eltsov-prakt

5.1.5. Уравнения в полных дифференциалах

Уравнение M(x,y)dx N(x,y)dy 0 называется уравнением в полных дифференциалах, если существует функция u(x,y), дифференциал кото-

рой du(x,y) u dx u dy совпадает с левой частью M(x,y)dx N(x,y)dy

x y

этого уравнения.

В [5] показано, что уравнение M(x,y)dx N(x,y)dy 0 есть уравне-

ние в полных дифференциалах в области D R2 тогда и только тогда, когда поле (M,N)T потенциально в этой области или, что то же самое,

криволинейный интеграл второго рода M(x,y)dx N(x,y)dy не зависит

в полных дифференциалах тогда и только тогда, когда M N .

y x

Пусть x0,y0 D — фиксированная, (x,y) D — произвольная точ-

ки, L — путь, лежащий в D и соединяющий точки x0,y0 , (x,y) . Если уравнение M(x,y)dx N(x,y)dy 0 есть уравнение в полных дифференциалах, то функция u(x,y) (потенциал поля (M,N)T), вычисляемая по фор-

муле u(x,y) M(x,y)dx N(x,y)dy, восстанавливает функцию u(x,y)

L

по ее дифференциалу. В этом случае соотношение u(x,y) C описываетвсю совокупность решений уравнения в полных дифференциалах.

Взяв в качестве пути, соединяющего точки x0,y0 , (x,y) , ломаную линию, отрезки которой параллельны осям координат, получаем, что функция u(x,y) (потенциал поля (M,N)T) может быть найдена по одной из формул:

уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Поэтому, восстанавливая потенциал, получаем

Тогда общий интеграл (общее решение) имеет вид x3 xy2 C.

данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Най-

Из первого уравнения имеем u(x,y) 2xy3dx x2y3 (y), где (y) —фун-

кция, которую надо найти. Дифференцируя найденную функцию u(x,y)

по y, получаем, используя второе уравнение, u 3x2y2 (y)

y

3x2y2 2y. Отсюда (y) 2y или (y) y2 C . Поэтому u(x,y) x2y3 y2

и соотношение x2y3 y2 C дает всю совокупность решений уравнения.

Задачи для самостоятельного решения

Найти решения дифференциальных уравнений.

5.59.y3 2xy2 dx 3xy2 2x2y dy 0.

5.60.y cos xy y2 dx x 2y cos xy y2 dy 0.

5.61. 4x3y3 2x dx 3x4y2dy 0 . 5.62. y2dx 2xy 3y2 dy 0 .

В следующих ниже задачах определить тип дифференциального уравнения и решить их. Так как задача определения типа дифференциального уравнения решается неоднозначно (одно и то же уравнение иногда можно отнести к разным типам), то приведен один из возможных вариантов ответа.

5.71.x 2 3 ln2 x y3dy 1 y4 ln xdx 0.

5.72.xy x3 xy y 0. 5.73. 3x2y y2 dx x3 2xy dy 0 .

5.74. x2 y2 y 2xy . 5.75. 5x4y2 2xy dx 2x5y x2 dy 0.

4. Уравнение удается представить в виде, когда в левой и правой частях стоят полные производные по x некоторых функций, зависящих от

(n 1)

x,y,y ,...,y . Тогда сами функции отличаются на константу. Ниже приведены примеры на все рассмотренные случаи.

5.89. Решить уравнение e 3xy 1.

Уравнение относится к первому из рассмотренных выше типов. Мо-

5.90. Решить уравнение y cos5x .

Аналогично предыдущему, уравнение относится к первому из рас-

Уравнениеотносится ко второмуслучаю. Делаемзамену y z(x). Тогда y z (x). Подставляя в исходное уравнение, имеем z (sinx 3) zcos x или,

разделяя переменные, получаем dz cos xdx . Интегрируя последнееурав- z sin x 3

нение, имеем ln z ln(sin x 3) ln C1 , или, что то же самое, z C1(sinx 3).

Последнее соотношениезаписывается в виде y C1(sin x 3), откуда получаем y C1cos x 3C1x C2. При делении на z мы могли потерять решение y 0, или, что то же самое, y C, которое входит в найденное.

5.92. Решить уравнение x 1 y y 2.

Уравнениеотносится ко второмуслучаю. Делаемзамену y z(x). Тогда y z (x). Подставляя в исходное уравнение, получаем (x 1)z z 2.

C1(x 1) 2 dx. Интегрируя, окончательно получаем y 0,5C1(x 1)2

2x C2. При разделении переменных мы могли потерять решения соответствующие случаям x 1 и z 2. Функция x 1 решением уравнения

не является. Если z 2, то y 2 , или y 2x C . Это решение входит в найденное при C1 0.

5.93. Решить уравнение y x2 1 2xy .

Уравнение не содержит y. Поэтому делаем замену y z(x). Тогда y z (x). Подставляя в исходное уравнение, получаем z x2 1 2xz или,

разделяя переменные, получаем dz 2xdx . Интегрируя, имеем z x2 1

ln z ln x2 1 ln C1 , или, что то же самое, z C1 x2 1 . Последнее

соотношение записывается в виде y C1 x2 1 , откуда dy C1 x2 1 dx .

переменных мы могли потерять решение, соответствующееслучаю z(x) 0.

Тогда y 0 , или y C, но это решение входит в найденное при C1 0.

5.94. Решить уравнение 2 y 2 2yy .

Уравнение не содержит x. Поэтому делаем замену y p(y), тогда

поэтому при разделении переменных мы решений не потеряли.

5.95. Решить уравнение (y 3)y y 2 4y .

Если обе части уравнения разделить на y 3 y 4 0, то получим

ли решения y 3 и y 4x C, в найденном не содержащиеся.

Если y1, y2, ..., yn — фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения, то

n

y(x) C1y1 C2y2 ... Cnyn Ckyk —

k 1

общее решение этого уравнения.

Наиболее просто фундаментальная система решений находится для уравнений с постоянными коэффициентами.

Алгебраическое уравнение

называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Для корней характеристического уравнения возможны нижеследующие случаи.

1. Все корни характеристического многочлена вещественны и различны. Обозначим их r1, r2, ..., rn. Тогда совокупность решений

y1 er1x, y2 er2x, ..., yn ernx

является фундаментальной системой решений соответствующего дифференциального уравнения.

2. Среди действительных корней характеристического уравнения есть кратные. Если r1 — корень кратности , то ему соответствует линейно независимых решений

y1 er1x, y2 xer1x, y3 x2er1x, ..., y x 1er1x

уравнения. Присоединяя эту систему решений к n решениям, соответствующим остальным корням характеристического уравнения, получим фундаментальную систему решений для линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае наличия действительных кратных корней.

3. Среди корней характеристического уравнения есть комплексные корни. Для уравнений с действительными коэффициентами, если rj a bi — комплексный корень кратности характеристического уравнения, то комплексно-сопряженное ему число rk a bi также является корнем кратности этого уравнения. Этим корням соответствует линейно независимая система решений

y1l xleax cos bx, y2l xleax sin bx, l 0,1,..., 1.

Присоединяя эту систему решений к n 2 решениям, соответствующим остальным корням характеристического уравнения, получим фундаментальную систему решений для линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае наличия комплексных кратных корней.

5.112. Для уравнения y 2y 3y 0 корни характеристического урав-

систему решений составляют функции y1 e–x, y2 e3x, а общее решение записывается в виде y C1e x C2e3x.