3289-electrodinam

Таким образом, связь между продольными и поперечными составляющими векторов поля установлена.

Теперь алгоритм поиска векторов электромагнитного поля заключается в следующем. Вначале из уравнений (9.3) находится продольная составляющая электрического поля для E-волн или магнитного поля для H-волн. Затем с помощью системы (9.9) находятся все поперечные составляющие. Отметим также, что формулы в системе (9.9) являются справедливыми для обобщенно-цилинд- рической системы координат, т.е. ими можно пользоваться для расчета как прямоугольных, так и круглых волноводов.

9.3. Условия распространения электромагнитных волн в направляющих системах. Критическая длина волны

Комплексный вектор напряженности электрического поля задается формулой E = Em (x, y)e− jβz .

Напомним, что β = k2 − γ2 . В зависимости от величины

продольного волнового числа выделяются три режима работы линии передачи:

k > γ β > 0 — режим распространяющейся электромагнитной волны, рабочий режим;

k2 < γ2 β2 < 0 (β — мнимая величина) — затухание (экспо-

ненциальное), нерабочий режим;

k = γ β = 0 — критический режим (режим отсечки). В критическом режиме

Для реализации рабочего режима должно выполняться неравенство

212

Неравенство (9.10) определяет условия существования электромагнитных волн в направляющей системе.

Определим длину волны Λ и фазовую скорость ϑф в линии передачи:

Из (9.11) следует, что длина волны в направляющей системе всегда больше, чем длина волны в свободном пространстве. Формула (9.12) показывает, что фазовая скорость в направляющей системе всегда больше скорости света. Эти особенности электромагнитных волн объясняет концепция Бриллюэна.

Предполагается, что T-волна распространяется в волноводе, отражаясь от его стенок. Интерференция Т-волн определяет структуру поля в направляющей системе.

Рассмотрим волну, распространяющуюся между двумя проводящими плоскостями (рис. 9.3). Пусть это будет Т-волна. На рис. 9.3 пунктирными линиями показаны следы фронтов Т-волны, распространяющейся под углом ϕ к проводящим поверхностям. Точки 1 и 2 соответствуют фронтам с фазовым сдвигом, равным 2π. В направлении распространения Т-волны это λ. В направлении z это длина волны в волноводе Λ.

Λ

Рис. 9.3. К вопросу определения структуры поля в направляющей системе

213

Запишем фазовую скорость в волноводе:

где с = λТ — скорость света.

Сравнивая выражения (9.12) и (9.13), видим, что

cosϕ = 1−(λλкр )2 ,

следовательно, фазовая скорость всегда больше скорости света. При ϕ = 0 волна распространяется вдоль волновода (рис. 9.4,а).

П 90° П

аб

Рис. 9.4. Распространение волны в направляющей системе: а – волна распространяется вдоль волновода; б – критический режим

Угол ϕ = π2 соответствует критическому режиму работы (рис. 9.4,б). Перенос энергии в таком режиме отсутствует. Рабочий диапазон углов, под которыми может распространяться Т-волна, составляет 0 ≤ ϕ > π2 .

9.4. Групповая скорость электромагнитных волн в направляющих системах

Под групповой скоростью ϑгр будем понимать скорость пере-

носа максимума огибающей группы электромагнитных волн, близких друг к другу по частоте. Комплексный вектор напряженности поля может быть записан в следующем виде:

214

Если спектр достаточно узок: ω0 − Δω ≤ ω ≤ ω0 + Δω, то все амплитуды вне этого спектра равны нулю и можно записать

Перейдем от комплексного вектора к его реальной части:

215

Максимум огибающей соответствует нулевому аргументу косинуса:

Групповая скорость ϑгр определяется формулой

Как и следовало ожидать, групповая скорость, т.е. скорость переноса энергии, оказалась меньше скорости света.

9.5. Дисперсия направляемых электромагнитных волн

Учитывая, что λкр = c fкр , формулы для фазовой и групповой скоростей можно записать в виде

На рис. 9.5 показаны зависимости, построенные по формулам

(9.19).

216

Как следует из этих формул, электромагнитные волны, распространяющиеся в направляющих системах, обладают дисперсией, то есть фазовая и групповая скорости зависят от частоты.

ϑ

ϑф

с

ϑгр

Рис. 9.5. Зависимость фазовой и групповой скоростей волны, распространяющейся между параллельными плоскостями, от частоты колебаний

Это очень важное свойство, которое необходимо учитывать на практике, например при передаче очень коротких импульсов.

9.6. Общие свойства направляемых волн

9.6.1. Поперечные электромагнитные волны (Т-волны)

В начале этого раздела мы провели классификацию направляемых волн. Теперь можем рассмотреть их общие свойства вне зависимости от того, в какой направляющей системе они распростра-

217

Отсюда ϑф =1 με и Λ = λ.

Другими словами, фазовая скорость и длина волны в линии передачи с Т-волной точно такие же, как и в свободном пространстве, заполненном тем же диэлектриком. Кроме того, так как

λкр =2πγ , видим, что линии передачи в режиме Т-волны имеют

λкр =∞. Это значит, что в них может протекать постоянный ток.

Следовательно, Т-волны могут существовать только в таких линиях передачи, которые имеют, как минимум, два отделенных друг от друга слоем диэлектрика проводящих элемента, например в двухпроводных, коаксиальных, микрополосковых линиях. В полых волноводах, таких как прямоугольный и круглый волноводы, а также в диэлектрических волноводах T-волны распространяться не могут.

9.6.2. Электрические волны (Е-волны)

Подставляя Hz = 0 в уравнения (9.9), получим:

γ2 H = jωε z0 ,grad Ez ;

(9. 22)

γ2 E = − jβgrad Ez .

Совмещая эти уравнения, найдем связь между поперечными составляющими векторов электрического и магнитного полей:

Отсюда можно найти волновое сопротивление линии передачи, в которой распространяется Е-волна:

218

9.6.3. Магнитные волны (Н-волны)

Для Н-волн Ez = 0 . С этим условием из уравнений (9.9) получим:

γ2 H = − jβgrad Hz ;

(9.25)

γ2 E = − jωμ z0 ,grad Hz .

Действуя, как и ранее, запишем:

Отсюда волновое сопротивление линии передачи, в которой распространяется Н-волна :

9.7. Прямоугольный волновод

Полый волновод прямоугольного поперечного сечения называется обычно прямоугольным волноводом. На рис. 9.6 он изображен в наиболее подходящей здесь декартовой системе координат, оси которой ox и oy параллельны сторонам поперечного контура a и b.

Рис. 9.6. Прямоугольный волновод, изображенный в декартовой системе координат

219

Е-волны. Будем искать решение уравнения (9.3), имеющего в декартовых координатах вид

где X и Y — неизвестные пока функции переменных х и у. Подстановка (9.29) в (9.28) приводит к дифференциальному

уравнению

X ′′Y + XY ′′ = −γ2 XY ,

которое после деления всех членов на XY принимает форму

Учитывая взаимную независимость слагаемых левой части равенства (9.30), приравниваем каждое из них постоянной величине:

так как γ2 > 0, а физические условия вдоль осей ox и oy внутри

волновода идентичны.

Записывая хорошо известные решения уравнений (9.31)

220