно проектируется на все три координатные плоскости, и поверхностный интеграл может быть вычислен проектированием на любую из них. Вычислим его проектированием на плоскость XOY.

Так как zx	2 ,	zy 4 , то x dydz (x y) dxdz ( y) dxdy
		S

x 2 (x y) 4 ( y) dxdy (6x 5y)dxdy, где D — проекция нашей

D D

поверхности на плоскость XOY. Так как D есть треугольник, ограниченный прямыми x 0, y 0, x 2y 2, то, расставляя пределы интег-

						1 2 2y
рирования и вычисляя, получаем		(6x 5y)dxdy dy						(6x 5y)dx
		D		0				0
1	1				7
	3x2 5xy 2 2y dy 3 (2 2y)2 5 (2 2y)y dy				7	.
	3x2 5xy 2 2y dy 3 (2 2y)2 5 (2 2y)y dy					.
	0			3
0	0
									T
	4.43. Найти циркуляцию поля f			x y, xy,
	4.43. Найти циркуляцию поля f	x,y,z		x y, xy,			2x2 z
x y i xyj 2x2 z k вдоль контура,			образованного пересечением

части сферы x2 y2 z2 16 , лежащей в первом октанте, с координатными плоскостями. Направление обхода — в порядке следования точек ABCA,

где A(4,0,0), B(0,4,0), C(0,0,4).

Так как кривая пространственная и замкнутая, то воспользуемся формулой Стокса. В роли поверхности, натянутой на контур, удобно взять

часть сферы x2 y2

z2 16 , лежащую в первом октанте и ограниченную

координатными плоскостями. Так как

4x ,

1, то,

вычисляя rot f

k ,

получаем rot f 4xj y 1 k, и по формуле Стокса

f,dl (x y) dx xydy 2x2 z dz

L L

rot f, dS 4xdxdz (y 1) dxdy .

S S

Для вычисления последнего интеграла воспользуемся параметри-

ческим уравнением сферы (см. задачи 4.8 и 4.26) x 4cos sin ,

140	4. Криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля

y 4 sin sin ,	z 4 cos , где	0	,	0	или, что то же самое,

		2		2

в векторной форме r 4cos sin i 4sin sin j 4 cos k . Тогда

r ( 4sin sin , 4 cos sin ,0)T , r (4cos cos , 4 sin cos , 4sin )T.

Поэтому r ,r 16 sin2 cos i 16 sin2 sin j 16 cos sin k .

Этот вектор направлен внутрь сферы. Поэтому в качестве вектора нормали берем вектор r ,r . Подставляя выражения x, y, z в функ-

цию rot f и вычисляя скалярное произведение rot f, r ,r , получа-

ем rot f, r ,r 32sin3 sin 2 64 sin2 cos sin 8 sin 2 . Поэтому

		2	2		128
f, dS			d	(32 sin3 sin2 64sin2 cos sin 8 sin2 ) d 4	128		.

						3
S	0		0

4.44. Вычислить поток вектора f(x,y,z) 2x 3z3, 4x y, 2x y z2 T

через внешнюю сторону пирамиды, образованной координатными плоско-

стями и плоскостью x y z 2 .

Так как поле дифференцируемо, а поверхность замкнута, то поток можно вычислить непосредственно (см. задачу 4.25) или воспользоваться теоремой Гаусса-Остроградского. По теореме Гаусса-Остроградского поток векторного поля через внешнюю сторону поверхности может быть вычис-

лен по формуле f, dS div f(x,y, z) dxdydz, где S — внешняя сторо-

S G

на пирамиды; G — область, заключенная внутри пирамиды. Вычисляя

дивергенцию, получаем div f(x,y, z) P Q R 2 1 2z 3 2z.

x y z

Подставляя в формулу Гаусса-Остроградского, имеем

f, dS 3 2z dxdydz.

S G

Расставляя пределы интегрирования в интеграле справа, получаем

2 x

2 x y

dxdydz

dz.

Вычисляя полученный интеграл, окончательно имеем f, dS 2 .

4.45. Найти поток векторного поля f(x,y,z) xzi xyj yzk (xz,xy,yz)T

через внешнюю сторону поверхности, ограниченной конусом z x2 y2

и плоскостью z 3.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2114 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.05.2015130.16 Кб10ekonomika.docx
#
11.05.2015495.62 Кб96ekzamen_istoria.doc
#
27.09.2019214.53 Кб5Ekzam_Voprosy_po_PM.doc
#
11.05.2015271.36 Кб46Ekz_testy_OPES.doc
#
11.05.20152.75 Mб47Ekz_testy_osnova.doc
#
11.05.20153.8 Mб16eltsov-prakt.pdf
#
11.05.20153.21 Mб26eltsov.pdf
#
16.03.201635.56 Кб18English 1-6.pdf
#
11.05.20152.43 Mб447English for Engineering Faculties_new version.pdf
#
11.05.20152.43 Mб300English for Engineering Faculties_new version.pdf
#
10.05.20153.89 Mб85English for Masters. 12.doc