3289-electrodinam

Это не что иное, как частные решения уравнений (8.14) и (8.16), соответствующие расходящимся от источника электромагнитным волнам.

Так, например, рассмотрим поле, создаваемое одним лишь колеблющимся зарядом

qст = ρm V cos ωt = qстm cos ωt,

расположенным в окрестности точки o (рис. 8.2). Согласно (8.21) комплексная амплитуда потенциала этого поля есть

Поле имеет характер сферической волны, расходящейся из точки o: ее фронт — это сферическая поверхность (рис. 8.2,а), радиус которой возрастает со скоростью ϑ.

Легко проверить, что (8.23) действительно является решением уравнения (8.16). Запишем уравнение (8.16) в сферических

191

координатах, положив ∂∂θ = 0 и ∂∂α = 0. Поскольку поле ищется вне источника, то ρст m = 0. Тогда уравнение (8.16) будет иметь вид

Подставляя (8.23) в (8.24), убеждаемся, что уравнение удовлетворяется:

Нетрудно проверить, что решением (8.24) будет также комплексная амплитуда

Однако соотношение (8.25) соответствует волне, сходящейся к источнику (распространяющейся из бесконечности, рис. 8.2,б). Это решение в данном случае лишено физического содержания.

M

а б

Рис. 8.2. К вопросу определения характера поля, создаваемого одиночным колеблющимся зарядом

Рассмотренный пример, конечно, еще не позволяет составить представление о поле излучения. Если, как это показано на рис. 8.1, источники распределены в области V, то для нахождения электромагнитного поля следует учесть действие всех точек этой области, т.е. произвести интегрирование в соответствии с формулами (8.21), (8.23). При этом, как уже говорилось выше, достаточно вычислить

192

только векторный потенциал, так как скалярный исключается с помощью соотношения калибровки. Это означает, что для определения поля излучения достаточно знать сторонний ток. Однако исследование поля при произвольном распределении тока является весьма сложной задачей. В дальнейшем мы ограничимся изучением так называемых элементарных источников.

8.4. Элементарный электрический излучатель

Рассмотрим отрезок l , вдоль которого течет ток Iст = Iстm cos ωt . Может возникнуть сомнение относительно реаль-

ности такого изолированного элемента переменного тока. Для выяснения сущности вопроса привлечем закон сохранения заряда в форме (8.3). Поместив элемент тока на оси z декартовой системы координат (рис. 8.3,а), мы должны записать уравнение (8.3) в виде

Приписывая отрезку l некоторую толщину, т.е. фактически заменяя его проводящим стержнем поперечного сечения S, имеем

где qстт — комплексная амплитуда заряда малого участка стержня

z .

Умножив обе части равенства (8.26) на S z , с учетом (8.27) получаем

т.е. амплитуда заряда каждого участка пропорциональна изменению на нем амплитуды тока:

193

Но согласно условию амплитуда тока вдоль всего отрезка постоянна. Лишь на концах происходит ее изменение от нуля до Iст т

и от Iст т до нуля (рис. 8.3,б).

гармонически колеблется с частотой ω и имеет комплексную амплитуду

Первый искусственный излучатель, осуществленный Герцем, представлял собой именно подобие колеблющегося диполя. Два металлических шара перезаряжались с высокой частотой во время импульса индукционной катушки. Описание опытов Герца не входит в нашу задачу. Отметим лишь, что антенны, сравнимые по свойствам с излучателем Герца, применяются и в настоящее время. Элемент тока обычно рассматривается в качестве элементарного излучателя и называется диполем Герца.

Перейдем к анализу поля излучения диполя Герца. На основании равенства (8.22) комплексная амплитуда векторного потенциала элемента тока выражается интегралом:

194

Ограничиваясь расстояниями, значительно превышающими размер элемента,

мы можем поступать с множителем 1r под знаком интеграла как с постоянной величиной. Положим также, что элемент мал в сравнении с длиной волны:

можно считать одинаковой для всех точек излучателя. С учетом сказанного перепишем выражение (8.30) в виде

где V = Sl — объем, занимаемый током.

Определим z0 в сферической системе координат (рис. 8.4):

Начнем с отыскания напряженности магнитного поля (8.8):

Hm = μ1 rot Am . Запись ротора вектора напряженности магнитного поля в сферических координатах имеет вид

195

z

o

α

Рис. 8.4. Определение сферических проекций векторного потенциала

Как видно, вектор напряженности магнитного поля содержит только азимутальную составляющую:

Величину E теперь проще всего определить из первого уравнения Максвелла:

(8.39)

Переходя в формулах (8.38), (8.39) от комплексов к векторам, записываем:

196

Hr = Hθ = Eα = 0.

Итак, поле элементарного электрического излучателя имеет характер сферической волны довольно сложного строения. Впрочем, слагаемые выражений (8.40), заключенные в квадратные скобки, не равноценны для полей на разных расстояниях от диполя. Это обстоятельство упрощает дальнейшее исследование.

8.5. Исследование поля электрического диполя

8.5.1. Поле в ближней зоне

Рассмотрим вначале поле в так называемой ближней зоне излучателя — на расстояниях, значительно меньших длины волны:

197

Поле в ближней зоне по своей конфигурации совпадает со стационарными электрическими и магнитными полями, причем векто-

ры E и H сдвинуты по фазе на π / 2 , поле носит чисто реактивный характер, передача энергии в ближней зоне не происходит. Электромагнитное поле в ближней зоне квазистационарно (изменяется во времени, но переноса энергии нет).

Все это объясняется тем, что поле в ближней зоне связано с источником. Происходит колебательное движение энергии вблизи источника. Становится ясным, что в ближней зоне излучение незначительно в сравнении с квазистационарным полем. Этого и следовало ожидать ввиду условия (8.41).

8.5.2. Поле в дальней зоне

В данном случае будем ориентироваться на неравенства

Теперь в соотношениях (8.40) можно пренебречь членами порядка 1/k2r2 и 1/kr:

Поле излучения в дальней зоне представляет собой сферическую волну, причем векторы E и H , как и в плоской волне, лежат перпендикулярно к направлению распространения, взаимно перпендикулярны и находятся в одной фазе. Вектор Пойнтинга направлен радиально. Средняя плотность потока энергии, переносимой волной:

198

Излучение максимально в экваториальной плоскости (θ=90°) и отсутствует в направлении оси излучателя (θ= 0).

Полное представление о характере излучения дает так называемая диаграмма направленности, которую строят, откладывая в произвольной меридиональной плоскости ряд отрезков, пропорциональных амплитуде электрического или магнитного поля в данном направлении (например, θ) для фиксированного расстояния r . Концы этих отрезков лежат на двух соприкасающихся окружностях (рис. 8.5,а). Аналогичное построение в пространстве приводит к объемной фигуре в виде тора (рис. 8.5,б).

θ = 90

о

E = Emax

б

а

Рис. 8.5. Диаграмма направленности диполя Герца в плоскости, проходящей через ось диполя (а); пространственная диаграмма направленности (б)

Нетрудно вычислить полную среднюю мощность, излучаемую диполем Герца. Составляя поток комплексного вектора Пойнтинга через окружающую его сферическую поверхность (рис. 8.6), на основании выражения (8.47) запишем:

В результате интегрирования получаем следующее выражение излучаемой мощности:

199

Оно показывает, что излучение резко растет при ослаблении условия квазистационарности (8.41).

Величина

называется сопротивлением излучения диполя Герца, ибо она в соответствии с формулировкой закона Джоуля – Ленца

Pcp = 12 Iст2 тRΣ

характеризует мощность, рассеиваемую сторонним током в виде излучения.

На основании уравнений (8.40) можно построить картину поля элементарного излучателя для разных моментов времени и таким способом проследить за его форми-

αтока (заряды диполя при этом равны нулю) образуются «электрические вихри» (семейство замкнутых элек-

излучателя несет все признаки плоской волны. Векторы поля (8.46) перпендикулярны к направлению ее распространения, а отношение их амплитуд равно Z0 .

В заключение отметим, что короткие в сравнении с длиной волны проволочные (стержневые) антенны (см. рис. 8.7) очень близки по характеру излучения к элементарному излучателю и обычно отождествляются с ним.

200