3289-electrodinam

5.Плоские электромагнитные волны в изотропных неограниченных средах

5.1. Волновой характер электромагнитного поля

Перед изучением электромагнитных волн обсудим содержание понятий «волна», «волновой процесс», получивших широкое распространение в физике и технике. Прообразом здесь служат всем известные волны, возникающие на поверхности воды. Существенно то, что при движении, распространении всякой волны среда постепенно вовлекается в некоторый физический процесс, в результате чего происходит передача энергии в пространстве.

Таким образом, электромагнитное поле, возникшее в некоторой области пространства, не заполняет его мгновенно, а распространяется с конечной скоростью, зависящей от свойств среды. Волновой характер распространения описывается уравнениями Гельмгольца:

Важной характеристикой волнового процесса является вид фронта волны. Фронт волны — это поверхность равных фаз. Он может иметь различную форму. Например, если источник волны точечный, то ее фронт представляет сферическую поверхность и волна называется сферической.

5.2. Плоские волны в средах без потерь

Плоская волна — это волна, фронт которой представляет собой плоскость. Рассмотрим, в каком случае может возникнуть плоская волна.

Предположим, что в точке О находится точечный источник (рис. 5.1). Плоскость Р перпендикулярна оси Oz, точки М1, М2 лежат в плоскости Р. Предположим, что источник О так далеко от плоскости Р, что ОМ1 ОМ2. Это означает, что все точки в

111

плоскости Р равноправны. То есть при перемещении в плоскости Р не происходит изменение состояния процесса.

Рис. 5.1. Распространение плоской волны

Так как состояние процесса во всех точках плоскости одинаково, то эту плоскость можно назвать фронтом волны. В этой плоскости при перемещении в перпендикулярном оси z направлении не происходит никаких изменений. Математически это означает следующее:

Такое приближение называется приближением плоской волны. В этом случае трехмерные уравнения (5.1) преобразуются в одномерные уравнения:

d 2 Em + k2 Em = 0; dz2

(5.3)

d 2 Hm + k2 Hm = 0. dz2

Решение подобного рода волновых уравнений хорошо известно и имеет вид

E = e0 (Ae j(ωt−kz) + Be j(ωt+kz));

H = h0 (Ce j(ωt−kz) + De j(ωt+kz)).

112

В этих уравнениях e0 , h0 — орты, показывающие направление

векторов электрического и магнитного полей соответственно; A, B, C и D — вещественные константы. Переходя от комплексных векторов к их реальным частям, получим:

E = Re E = e0 (Acos(ωt − kz) + B cos(ωt + kz));

(5.4)

H = Re H = h0 (C cos(ωt − kz) + D cos(ωt + kz)).

Исследуем решения (5.4). Рассмотрим первое слагаемое в первом уравнении (5.4).

Обратим внимание на то, что мы получили решение, описывающее волновой процесс. На рис. 5.2 показано распределение амплитуд электрического поля в моментывремениt и t + t .

E А

t

B

t + t

Рис. 5.2. Распределение в пространстве амплитуд электрического поля в различные моментывремени

Точки А и В соответствуют максимумам амплитуды поля. Положение максимума сместилось за время t на расстояние z . Следова-

тельно, Acos(ωt − kz) = Acos(ωt + ωΔt − kz − k z).

Равенство значений функций обеспечивается равенством аргументов: ωΔt = k z.

113

зывает скорость распространения волнового фронта электромагнитной волны.

Для вакуума фазовая скорость

Подставив значения констант, получим:

Это означает, что в вакууме скорость распространения электромагнитной волны равна скорости света.

Второе слагаемое в первом уравнении (5.4) является вторым частным решением и дает отрицательное значение скорости. Оно соответствует волне, распространяющейся к источнику.

Определим расстояние λ между точками поля с фазами, отличающимися на 360 градусов. Это расстояние называется длиной волны. Так как амплитуда волны на расстоянии длины волны и с изменением фазы на 360 градусов не изменяется, можем записать

cos(ωt − kz) = cos(ωt − k(z + λ) + 2π).

Отсюда

Длина волны в вакууме

где c — скорость электромагнитной волны в вакууме (скорость света).

114

Как следует из формулы для фазовой скорости, она не зависит от частоты, значит, вакуум — среда не дисперсионная.

Установим связь между направлениями векторов электрического и магнитного полей. Начнем с уравнений Максвелла:

rot H = jωεE;

(5.7)

rot E = − jωμH.

Заменяем векторные уравнения скалярными, т.е. приравниваем проекции векторов в (5.7):

Из выражений (5.9) видно, что у плоских волн нет продольных составляющих, так как Ez , Hz = 0 .

115

Составим скалярное произведение (E, H ), выразив Еx и Еy из соотношений (5.9):

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, векторы E и H в плоской волне перпендикулярны друг другу. Поскольку у них нет продольных составляющих, то E и H перпендикулярны направлению распространения волны. Найдем отношение амплитуд векторов электрического и магнитного полей.

Будем предполагать, что вектор E направлен вдоль оси x. Со-

куума. Оно равно 377 Ом. С большой степенью точности эту величину можно считать волновым сопротивлением сухого воздуха.

На основе анализа решения волновых уравнений можно сделать следующие выводы.

1. В вакууме плоские волны распространяются со скоростью света, в остальных диэлектрических средах их скорость меньше в

εr μr раз.

116

2.Векторы электрического и магнитного полей не имеют продольных составляющих и перпендикулярны друг другу.

3.Отношение амплитуд электрического и магнитного полей равно волновому сопротивлению среды, в которой происходит распространение электромагнитных волн.

5.3.Поляризация

электромагнитных волн

Если в любой момент времени в любой точке пространства можно определить положение векторов E и H , то говорят, что излучение поляризованное. Рассмотренная выше плоская волна — линейно поляризованная. Плоскость, проходящая через вектор E и направление распространения, называется плоскостью поляризации. Линейная поляризация не единственно возможная.

Рассмотрим другие виды поляризации в режиме гармонических колебаний. Будем считать, что существуют одновременно две волны одной частоты. Векторы напряженности электрического поля у них взаимно перпендикулярны. Волновые процессы имеют произвольный фазовый сдвиг:

Общее поле определяется суперпозицией заданных полей. В плоскости z = 0 :

Векторы каждого из полей имеют только по одной проекции:

117

Освободимся от временной зависимости. Для этого из (5.13) с учетом (5.15) получим

y

2E01

o x

2E02

Рис. 5.3. К определению волны с эллиптической поляризацией

118

Рассмотрим некоторые частные случаи.

(рис. 5.4,б).

В этом случае

Ey = E02 cos(ωt − π2) = −E01 cos ωt .

Со временем вектор напряженности электрического поля перемещается по часовой стрелке, если смотреть вдоль распространения волны. Это правая эллиптическая поляризация (рис. 5.4,в).

4. ϕ = − π2 . Этот случай соответствует волне с левой эллипти-

ческой поляризацией.

Рис. 5.4. Вектор напряженности электрического поля суммарной волны в плоскости z = 0

Таким образом, чтобы получить волну с круговой поляризацией, исходные волны должны быть ортогонально линейно поляризо-

ваны, иметь одинаковые амплитуды и фазовый сдвиг, равный ± π2 .

Для волны с круговой поляризацией можно записать:

E = E0 (x0 cos ωt ± y0 sin ωt).

119

В комплексной форме

E = E0 (x0 ± jy0 )e j(ωt−kz).

Легко показать, что две волны с круговой поляризацией могут в сумме образовывать волну с линейной поляризацией.

5.4. Плоские электромагнитные волны в поглощающих средах

5.4.1. Затухание электромагнитных волн

Запишем уравнения Максвелла для электромагнитных волн, распространяющихся в поглощающей среде:

В уравнениях (5.20) диэлектрическая и магнитная проницаемости величины комплексные, следовательно, волновое число также комплексная величина:

Так как имеет место квадратный корень, k′ и k′′ могут иметь различные знаки. В дальнейшем покажем, что выбранные нами знаки соответствуют принципу физической реализуемости.

Запишем:

где k′ = 2λπ — постоянная распространения (фазовая постоянная);

k′′ — постоянная затухания.

Плюс перед k′ соответствует волне, распространяющейся от источника, минус перед k′′ отражает затухание волны при увеличении расстояния от источника. Покажем выражение (5.20) графиче-

120