eltsov-prakt

По теореме Гаусса-Остроградского потоквекторного поля через поверх-

(x y z) dxdydz.

G

Переходя к цилиндрическим координатам, окончательно получаем

2xy 3y2 j (P,Q)T потенциально и восстановить его потенциал.

4.49. Доказать, что поле f(x,y, z) y2z4 2xz, 2xyz4 3y2, 4xy2z3 x2 T

потенциально и восстановить его потенциал.

4.51.Вычислить циркуляциюполя f(x,y,z) (x 3y)i (2x 2)j zk вдоль контура треугольника с вершинами в точках A(3,0,0), B(0, 1,0), C(0,0, 8), пробегаемого в порядке следования точек ABCA.

4.52.Найти циркуляцию поля f(x,y, z) x 2y, xy, ( 2x z) T

(x 2y)i xyj ( 2x z)k вдоль контура, образованного пересечением час-

ти сферы x2 y2 z2 16 , лежащей в множестве x 0, y 0, z 0, с координатными плоскостями, пробегаемого в порядке следования точек

( 4,0,0), (0, 4,0), (0,0,4), ( 4,0,0).

4.53.Найти поток векторного поля f(x,y, z) xyi (x y)j (y z)k

(xy, x y,y z)T через внешнюю сторону поверхности, ограниченной ко-

нусом z x2 y2 и плоскостью z 16.

4.54. Вычислить поток вектора f(x,y,z) x2 2yz2, 2xy x2z, xy z T

через внешнюю сторону пирамиды, образованной координатными плоскостями и плоскостью 2x 3y z 6 .

142

5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

5.1. Уравнения первого порядка

5.1.1. Общие сведения

Предварительно рекомендуется изучить подразд. 5.1 учебного посо-

бия [5].

Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида

Функции f(x,y), M(x,y), N(x,y) предполагаются заданными на некотором множестве D плоскости R2.

Определение. Функция (x), заданная на отрезке или интервале (a,b), называется решением дифференциального уравнения в области D, если при подстановке (x) в уравнение она обращает его в тождество в этой области.

Решить дифференциальное уравнение означает описать всю совокупность его решений. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения, как и любого другого уравнения, состоит в преобразовании его к такому виду, из которого это решение легко находится. При этом два уравнения F1 x,y,y 0 и F2 x,y,y 0 назовем эквивалентными в области D, если решения одного из них являются решениями другого. Идеальным было бы при нахождении решения осуществлять переход к эквивалентным уравнениям. Это не всегда удается. Поэтому в процессе преобразований мы должны следить, чтобы не терять решений и не приобретать новых.

Большинство методов решений дифференциальных уравнений заклю-

которое очень просто решается. Действительно, если y(x) есть решение этого уравнения, то в силу инвариантности формы первого дифференциала

можем записать f1(x)dx f2(y)dy . Равенство подразумевает, что мно-

жество всех первообразных в левой части равно множеству всех первообразных в правой части. Если 1(x) — какая-нибудь первообразная левой

5.1.2. Уравнения с разделяющимися переменными

дифференциального уравнения, чтобы не потерять их в процессе нахождения решения.

чается при C 0, а решения x = 9 не содержатся в нем. Таким образом,

решение уравнения y Cx2 9, x 9.

5.3. Решить уравнение e3x 10 dy ye3xdx.

ln y 13 ln e3x 10 ln C , отсюда y C 3e3x 10 . Решение y 0 получа-

ется при C 0.

5.4. Решить уравнение y (9x 4y 5)2.

Делаем замену z 9x 4y 5. Тогда z 9 4y и, подставляя в исход-

Интегрируя последнее, имеем arctg 2z 6x C или z 3 tg (6x C). Делая

Задачи для самостоятельного решения

5.17.3y 2 2x 3y 4 . 5.18. 3y 5 (5x 3y 7)3 .

5.1.3.Однородные уравнения

Функция F x1, x2,...,xn называется однородной степени k, если для нее выполнено соотношение F tx1,tx2,...,txn tkF x1, x2,...,xn .

Дифференциальноеуравнение y f(x,y) называется однородным,

если f(x,y) — однородная функция нулевой степени, то есть f(tx,ty) f(x,y).

В этом случае дифференциальное уравнение удаётся записать в виде

x

Отметим, что уравнение M(x,y)dx N(x,y)dy 0 является однородным тогда и только тогда, когда функции M(x,y) и N(x,y) однородные функции одной и той же степени.

соответствующие значениям u 1 и u 3. Случай u 1 дает решение y x, содержащееся в найденном решении при C 0, а случай u 3 дает решение y 3x, в найденном решении не содержащееся.

5.20. Решить уравнение y2 xy dx x2dy 0.

Это однородное уравнение, так как y2 xy и x2 — однородные функции второй степени. Делаем замену y xu, dy udx xdu. Подставляя

в уравнение, имеем x2u2 x2u dx x2 udx xdu 0 .

Раскрывая скобки, приводя подобныеи сокращаяна x2, получаемуравнение с разделяющимися переменными u2dx xdu 0.

x ln x C . При сокращении на x2 мы потеряли решение x 0, которое y

в найденное решение не входит. Кроме того, мы могли потерять решения при делении на u2. Это дает решение y 0, также не входящее в найденное.

5.21. Решить уравнение 2x y 3 dx x y 6 dy 0.

Точка пересечения прямых 2x y 3 0, x y 6 0 имеет коорди-

наты x 3, y 3. Поэтому делаем замену x1 x 3, y1 y 3 или, вы-

ражая старые координаты через новые, x x1 3, y y1 3. Тогда dx dx1,

dy dy1, 2x y 3 2x1 y1, x y 6 x1 y1 .

В новых координатах уравнение переписывается в виде однородно-

го уравнения 2x1 y1 dx1 x1 y1 dy1 0. Делаем замену y1 x1u, dy1 udx1 x1du . Подставляя в уравнение, имеем 2x1 ux1 dx1 x1 ux1

udx1 x1du 0. Раскрывая скобки и приводя подобные, получаем урав-

нение с разделяющимися переменными x1 u2 2 dx1 x12 u 1 du 0 .

Разделяя переменные, получаем (u 1)du dx1 . Интегрируя последнее x1

ходного уравнения не является, то при делении на x1 мы ничего не потеряли.

Задачи для самостоятельного решения

5.22. y2 x2y 2xyy . 5.23. (2x y)dx (x y)dy 0.

5.28. y2 3xy dx x2dy. 5.29. 2y2 x2y 2xyy 0.

5.30. 2x 3y 2 dx x y 6 dy 0. 5.31. 2x y 1 y 4x 2y 3.

5.32.3x y 3 2x y 1 y .

5.1.4.Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли

Уравнение первого порядка вида

называется линейнымдифференциальным уравнением. Если b(x) 0, то уравнение (5.8) называется линейным однородным, в противном случае — линейным неоднородным.

В общем виде линейное уравнение решено в [5].

Решениелинейного неоднородного дифференциального уравнения (5.8)

находят методом Лагранжа или, что то же самое, методом вариации произвольнойпостоянной.

y и y C (x)x2 2C(x)x, имеем C (x) 3x2, откуда C(x) x3 C1 . Подставляя полученное выражение C(x) в y(x), получаем общее решение

y(x) x3 C1 x2 x5 C1x2 уравнения xy 2y 3x5. При переходе от ис-

ходного уравнения к уравнению xy 2y 3x5 мы потеряли решение x 0,

которое в найденное не входит.

5.36. Решить уравнение 4y3 x dy ydx.

Вспоминая, что переменные x и y вдифференциальномуравнениирав-

ноправны, и переписывая его в виде 4y3 x yx или, что то же самое,

в форме yx x 4y3, видим, что данное уравнение является линейным относительно x и x . Рассмотрим соответствующее однородное уравнение

и x C (y)y C(y) в него, имеем C (y) 4y, откуда C(y) 2y2 C1, и x(y)2y3 C1y — общее решение уравнения yx x 4y3. При преобразовании

решение y 0, которое в полученное решение не входит.

5.38. Найти общее решение уравнения 3yy 4xyy 2x3.

Это уравнение получено из уравнения Бернулли 3y 4xy 2x3y 12

вначале соответствующее однородное уравнение. Имеем z 2xz 0,