3289-electrodinam

Для линейного распределения зарядов:

В качестве примера рассмотрим, как определить потенциал двух параллельных равномерно заряженных нитей (рис. 2.4). Линейная плотность зарядов нитей +τ и −τ.

Найдем потенциал в произвольной точке М как сумму потенциалов, создаваемых каждой нитью:

ти соответственно до точки M, в которой вычисляется потенциал (см. рис. 2.4). Константа С выбирается таким образом, чтобы на оси симметрии потенциал был равен нулю.

2.5. Уравнения для электростатического потенциала

Получим из уравнений Максвелла для векторов электрического поля уравнения для электростатического потенциала. Исходить будем из уравнения (2.2)

div D = ρ.

Используя материальное уравнение D = εE , получим div εE = ρ, и так как E = −grad ϕ, то

51

Если ε не зависит от координаты, то есть среда однородна, то

εdiv grad ϕ = −ρ.

Так как div grad ϕ = 2ϕ, можно записать

52

Обратим внимание на то, что в рассмотренной задаче среда неоднородна, поэтому мы воспользовались формулой (2.15), а не

(2.16).

Пример 2. Найти распределение потенциала и напряженности электрического поля диполя.

Решение. Рассмотрим систему из двух разноименных, но равных по абсолютной величине точечных зарядов, находящихся на расстоянии l, которая образует диполь. Ее электрическим моментом является вектор

лютным значением 1, направленный от положительного заряда к отрицательному.

Поле этой системы будем исследовать на расстояниях r, значи-

При соблюдении условия (2.19) система называется диполем. Если неограниченно уменьшать l, сохраняя момент р, то в пределе получится «дипольная точка», характеризуемая вектором р, — идеальный диполь; условие (2.19) выполнено при любых r. Потен-

53

Теперь по формуле E = −grad ϕ можно определить поле диполя

E . Это проще всего сделать, пользуясь сферической системой координат (рис. 2.6). Внося (2.20) в формулу

Силовые линии поля в меридиональной плоскости изображены на рис. 2.7.

р

Er

E

Eθ

Рис. 2.7. Поле электрического диполя

54

Как и следовало ожидать, поле диполя симметрично относительно его оси.

Понятие диполя играет важную роль в теории электромагнетизма. Полученные выше результаты найдут применение в дальнейшем.

2.6. Основная задача электростатики

Прямой задачей электростатики является нахождение потенциала по заданному распределению заряда. Если плотность заряда в каждой точке известна, то потенциал как функция координат определяется уравнением Пуассона, решение которого имеет вид

ϕ = 41πεV∫ρr dv.

Далее находим напряженность электростатического поля E = −grad ϕ. Возможна и обратная задача.

Основная задача электростатики заключается в следующем. Задана система заряженных тел. Требуется найти распределение потенциала в пространстве, окружающем эти тела, представляющем собой идеальный диэлектрик. Однако очень часто задается не распределение заряда, а полные заряды либо потенциалы заряженных тел.

Могут быть заданы:

–заряды на проводящих телах (задача Неймана);

–потенциалы проводящих тел (задача Дирихле).

Нам нужно доказать, что задания потенциалов или полных зарядов тел принципиально достаточно для того, чтобы задача электростатики решалась единственным образом. Для доказательства этой теоремы нам потребуется формула Грина. Выведем ее.

Пусть ϕ, ψ — скалярные функции. Рассмотрим их в области V, причем будем считать, что в области V они дифференцируемы.

Найдем grad ϕ и составим произведение.

55

Так как ψgrad ψ — векторная функция, то применим к ней теорему Остроградского – Гаусса

∫div(ψgrad ϕ) dv = ∫ψgrad ϕds .

V S

Рассмотрим подынтегральные выражения по отдельности. Слева:

div(ψgrad ϕ) = grad ϕgrad ψ +ψ 2ϕ.

В правой части:

ψgrad ϕds = ψgrad ϕn0ds = ψ(grad ϕ)0 ds = ψ ∂ϕ∂n ds .

Подставив подынтегральные выражения в формулу Остроградского – Гаусса, получим:

∫(grad ϕgrad ψ + ψ 2ϕ)dv = ∫ψ ∂ϕ∂n ds .

V S

Полученное выражение называется формулой Грина. Сформулируем теперь теорему единственности. Основная за-

дача электростатики решается единственным образом, если:

а) потенциал есть непрерывная, конечная, однозначная функция координат;

б) на бесконечном расстоянии от исследуемой системы заряженных тел потенциалы и заряды равны нулю;

в) поверхности проводящих тел эквипотенциальны; г) заданы либо потенциалы проводящих тел, либо их заряды.

Рассмотрим вначале основную задачу электростатики в формулировке Дирихле.

Доказательство проведем методом от противного, то есть предположим, что существуют два решения уравнения Лапласа ϕ1

и ϕ2 .

Сформируем разностное решение:

Δϕ = ϕ1 −ϕ2 .

56

Тогда в любом случае

2Δϕ = 0.

При ρ = 0 это очевидно. Но даже если ρ ≠ 0 , то каждая из этих функций должна удовлетворять уравнению Пуассона с одинаковой правой частью. Подставим разностное решение в формулу Грина:

∫(grad Δϕ)2 dv = ∫Δϕ∂∂nϕds .

V S

Рассмотрим, чему равно ϕ на всей поверхности S. Нужно четко представлять, что S — поверхность, заключающая все исследуемое пространство, окружающее проводящие тела (диэлектрик). Она включает, во-первых, внешние поверхности всех проводников, вовторых, поверхность сферы бесконечного радиуса, которая ограничивает все исследуемое пространство снаружи. На всей поверхности S решение ϕ = 0 (в силу условий «б» и «в» теоремы единственности). Отсюда

∫Δϕ∂∂nϕds = 0 .

S

Значит, и левая часть формулы Грина равна нулю:

∫(grad Δϕ)2 dv = 0.

V

Под знаком интеграла находится неотрицательная функция, следовательно, интеграл обращается в нуль только при

grad Δϕ = 0 .

Отсюда

Δϕ = const.

Мы уже убедились, что Δϕ = 0 на поверхности S, и теперь оказывается, что Δϕ = const во всем объеме V. Значит, Δϕ всюду равно нулю. Поскольку разностное решение обратилось в ноль, то не может быть двух значений потенциала в одной точке. Таким образом, теорема единственности для задачи Дирихле доказана.

57

Рассмотрим основную задачу электростатики в формулировке Неймана. Заданы заряды проводящих тел. Найти распределение потенциала в окружающем пространстве.

Пусть также имеются два решения уравнения Лапласа и разностное решение ϕ = ϕ1 −ϕ2 .

Рассмотрим правую часть формулы Грина для поверхности одного из проводников:

На границе с идеальным диэлектриком D1n = ξ1, D2n = ξ2 . Привлекая материальное уравнение, получим

Аналогично можно сказать и о других заряженных телах. Значит, правая часть формулы Грина равна нулю. Затем обращаемся к левой части формулы Грина:

∫(grad Δϕ)2 dv = 0.

V

Отсюда снова вытекает ϕ = const , следовательно, ϕ = 0 всюду. Таким образом, теорема единственности для задачи Неймана доказана.

58

2.7. Методы решения задач электростатики

К настоящему времени разработано много методов решения задач электростатики. К числу основных относятся:

–метод суперпозиции;

–метод зеркальных изображений;

–метод непосредственного интегрирования;

–метод разделения переменных;

–метод конформных преобразований. Рассмотрим первые четыре из них.

Метод суперпозиции

Этот метод основан на линейности уравнений Максвелла и был рассмотрен в подразд. 2.4.

Напомним, что потенциал системы зарядов равен сумме потенциалов каждого из зарядов, входящих в систему.

Метод зеркальных изображений

Если система точечных зарядов находится в соседстве с проводником, то можно подобрать такие дополнительные (фиктивные) заряды, являющиеся как бы зеркальными изображениями первоначальных, что полное поле и истинных, и фиктивных зарядов, каждый из которых рассматривается без учета существования проводника, удовлетворит граничным условиям на его поверхности.

Пусть, например, заряд q находится на расстоянии h от проводящей плоскости S (рис. 2.8,а). Нетрудно найти поле, которое, будучи наложено на поле заряда q, удовлетворит требованию постоянства потенциала на плоскости S. Это поле заряда q (рис. 2.8,б), расположенного за плоскостью S на том же расстоянии h, равного ему по абсолютной величине и противоположного по знаку. Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить, что плоскость симметрии двух разных и разноименных зарядов эквипотенциальна (силовые линии пересекают ее под прямым углом). Мысленно заполнив пространство по одну ее сторону проводящей средой, мы, очевидно, не нарушим поле в оставшемся полупространстве с зарядом.

59

Итак, для того чтобы найти поле точечного заряда, расположенного над проводящей плоскостью, надо мысленно построить по указанному способу его «зеркальное изображение» и искать поле над плоскостью как суперпозицию полей заряда и изображения. Подобным же образом — путем построения изображений отдельных зарядов — решается задача для системы зарядов над плоскостью (рис. 2.9).

Рис. 2.8. К расчету поля заряда над проводящей плоскостью

q

n0

h θ

S

–q

E

Рис. 2.9. К расчету поля заряда над проводящей плоскостью

Фактической причиной влияния проводника на поле зарядов является электростатическая индукция.

60