3289-electrodinam

3.Какие граничные условия выполняются на боковой стенке прямоугольного волновода (х = 0, 0 ≤ у ≤ b)?

4.Что означают символы в названии волны Нmn или Еmn ?

5.Как соотносятся поперечные составляющие векторов E и H в каждой точке направляющей системы по направлению и фазе?

6.Какая волна в направляющей системе называется основной? Почему стараются работать именно на этой волне (типе колебаний)?

7.В чем проявляется дисперсия в направляющих системах? Какое влияние она оказывает на передачу сигналов? В каких направляющих системах она отсутствует?

8.Дайте определения фазовой и групповой скоростей волны в направляющих системах. Какое соотношение существует между ними?

9.Изложите суть концепции Бриллюэна. Какие выводы из нее следуют?

10.Дайте определение волнового и характеристического сопротивления в направляющих системах. Можно ли трактовать их как «сопротивление, оказываемое направляющей системой, распространяющейся волне»? Для чего они могут быть использованы?

231

10. Объемные резонаторы

10.1. Общая теория электромагнитных резонаторов

10.1.1. Накопление энергии в объеме. Резонатор и направляющая структура

Рассматривая различные волновые процессы, мы отмечали, что распространяющиеся, бегущие, волны переносят энергию. Было введено представление о стоячей волне, наложении двух противоположно направленных волн с одинаковыми амплитудами; в этом случае (при отсутствии потерь) энергия в среднем не переносится. Если в узлах электрического поля, т.е. там, где оно обращается в ноль, установить идеально проводящие плоскости z = const, прежнее поле сохранится в отсеченном энергетически изолированном объеме. Можно сказать, что противоположно направленные бегущие волны полностью отражаются этими плоскостями, на которые они падают по нормали. Движение энергии при этом имеет колебательный характер (рис. 10.1).

П

П

Рис. 10.1. Схема движения энергии внутри объема

Направление вектора Пойнтинга меняется через четверть периода колебаний поля: он колеблется с удвоенной частотой. Расстояние между соседними плоскостями составляет половину длины волны. Таким образом, условие существования поля между ними выполняется при определенной частоте. Изолированный объем, в котором происходит колебательное движение энергии, в сущности, выступает как накопитель. Условие накопления энергии можно реализовать не только при колебательном, но и при циклическом движении энергии (см. рис. 10.1) внутри некоторого объема. По-

232

скольку во всех случаях свободные электромагнитные поля в энергетически изолированных объемах могут существовать только при определенных частотах, такие объемы являются резонаторами.

Легко показать, что резонатором будет любой отрезок некоторой продольно-однородной структуры, отсеченный двумя поперечными идеально проводящими плоскостями (рис. 10.2). Если исходной структурой является прямоугольный (рис. 10.2,а) или, например, круглый (рис. 10.2,б) волновод, то образуется полный резонатор; то же можно сказать о резонаторе, образованном коаксиальной линией (рис. 10.2,в). Но все дальнейшие рассуждения будут справедливы и в отношении отсеченного отрезка диэлектрического волновода (рис. 10.2,г) или какой-нибудь иной открытой структуры, например двухпроводной линии (рис. 10.2,д).

y

L

Eτ = 0

д

Рис. 10.2. Резонаторы: а – полый прямоугольный; б – полый цилиндрический; в – образованный отрезком коаксиальной линии;

г– образованный отрезком диэлектрического волновода;

д– образованный отрезком двухпроводной линии

233

В отсеченной области возможно существование лишь таких полей, которые в дополнение к граничным условиям, свойственным исходной направляющей структуре, удовлетворяют также условию Eτ= 0 на введенных перегородках. Таким свойством может обла-

дать наложение прямой и обратной волн одного типа. Сосредоточив внимание на поперечной электрической компо-

ненте поля, запишем:

где Е — поперечная проекция вектора E .

Потребуем обращения Em в нуль на плоскости z = 0, что реализуется при Е 1 = −Е 2 , причем выражение (10.1) принимает вид

где E0 = − j2E — стоячая волна.

Налагая такое условие при z = L, мы должны положить в (10.2) sinβL = 0 . Отсюда

т.е. постоянная распространения β не может быть произвольной величиной, а принимает одно значение из этой последовательности. Поскольку β = 2πΛ, то из (10.3) следует

Как видно из равенства (10.2), при p=0 Em ≡ 0 : поперечная

электрическая составляющая вообще отсутствует; эту возможность мы обсудим отдельно. Во всех остальных случаях равенство (10.4) означает, что длина отсеченного отрезка направляющей структуры должна быть кратна половине длины волны (того или иного типа).

Имея в виду, что β2 = k2 − γ2 , получаем k2 = γ2 +(pπL)2 .

234

Поскольку k2 = (ωc)2 εμ, то

Полагая пока ε и μ вещественными константами, будем считать также не зависящим от частоты поперечное волновое число γ

(как в случае полых волноводов). Тогда (10.5) выражает в явной форме частоты, при которых поле может существовать в рассматриваемом объеме. Они называются собственными частотами. Объем выступает, таким образом, как резонатор.

Для каждого типа волны в направляющей структуре, которому отвечает определенное поперечное волновое число γ , существует

бесконечное множество собственных частот, получаемых при переборе р. Собственные частоты, соответствующие всем типам волн при всех значениях р, образуют последовательность

0 < ω1 ≤ ω2 ≤…≤ ωn ≤…≤ ∞.

Заметим, что в случае Т-волн γ = 0 , так что согласно равенст-

ву (10.5) собственные частоты зависят только от продольного размера L и являются кратными низшей частоте

при p ≠ 0.

Значение р = 0 в данном случае невозможно. Это означало бы полное отсутствие электрического поля: для Т-волн оно поперечное.

Что касается случая р = 0, то поскольку при этом β = 0, соответствующая собственная частота резонатора, определяемая по формуле (10.5),

235

равна критической (круговой) частоте ωкр для данной длины направляющей структуры (сравните fкр = ωкр2π). Так как при р = 0

поперечное электрическое поле отсутствует, то должно существовать продольное, а следовательно, речь может идти только о Е-волнах. Как известно, при критической частоте поле не изменяется по оси z и Λ → ∞. Согласно выражению (10.4) длина резонатора при этом оказывается неопределенной: L = 0 ∞. Две поперечные плоскости могут располагаться на любом расстоянии друг от друга. Заметим, что Н-волны при критической частоте имеют подобное же продольное магнитное поле (и поперечное электрическое), так что граничные условия на поперечных идеально проводящих перегородках не могут быть удовлетворены.

10.1.2. Свойства полей резонаторов

Мы рассмотрели только определенный класс резонаторов, каждый из которых можно трактовать как энергетически изолированный участок направляющей структуры. Их поля обладают свойствами стоячей волны. В простейшем случае векторы E и H стоячей волны при отсутствии потерь сдвинуты по фазе на 90°, причем электрическое и магнитное поля синфазны на участке между соседними узлами. Этим свойством отличаются многие поля резонаторов. Из формулы (10.2) видно, что при вещественных β и E

поле E синфазно в области постоянного знака синуса. Пусть Em = Eeiϕ, где фаза не зависит от координат. Определяя комплексную амплитуду H , имеем

Hm = − j1ωμ rot Em = Hmei(ϕ+π/2) ,

где Hm = ωμ1 rot Em — величина вещественная.

Это значит, что фаза вектора H отличается от фазы вектора E на π2 . При таком фазовом соотношении наступают моменты, когда существует только электрическое поле или только магнитное.

236

Поток вектора Пойнтинга, проходящий через любое сечение резонатора, в среднем равен нулю. Движение энергии имеет колебательный характер (рис. 10.3,а).

Рис. 10.3. Резонаторы: а – полый цилиндрический; б – образованный замкнутым в кольцо отрезком прямоугольного волновода

Можно убедиться, что в ряде случаев возникают циклические движения энергии (рис. 10.3,б). Если, например, рассматривать резонатор, показанный на рис. 10.2,б, при круговой поляризации, то в этом случае существует азимутальный циклический поток энергии (см. рис. 10.3,а); через заштрихованное сечение проходит поток вектора Пойнтинга, в среднем не уничтожающийся. Между основаниями цилиндра z = 0 и z = L устанавливается уже рассматривавшаяся стоячая волна, однако функция E в равенстве (10.2) при

этом не является вещественной величиной и сделанный ранее вывод о фазовом соотношении E и H оказывается неприменимым. Волны круговой поляризации возможны не только в круговом волноводе. То же можно сказать и о циклических потоках энергии в резонаторах; мы могли бы рассматривать, в частности, прямоугольный резонатор.

Существуют резонаторы, образованные замкнутой направляющей структурой того или иного вида. На рис. 10.3,б показан такой резонатор, который можно рассматривать как изогнутый в кольцо прямоугольный волновод. Если в волноводе распространяется переносящая энергию волна, то также образуется циклический поток вектора Пойнтинга. Это возможно, если вдоль замкнутого волновода укладывается целое число волн (чем больше радиус кольца, тем

237

с большим основанием можно определить длину волны). Впрочем, этот кольцевой резонатор можно трактовать как отсеченный двумя параллельными плоскостями отрезок коаксиальной линии и это представление является точным.

Кроме резонаторов, примеры которых представлены на рис. 10.2, нередко применяются и такие, которые уже нельзя рассматривать, как это делалось в п.10.1.1. Резонатором, например, может быть любая металлическая полость, какое-либо диэлектрическое тело, система зеркал, планарная структура и пр.

В общем случае в теории электромагнитных резонаторов ищутся решения уравнений Максвелла или волновых уравнений при требуемых граничных условиях. В частности, для произвольного полого резонатора с однородной изотропной средой формулируется одна из следующих двух задач:

1) в объеме резонатора V

(rot Hm ) = 0.

Соленоидальные решения этих задач (div Em =0, div Hm =0)

дают систему полей, называемых собственными колебаниями. Каждое решение Em(n) или Hm(n) (n = 1, 2, …) реализуется при некотором собственном значении kn2 параметра k2 = ω2εμnc2 . Соответствующие значения ω = ωn — это собственные круговые частоты резонатора, а kn — собственные волновые числа.

238

Трехмерные векторные задачи аналогичны двумерным скалярным задачам. Если полый резонатор относится к уже рассмат-

ривавшемуся классу (см. рис. 10.3), то векторы Em и Hm в уравнениях (10.8) и (10.9) удобно спроецировать на ось z. Это приводит к скалярным задачам относительно Emz и Hmz .

Полное поле можно определить через Emz (Е-поля) или через

Hmz (Н-поля), подобно тому, как это делалось для направляющих структур.

10.1.3. Учет потерь. Добротность резонаторов

Потери энергии в реальных резонаторах обусловлены поглощением в диэлектрических и металлических элементах, а также в ряде случаев излучением во внешнее пространство (например, полый резонатор излучает при наличии отверстия).

Пусть W — запас энергии резонатора при собственных колебаниях некоторого типа с частотой ω, а Pn — мощность потерь. Вве-

дем величину

которая, как мы убедимся, для каждого типа колебаний является константой и называется добротностью резонатора. Поскольку рассматривается полная энергия некоторого свободного электромагнитного поля, W и Pn связаны соотношением (1.23); объединяя его

с равенством (10.10), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение

Его решение

239

показывает, что запас энергии собственных колебаний экспоненциально падает.

Поскольку энергия квадратично связана с полем, то оно также экспоненциально затухает, причем амплитуды компонент E и H

вает затухающие колебания.

10.2. Полые резонаторы

10.2.1. Прямоугольный резонатор

Рассмотрим подробно полый резонатор, показанный на рис. 10.3,а. В приближении идеальной проводимости оболочки собственные частоты определяются по формуле (10.5), в которую надо подставить выражение поперечных волновых чисел γ = γ тп .

В результате имеем

(символ ωтпр отражает тот факт, что собственная частота опреде-

ляется индексами m, n и p).

Заметим, что выражение собственных волновых чисел (10.5) в данном случае принимает вид γ2 = k2 −β2 . Собственные колебания

будем классифицировать, опираясь на представление о Е- и Н- волнах волновода.

Поскольку каждой из собственных волн Eтп или Hтп соответ-

ствует бесконечный ряд собственных колебаний, различающихся числами р, будем говорить о типах собственных колебаний Eтпp

или Hтпp . Выпишем выражения соответствующих полей.

240