5.3. Системы дифференциальных уравнений |
171 |
5.3.2.Системы линейных уравнений. Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Рекомендуется прочитать пп. 5.3.2 и 5.3.3 из [5].
Если в системе обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме все функции, стоящие в правых частях, линейны по переменным y1, y2, ..., yn, то она называется линейной. В этом случае ее можно переписать в виде
y |
a1 |
(x)y |
a1 |
(x)y |
... a1 |
(x)y |
b (x), |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
n |
n |
1 |
y |
a2 |
(x)y |
a2 |
(x)y |
... a2 |
(x)y |
b (x), |
2 |
1 |
1 |
2 |
2 |
n |
n |
2 |
...............................
yn a1n (x)y1 a2n (x)y2 ... ann (x)yn bn (x)
или в матричной форме
y A(x)y b(x),
где A(x) — матрицасистемы; b(x) b1(x),b2(x),...,bn (x) T ; y y1,y2,...,yn T ; y y1,y2,...,yn T . Если b(x) 0, то получаем соответствующую систему
однородных уравнений y A(x)y.
Для систем линейных уравнений строится теория, полностью эквивалентная теории линейных уравнений порядка n. В частности, справедливы играющая большую роль в теории и практике теорема о наложении решений и получаемые с ее помощью теоремы о виде общего решения однородной и неоднородной систем.
Теорема (о наложении решений). Если y1, y2 — решения систем линейных уравнений y A(x)y b1(x) и y A(x)y b2 (x) соответственно, то линейная комбинация 1y1 2y2 есть решение системы линейных уравнений y A(x)y 1b1 2b2 .
Понятия линейной зависимости и линейной независимости систем вектор-функций вводятся так же, как для векторов [1, 2] и систем скалярных функций [5]. Свойства те же. Размерность пространства решений однородной системы линейных дифференциальных уравнений порядка n равна n. Любой базис пространства решений этой системы (линейно независимая совокупность из n решений) называется фундаментальной системой решений.
Теорема (о виде общего решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений). Если y1, y2, ..., yn — линейно независимая совокупность решений однородной системы уравне-
ний y A(x)y с непрерывными на [ , ] элементами матрицы A(x)
и A(x) 0 для всех x [ , ], то любое решение этой системы есть
n
линейная комбинация решений y1, y2, ..., yn, то есть y(x) Cjyj (x) ,
j 1
172 |
5. Дифференциальные уравнения |
и, следовательно, y1, y2, ..., yn — базис пространства решений системы уравнений y A(x)y.
Теорема (о виде общего решения линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений). Общее решение yон линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений y A(x)y b(x)
с непрерывными на [ , ] элементами матрицы A(x) и компонентами вектора b(x), A(x) 0 для всех x [ , ], есть сумма общего решения yоо соответствующей однородной системы уравнений y A(x)y и ка- кого-либо частного решения yчн неоднородной системы уравнений,
то есть yон(x) yоо(x) yчн(x).
Наиболее просто фундаментальная система решений находится для однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Отметим следующий результат.
Теорема. Вектор-функция
y ert 1, 2,..., n T ert 1ert, 2ert,..., nert T
является решением однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами y A(x)y, если r — собственное число, а — ему соответствующий собственный вектор матрицы A.
Собственные векторы и собственные числа изучаются в линейной алгебре. Напомним, что ненулевой вектор x называется собственным вектором матрицы A, если имеет место соотношение Ax rx для некоторого числа r. Число r при этом называют собственным числом матрицы A, соответствующим собственному вектору x. Переписав соотношение Ax rx
в виде (A rE)x 0, получаем в матричной форме однородную систему линейных уравнений для нахождения собственных векторов матрицы A, которая имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда определитель det(A rE) равен нулю. Таким образом, получаем алгоритм для нахождения собственных чисел и собственных векторов матрицы A:
1) из уравнения det(A rE) 0 находим собственные числа r1, r2, ...,
rm (m n) матрицы A;
2) находя фундаментальные системы решений однородных систем линейных уравнений A rjE x 0, j 1,2,...,m, получаем собственные векторы, отвечающие собственным числам rj, j 1,2,...,m.
Более подробно о нахождении собственных чисел и собственных векторов можно прочитать, например, в [1, 2].
Возможны два случая: 1) все собственные числа различны; 2) есть кратные собственные числа. Разберем эти возможности по отдельности.
В первом случае имеем линейно независимую систему из n решений
y1 1er1t, y2 2er2t, ..., yn nernt.
5.3. Системы дифференциальных уравнений |
173 |
Во втором случае возможны два варианта. В первом для собственного числа rj кратности k имеется k линейно независимых собственных век-
торов j1 , j2 , ..., jk . Этот вариант ничем не отличается от предыдущего случая. Во втором вариантедля собственного числа rj кратности k имеется меньше чем k линейно независимых собственных векторов. Мы будем пользоваться методом Эйлера, который заключается в том, что для собственного числа rj соответствующие решения находятся в виде y Pk 1(t)erj t, где Pk–1(t) — вектор-функция, каждая координата которой есть полином степени не выше k 1 с неопределенными коэффициентами, подлежащими определению. Подставляя это решение в исходную однородную систему, получаем соотношения для определения коэффициентов век- тор-функции Pk–1(t).
5.163. Для линейной системы дифференциальных уравнений
x x y, |
x |
1 |
1 x |
, |
|
, или, чтото жесамое, вматричной форме |
|
|
|
|
|
y 6x 2y |
y |
|
6 |
2 |
y |
|
матрица системы равна 1 |
1 |
. Составляем уравнение |
det(A rE) |
|
|
|
|
|
6 |
2 |
|
|
|
|
1 r |
1 |
|
0 для нахождения собственных чисел. Раскрывая опреде- |
|
|
|
|
6 |
2 r |
|
|
|
|
|
литель, получаем уравнение r2 3r 4 0, решениями которого являются числа r1 1 и r2 4. Составляем однородную систему линейных уравнений для нахождения собственных векторов, соответствующих собственно-
му числу r1 1: |
1 r1 |
1 |
1 |
|
2 |
1 1 |
|
0 |
|
|
6 |
2 r |
|
|
2 |
|
|
6 |
3 |
|
|
2 |
|
|
0 |
|
, или, что то же |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
самое, в координатной форме |
2 1 |
2 |
0, |
|
6 |
|
3 |
|
Второе уравнение пропорци- |
|
|
1 |
2 |
0. |
|
|
|
|
|
онально первому, поэтому его можем вычеркнуть. Следовательно, общее решение этой системы есть 2 2 1. Полагая 1 1, получаем фундаментальную систему решений рассматриваемой системы линейныхуравнений,
а следовательно, и собственный вектор 1 (1,2)T матрицы системы дифференциальных уравнений, соответствующий собственному числу r1 1. Аналогично для собственного числа r2 4, решая систему уравнений
1 r2 |
1 |
1 |
|
3 |
1 1 |
|
0 |
, |
получаем собственный вектор |
|
6 |
2 r |
|
|
|
|
|
6 |
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 ( 1,3)T . Поэтому фундаментальная система решений данной системы
дифференциальных уравнений состоит из функций |
|
e t |
|
1 |
e t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
4t |
|
1 |
e |
4t |
|
e4t |
, аобщеерешениеимеет вид |
x |
C |
|
e |
t |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3e |
4t |
|
1 |
|
2e |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
174 |
5. Дифференциальные уравнения |
5.164. Для линейной системы дифференциальных уравнений
x 4x y z,
y x 2y z, или, что то же самое, в матричной форме
z x y 2z,
|
|
|
|
4 |
|
1 |
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
, |
матрица системы равна |
|
1 |
2 |
|
|
. Составляем |
y |
|
|
1 y |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
z |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 r |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнение det(A rE) |
1 |
2 r |
1 |
0 для нахождения собственных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 r |
|
|
|
|
|
|
|
чисел. Раскрывая определитель, получаем уравнение (2 r)(3 r)2 0, решениями которого являются числа r1 2 и r2,3 3 кратности 2. Составляем однородную систему линейных уравнений для нахождения собственных векторов, соответствующих собственному числу r1 2:
4 r1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
2 1 |
1 1 |
|
|
0 |
|
|
1 |
2 r |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
2 |
|
|
|
0 |
|
, |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 r |
|
|
3 |
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
|
3 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 2 3 0, |
или, что то же самое, в координатной форме 1 |
3 |
0, |
|
2 |
0. |
1 |
Первое уравнение есть сумма второго и третьего уравнений, поэтому его можно вычеркнуть. Решая оставшуюся систему, получаем общее
решение 2 |
1, 3 1. Полагая 1 1, |
получаем собственный вектор |
|
1 |
(1,1,1)T |
, |
отвечающий собственному |
числу r 2. Составляем теперь |
|
|
|
|
1 |
однородную систему линейных уравнений для нахождения собственных векторов, соответствующих собственному числу r2,3 3:
4 r2,3 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 1 |
|
0 |
|
|
1 |
2 r |
1 |
|
|
2 |
|
|
1 1 |
1 |
|
2 |
|
|
0 |
, |
|
|
2,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 r |
|
|
3 |
|
|
1 1 |
1 |
|
3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
2,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 3 0, |
|
или, что то же самое, в координатной форме 1 |
2 3 |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Все три уравнения одинаковы, поэтому два из них вычеркиваем. Об- |
щее решение полученной системы есть 1 |
2 3 . Придавая свободным |
неизвестным 2, 3 |
значения 2 |
1, 3 |
0 и |
2 |
0, 3 |
1, получаем два |
линейно независимых собственных вектора |
2 (1,1,0)T |
и |
|
3 (1,0,1)T , |
5.3. Системы дифференциальных уравнений |
175 |
отвечающих собственному числу r 3. Поэтому фундаментальная система решений системы дифференциальных уравнений состоит из функций
|
|
1 |
e2t |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
e3t |
e2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
e3t |
|
|
|
|
|
|
|
1 e2t e2t |
, |
2 |
1 |
e3t e3t |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
1 |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
e2t |
|
e3t |
|
|
|
|
|
y |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
решение имеет вид |
|
e2t |
C |
e3t |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
0 |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
e3t |
|
, 3e |
3t |
|
|
0 |
|
3t |
|
|
|
|
|
|
e |
|
0 , а общее |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
e3t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C3 0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4x y,
5.165. Для системы дифференциальныхуравнений y 3x y z, или,
z x z,
|
|
|
|
x |
|
4 1 |
0 x |
|
|
что то же самое, в матричной форме |
|
|
|
|
|
|
|
матрица сис- |
y |
|
|
3 1 |
1 y |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
1 z |
|
|
4 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
темы равна 3 |
1 |
1 . Составляя уравнение для нахождения собствен- |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 r |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ных чисел, имеем det(A rE) |
3 |
1 r |
|
1 |
0 или, раскрывая оп- |
|
|
|
1 |
0 |
|
|
1 r |
|
|
|
ределитель, получаем уравнение 8 12r 6r2 r3 (2 r)3 0, решениями которого является число r1,2,3 2 кратности 3. Составляем однородную систему линейных уравнений для нахождения собственных векторов, соответствующих этому собственному числу:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 r1,2,3 |
1 |
0 |
1 |
|
|
2 |
1 |
0 1 |
|
|
0 |
|
|
|
3 |
1 r |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
1 1 |
|
2 |
|
|
|
0 |
|
, |
|
|
1,2,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 r |
|
|
3 |
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
3 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1,2,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
2 |
0, |
|
|
|
|
|
или, что то же самое, в координатной форме 3 1 |
2 |
3 |
0, |
|
|
Второе уравнение есть сумма первого и третьего уравнений, поэтому его можно вычеркнуть. Решая оставшуюся систему, получаем общее реше-
ние 2 2 1, 3 1. Полагая 1 1, получаем только один собственный вектор 1 (1,2,1)T, отвечающий собственному числу r1,2,3 2 .
176 |
5. Дифференциальные уравнения |
Поэтому линейно независимые решения, соответствующие собственному
|
|
|
x |
|
|
a bt ct2 |
|
|
|
|
(a bt ct2 )e2t |
|
|
r |
2 , ищем в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ) 2t |
|
числу |
|
|
|
|
p qt st |
2 |
|
e |
2t |
|
|
( |
. |
|
1,2,3 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
p qt st |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
(m nt kt |
2 |
)e |
2t |
|
|
|
z |
|
m nt kt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя эти соотношения в исходную систему и приводя подобные, получаем систему алгебраических уравнений
2c s 0,
3c k s 0,c k 0,
2b 2c q 0,
3b n 2s q 0,
b 2k n 0,2a b p 0,
3a m p q 0,a m n 0
длянахождения чисел a, b, c, k, m, n, p, q, s. Решаяэтусистему, имеемk c, m a b 2с, n b 2c, p 2a b, q 2b 2c, s 2c. Придавая свободным неизвестным значения a C1, b C2, c C3, получаем общее решение исходной системы дифференциальных уравнений
|
|
|
x |
|
|
e2t |
|
|
|
te2t |
|
|
|
|
t2e2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t 2t2 |
|
e2t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
2e2t C |
( 1 2t)e2t C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
2t |
|
|
|
2t |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
( 1 t)e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2t t |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.166. Для линейной системы дифференциальных уравнений |
x x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
x |
|
|
|
, |
|
|
или, что то же самое, в матричной форме |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
y |
|
2 3 |
y |
y 2x 3y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матрица системы равна |
|
|
1 |
1 |
Решая |
|
уравнение |
|
|
1 r |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 r |
|
r |
2 |
4 |
5 |
|
0 для нахождения собственных чисел, |
получаем |
|
r |
2 i. |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
Для собственного числа r1 2 i |
однородная система линейных алгебраи- |
ческих уравнений для нахождения собственного вектора имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
1 (2 i) |
|
1 |
|
|
1 |
(1 i) |
|
1 1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 (2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i) |
2 |
|
|
|
1 i |
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
или в координатной форме |
(1 i) 1 2 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 i) 2 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.3. Системы дифференциальных уравнений |
177 |
Если первое уравнение умножить на 1 i, то получим второе уравнение, следовательно, оно пропорционально первому, поэтому его можем вы-
черкнуть. Тогда общее решение этой системы есть 2 (1 i) 1 . Полагая
1 1, получаем собственный вектор 1 (1,1 i)T матрицы системы диф-
ференциальных уравнений, соответствующий собственному числу r1 2 i.
Аналогично для собственного числа r2 |
|
|
2 i |
собственным вектором |
r1 |
является вектор |
|
|
|
|
|
(1,1 i)T. |
Поэтому система вектор-функций |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
e(2 i)t |
|
1 |
|
|
e(2 |
i)t |
|
|
e(2 i)t |
|
|
|
e2t (cos t i sin t) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 i)t |
|
|
|
|
2t |
|
|
|
y1 |
|
|
|
1 i |
|
|
|
|
i)e |
|
i)e |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
|
|
|
|
|
(1 |
|
|
(cos t i sin t) |
x |
|
2e(2 i)t |
|
1 |
|
|
|
|
|
e(2 i)t |
|
|
|
e2t (cos t i sin t) |
|
|
2 |
|
|
|
|
e(2 |
i)t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
y2 |
|
|
|
1 i |
|
|
|
(1 i)e |
(2 i)t |
|
(1 |
i)e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(cos t i sin t) |
является фундаментальной системой решений исходной системы дифференциальных уравнений. Можно показать, что система вектор-функций
1 |
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
Re e(2 i)t |
|
|
|
|
|
e2t cos t |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
y1 |
|
y2 |
|
|
|
(2 i)t |
|
|
|
|
|
|
|
Re(1 i)e |
|
|
|
e |
|
|
(cos t sin t) |
1 |
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
Im e(2 i)t |
|
|
|
|
|
e2t sin t |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
|
y2 |
|
|
|
|
(2 i)t |
|
|
|
|
2i |
|
Im(1 i)e |
|
|
e |
|
|
(cos t sin t) |
состоящая из действительной и мнимой частей полученных решений, также является фундаментальной системой решений исходной системы дифференциальных уравнений. Так как вторая система вектор-функций есть система вещественнозначных решений, а первая — комплекснозначных, то для записи общего решения используем вторую систему вектор-функ- ций. Таким образом, общее решение системы можно записать в виде
x |
C |
|
|
e |
2t |
cos t |
|
C |
|
|
e |
2t |
sin t |
|
|
2t |
|
|
|
2t |
|
. |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
y |
|
e |
|
(cos t sin t) |
|
e |
|
(sin t cos t) |
Задачи для самостоятельного решения
Найти общее решение следующих систем дифференциальных уравнений.
x 2x y, |
x x 3y, |
x 2x y, |
5.167. |
5.168. |
|
|
3 |
. |
5.169. |
x |
4 . |
y 3x 4y. |
y |
|
|
x y |
y |
y |
|
x |
x y |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 , |
x |
3 |
2 x |
5.170. |
|
|
5.171. |
y x 2z, |
|
|
|
3 |
|
. |
|
|
|
z. |
y |
|
4 |
y |
|
z 2x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.173. |
x |
4 |
3 x |
|
|
|
15 8 |
. |
|
y |
|
y |
|
|
3 2 2 , |
x 4x 2y 2z, |
|
x |
x y |
z |
|
5.175. |
y |
3x y z, |
|
|
5.176. y x 3y z, |
|
|
|
|
|
|
|
x 2y. |
|
|
z |
|
z 3x 3y z. |
178 |
5. Дифференциальные уравнения |
5.3.3. Метод вариации произвольных постоянных
Предварительно рекомендуется прочитать п. 5.3.4 из [5]. Алгоритм метода следующий:
1)находим фундаментальную систему решений y1, y2, ..., yn соответствующей однородной системы уравнений;
2)ищем решение уравнения неоднородной системы уравнений в виде
n
y(x) C1(x)y1 C2(x)y2 ... Cn (x)yn Cj (x)yj, где C1(x), C2(x), ..., Cn(x) —
j 1
функции, подлежащие определению;
3) для нахождения функций Cj (x) составляем систему алгебраиче-
n
ских уравнений Cj (x)yj b(x) , или в координатной форме
j 1
n
Cj (x)ykj bk (x), k 1, 2, ..., n ;
j1
4)решая полученную систему, находим Cj (x) , j 1, 2, ..., n, а следовательно, и Cj(x).
x x y 2e2t,
5.177. Для системы дифференциальных уравнений
y 2x e2t,
|
|
|
1 1 |
x |
|
2 |
|
2t |
|
x |
|
|
e |
, |
соот- |
или, что то же самое, в матричной форме |
|
|
|
|
|
|
y |
2 0 |
y |
|
e |
2t |
|
|
|
|
|
ветствующая однородная система уравнений имеет вид |
x |
1 |
|
|
|
|
|
y |
|
2 |
матрица системы равна 1 |
1 |
. Составляем уравнение det(A rE) |
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
1 r |
1 |
|
0 для нахождения собственных чисел. Раскрывая опреде- |
|
|
|
|
2 |
0 r |
|
|
|
литель, |
получаем уравнение r2 r 2 0, решениями которого являются |
числа r1 1 |
и r2 2. Составляем однородную систему линейных уравне- |
ний для нахождения собственных векторов, соответствующих собствен-
ному числу r1 1: |
1 r1 |
1 1 |
2 |
1 1 |
|
0 |
, или, что то же |
|
2 |
r |
|
|
|
2 |
1 |
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 2 |
0, |
Второе уравнение пропорцио- |
самое, в координатной форме |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 1 |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
нально первому, поэтому его можем вычеркнуть. Следовательно, общее решение этой системы есть 2 2 1 .Полагая 1 1, получаем фундаментальную систему решений рассматриваемой системы линейныхуравнений,
5.3. Системы дифференциальных уравнений |
179 |
а следовательно, и собственный вектор 1 (1,2)T матрицы системы дифференциальных уравнений, соответствующий собственному числу r1 1. Аналогично для собственного числа r2 2, решая систему
уравнений |
1 r2 |
1 1 |
|
1 |
1 1 |
|
0 |
, |
получаем собственный |
|
2 |
r |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
вектор 2 (1, 1)T . Поэтому фундаментальная система решений соответствующей однородной системы дифференциальных уравнений состоит из
функций |
et |
1 |
|
|
|
et |
|
e 2t |
|
1 |
|
|
e 2t |
Решение исходной |
|
|
et |
|
t |
, |
2 |
|
|
e2t |
|
|
|
|
|
. |
1 |
|
|
|
2e |
|
|
|
|
|
|
|
e |
2t |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
системы ищем в виде |
x |
|
|
|
|
et |
|
|
|
|
e 2t |
|
|
|
|
C (t) |
|
|
|
|
C (t) |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2e |
t |
|
|
2 |
|
e |
2t |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя в исходное уравнение, получаем систему |
|
|
|
|
|
|
|
|
et |
C |
|
|
|
e 2t |
|
2e2t |
|
|
|
|
|
C (t) |
|
(t) |
|
2t |
|
|
|
|
|
2t |
, |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
t |
|
|
2 |
|
|
|
e |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1(t)et C2(t)e 2t 2e2t,
или в координатной форме
2C1(t)et C2(t)e 2t e2t.
Решая эту систему, находим C1 et, C2 e4t. Проинтегрировав, имеем
|
t |
% |
|
|
1 |
|
|
4t |
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
C1(t) e |
|
C1, |
C2 |
|
|
|
e |
|
C2. Такимобразом, общее решение исходной сис- |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
2t |
|
|
|
|
x |
|
|
|
et |
|
|
e 2t |
|
|
e |
|
темы имеет вид |
|
% |
% |
4 |
|
|
C1 |
|
|
C2 |
|
|
7 |
|
. |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
2et |
|
|
e 2t |
|
|
2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения
Найти общее решение следующих систем дифференциальных уравнений.
x |
|
x |
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
2 t |
|
|
|
|
|
|
|
3t |
|
, |
|
|
|
|
e |
5.179. |
x |
e |
|
5.178. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
3x 4y |
|
|
. |
|
y |
x t2. |
|
2t |
|
|
|
|
|
e |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x 2y, |
|
|
|
e2t |
5.181. |
y x 3y |
|
. |
3 |
|
cos t |
x |
x |
y |
|
|
|
2 |
4 , |
|
|
|
|
|
1 |
|
5.183. |
|
|
|
y |
2x 2y |
|
. |
|
|
|
|
sin2t |
