3289-electrodinam

Векторный магнитный потенциал, создаваемый таким током, определяется из выражения

так как ток I = ∫ j dS .

S

Перейдем к выражению для напряженности магнитного поля:

Определим подынтегральное выражение.

rot a ϕ = , a ϕ = , a ϕ+ ϕ, a = ϕrot a +[grad ϕ, a ];

Так как dl не зависит от положения точки М, в которой находим ротор, то rot dl = 0 .

Отсюда grad 1r = − rr02 .

Подставив полученные результаты в формулу (3.22), получаем

Это интегральная формулировка так называемого закона Био и Савара, непосредственно связывающего напряженность магнитного поля с линейным распределением тока.

81

В дифференциальной форме этот закон имеет вид

Используя закон Био – Савара, мы можем теперь построить магнитные поля различных линейных токов.

3.4. Примеры магнитных полей

3.4.1. Поле прямого провода (прямолинейного тока)

Заметим, что этот же результат легко получается из первого уравнения Максвелла.

82

3.4.2. Круглый виток и соленоид

Определим поле на оси круглого витка (рис. 3.5). Подынтегральное выражение (3.24), как это видно из рисунка, имеет радиальную и продольную компоненты в цилиндрической системе координат:

причем радиальная составляющая при интегрировании должна уничтожиться.

Таким образом, напряженность поля на оси есть

или

В случае соленоида (рис. 3.6) можно допустить, что ток непрерывно распределен по цилиндрической поверхности и в элементарном поясе ширины dz равен

dI = nI dz ,

где n — число витков намотки, приходящееся на единицу длины соленоида; I — ток одного витка.

Отметим, что nI называют числом ампервитков на единицу длины.

Поле на оси соленоида в точке М, создаваемое элементарным поясом, который виден из этой точки под углом 2θ, выражается формулой (3.27):

83

Интегрируя это выражение от θ1 до π−θ2 (рис. 3.6,б), получа-

ем выражение напряженности поля соленоида (т.е. всех его витков) вточкеМ:

Отсюда, в частности, нетрудно найти поле в центре соленоида длиной L при θ2 = θ1:

84

3.4.3. Магнитный диполь

Покажем, что виток на достаточно большом расстоянии действует, как магнитный диполь.

Рассмотрим круглый виток (рис. 3.7). Обозначая расстояние от элемента витка до точки наблюдения М буквой R, имеем согласно

(3.21)

A = 4Iμπ ∫L dRl .

Учитывая симметрию системы, нетрудно сообразить, что векторный потенциал имеет одну лишь азимутальную составляющую А = α0 А. Проекция элемента

dl на азимутальное направление в точке М, как видно из рис. 3.7, есть cosα dl .

Поэтому

A = α0 4Iμπ ∫L cos αR dl .

Полагая, что расстояние от центра витка r значительно превышает его радиус а ( r >> a ), раскрываем знаменатель подынтегрального выражения по формуле бинома Ньютона и ограничиваемся первыми членами:

85

Теперь нахождение векторного потенциала не представляет труда:

и напряженность магнитного поля определяется по формуле (3.17) в сферических координатах:

Как показывает сравнение с формулой (2.21), магнитное поле витка по своему строению есть поле диполя. Виток ведет себя так, как если бы вместо него в точке 0 находился магнитный диполь, ориентированный по оси z. Переписывая (3.31) в форме (2.21), имеем:

Здесь величина m, подобно р в (2.21), представляет собой абсолютное значение момента диполя

m = m z0.

Сопоставляя (3.31) и (3.31а), находим m , т.е. не что иное, как магнитный момент витка:

86

где S — его площадь.

В последней форме выражение может быть использовано для плоского витка некруговой конфигурации.

3.5. Магнитная энергия постоянного тока

Из п.1.6.3 известно, что с магнитным полем связана энергия, распределенная в пространстве с плотностью

так как B = μH .

В некоторой области V она определяется интегралом

так как B = rot A .

Используя равенство div A, H = H rot A − A rot H , получим

Преобразуем второе слагаемое по теореме Остроградского – Гаусса:

∫div A, H dV = ∫ A, H dS.

V S

При учете всей энергии поля подынтегральное выражение устремляется к нулю, так как векторный потенциал и магнитное поле убывают быстрее, чем квадрат расстояния, а площадь увеличивается пропорционально ему.

87

3.6. Индуктивность и взаимная индуктивность

Определим энергию Wм линейного тока:

где Φ — поток магнитной индукции.

Поток магнитной индукции пропорционален току:

Φ = L I,

где L — индуктивность контура. Тогда

= LI 2

Wм 2 .

В случае n контуров Li с токами Ii (рис. 3.8) вместо равенства (3.36) получаем

88

где Фi — поток, пересекающий поверхность Si, ограниченную кон-

туром Li .

Каждый поток линейно связан с токами всех контуров:

Коэффициенты с одинаковыми индексами называются собственными индуктивностями и обозначаются Li . Коэффициенты с

различными индексами называются взаимными индуктивностями и обозначаются Mni .

R2>>R1

I1

I2

Рис. 3.8. К вопросу определения взаимной индуктивности двух витков, находящихся в одной плоскости

Внося (3.39) в (3.38), приходим к следующему выражению магнитной энергии системы контуров:

89

Первый член в правой части (3.40) соответствует собственной,

авторой — взаимной энергии системы.

Вчастном случае двух контуров (n = 2)