3289-electrodinam

Так, в рассмотренном примере поле в плоскости проводника (см. рис. 2.9) равно

(произведено сложение полей двух зарядов). Следовательно, исходя из граничного условия D1n = ξ, плоскость несет заряд плотности

Этот заряд индуцирован расположенным над плоскостью зарядом q. Таким образом, с помощью метода зеркальных изображений учитывается действие индуцированных зарядов. Остается только подчеркнуть, что обоснование законности метода дает доказанная выше теорема единственности. В данном случае мы имеем дело с заданными зарядами (в частности, полный заряд проводника обычно равен нулю). Согласно доказанной выше теореме найденное решение единственно и поэтому выражает истинное поле системы.

Для иллюстрации других возможностей метода зеркальных изображений рассмотрим задачу о параллельных бесконечно длинных заряженных цилиндрах. Задача о бесконечно длинных проводящих цилиндрах конечного диаметра принципиально гораздо сложнее. В случае нитей речь идет об известном распределении зарядов в пространстве. Здесь же плотность заряда различных участков цилиндрических поверхностей заранее неизвестна. Она не постоянна, как это имеет место в случае уединенного цилиндра: в результате взаимного влияния разноименно заряженных проводников заряд накапливается на менее удаленных участках их поверхностей.

Однако задача решается очень просто, если учесть, что эквипотенциальные поверхности поля заряженных нитей имеют цилиндрическую форму. На основании теоремы единственности мы имеем право утверждать, что поле в пространстве между поверхностями цилиндров (рис. 2.10,б) ничем не отличается от поля между аналогичными эквипотенциальными поверхностями двух заряженных нитей (рис. 2.10,а).

61

Найти распределение потенциала, напряженности электрического поля и векторы электрического смещения. Определить заряд на верхней пластине конденсатора. Краевыми эффектами пренебречь.

Решение

1.Все межэлектродное пространство разбиваем на однородные области. Таких областей две. В них различное значение диэлектрической проницаемости.

2.Для каждой из областей записываем уравнение для потенциала в наиболее подходящей системе координат. В данном случае это прямоугольная система координат:

2ϕ1 = 0,

div εgrad ϕ2 = 0;

3. Для определения постоянных интегрирования в полученных выше соотношениях воспользуемся граничными условиями и условиями теоремы единственности.

Граничные условия «диэлектрик – проводник»:

проводящих тел эквипотенциальны).

Граничные условия на границе смежных областей I и II:

4. Составляем систему уравнений, исходя из граничных усло-

вий:

а) 0 = A0 + B B = 0;

б) U = C(2a)2 + D;

63

в) Aa = Ca2 + D ;

г) ε0 A = 2ε0C2a A = 4aC .

Разрешаем эту систему относительно неизвестных постоянных:

4Ca2 = Ca2 + D D = 3Ca2 ;

U = C4a2 +3Ca2 C = 7Ua2 ; D = 73U ;

A = 74a U .

Подставляем полученные значения постоянных:

5. Проверка полученного решения. Проверка производится подстановкой ϕ1 и ϕ2 в граничные условия.

Полученное решение удовлетворяет граничным условиям. 6. Определяем векторы поля:

Потенциал в первой среде изменяется линейно, во второй — по квадратичному закону. Напряженность не зависит от координат в первой среде.

7. Определяем заряд на верхней пластине. Для этого вначале найдем его плотность. На границе с идеальным проводником:

ξ= D2n = n0 D2 ;

ξ= −x0 (−x0 ) 47εa0 U = 47εa0 U.

64

Полный заряд на верхней пластине

q = ξS = 4ε0US . 7a

Метод разделения переменных

Этот метод основан на решении уравнений для потенциалов в случае двухили трехмерных систем заряженных тел. Содержание этого метода рассмотрим на примере.

Пример. Найти распределение потенциала в цилиндрической трубе, заполненной диэлектриком (рис. 2.12). Длина цилиндра не-

няем уравнение Лапласа в цилиндрической системе координат:

3. Решаем методом разделения переменных. Решение уравнения (2.24) ищем в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит от своей переменной:

ϕn = R(r) A(α) .

Подставляем ϕ в уравнение Лапласа (2.24). Индекс n, обозначающий номер области, пока будем опускать, потому что вид

65

решения от него не зависит. Как только особенности области будут проявлены, снова введем этот индекс.

4. Так как каждое из слагаемых зависит только от своей переменной, первое — от r, второе — от α, то вместе они дадут ноль только в двух случаях.

Первый случай: каждая из функций (слагаемых) обращается в ноль:

Второй случай: каждая из функций (слагаемых) равна одинаковым постоянным величинам, имеющим противоположные знаки:

Заметим, что нижние индексы 0 и λ подчеркивают тот факт, что A0 и R0 относятся к первому случаю, а Aλ и Rλ — ко второму.

Для первого случая уравнения (2.25) и (2.26) решаются легко: r ∂∂Rr0 = A0 ; R0 = A0 ln r + B0 ;

А0 = C0α + D0 ;

ϕ0 = R0 А0 = (A0 ln r + B0 )(C0α + D0 ) .

66

Для второго случая уравнение (2.27) является уравнением Эй-

лера. Оно решается подстановкой R = r p . После подстановки получаем

p2 = λ2 ,

где p = ±λ — корень характеристического уравнения. Следовательно, решение уравнения (2.27) имеет вид

Rλ = Aλrλ + Bλr−λ .

Уравнение (2.28) решается составлением характеристического уравнения

p2 + λ2 = 0 ;

p1,2 = ±λ αλ = Cλ sin λα + Dλ cos λα ;

ϕλ = Rλαλ = (Aλrλ + Bλr−λ )(Cλ sin λα + Dλ cos λα) .

5. Конструируется общее решение на основе суммы частных:

ϕn = R0nα0n + ∑Rλnαλn = ( A0n ln r + B0n )(C0nα + D0n ) +

Напомним, что индекс п показывает номер области. В рассмотренном случае п равно 1 или 2.

6. Определяем постоянные из условия теоремы единственности и граничных условий.

Например, одно из условий заключается в том, что потенциал — конечная функция координат. В исследуемом пространстве есть точка, в которой r = 0. При r = 0 потенциал должен быть коне-

чен, следовательно, коэффициенты при ln r и r−λ в (2.29) должны быть равны нулю. Значит, A01 = A02 = 0 , Bλ1 = Bλ2 = 0 .

Далее применяем остальные граничные условия и делаем проверку.

67

2.8. Емкость. Конденсатор в электростатике

Обсудим одно из важных представлений электростатики. Рассматривая некоторый уединенный проводник, будем вычислять его потенциал, используя выражение (2.10); тогда это вполне определенная величина. При линейности среды заряд q и потенциал ϕ, определяемый по формуле (2.10) для конкретного проводника, связаны линейной зависимостью; это следует из линейности уравнений электростатики. Поэтому каждый проводник можно охарактеризовать при помощи своего коэффициента пропорциональности С, связывающего потенциал и заряд:

Можно сказать, что С есть характеристика проводника как «накопителя» заряда. Параметр С называется емкостью уединенного проводника.

На рис. 2.13 в двух вариантах показан проводник, находящийся в полости другого проводника. Это так называемый идеальный конденсатор.

Рис. 2.13. К определению емкости сферического конденсатора

Пусть внутренний проводник несет заряд Q. Легко убедиться, что внутренняя поверхность внешнего проводника при этом имеет заряд –Q. Выберем внутри полого проводника замкнутую поверх-

68

ность S (рис. 2.13,а), охватывающую полость. Применяя к S равенство (2.2а), видим, что левая часть равна нулю, так как в проводнике D = 0 . Следовательно, равен нулю и полный заряд q, находящийся внутри поверхности S. Отсюда видно, что заряд внутреннего проводника Q уравновешивается зарядом –Q , который может находиться только на внутренней поверхности полого проводника. Емкость конденсатора определяется как

Пример. Определим емкость сферического конденсатора

(рис. 2.13,б).

Решение. В силу сферической симметрии внутреннее поле оказывается таким же, как в случае точечного заряда. Поэтому для внутреннего и внешнего проводников имеем соответственно

Составляя разность этих величин и применяя формулу (2.31), получаем

На идеальный конденсатор внешние электростатические поля не оказывают никакого действия. Действительно, внешние поля создают на поверхности проводящих тел такие распределения зарядов, которые компенсируют внутренние поля. Поле будет отсутствовать и в полости внутри проводника, если, разумеется, она не содержит зарядов. Говорят, что объекты, находящиеся в полости, электростатически экранированы: внешние поля на них не действуют. При этом внешнее пространство не экранировано от действия зарядов внутри полости. Действительно, рассматривая полый проводник идеального конденсатора как нейтральный, мы должны

69

прийти к выводу, что появление заряда –Q на его внутренней поверхности вызывает наведение заряда Q на внешней. Этот заряд, однако, на практике можно «отвести» при помощи заземления: он распределится на огромной поверхности и, можно сказать, исчезнет. Внешнее поле практически не возникает.

Реальный конденсатор — это система двух проводников, электростатическое взаимодействие которых значительно превышает воздействие внешних полей. Заряды проводников при этом, строго говоря, уже не одинаковы по абсолютной величине, однако не настолько, чтобы потеряло смысл применение формулы (2.31).

Представление о емкости может быть распространено и на случай системы более чем двух проводников. Пусть имеется N проводящих тел. Поскольку между полным зарядом каждого из проводников и потенциалами всех существует линейная зависимость, можно, например, записать:

qi = Ci1(ϕi −ϕ1) +Ci2 (ϕi −ϕ2 ) +…+Cik ϕi +…+

Cik = Cki , т.е. матрица емкостей симметрична. Знание этой матрицы

(т.е. всех частичных емкостей системы проводников) позволяет установить однозначное соответствие между их зарядами и потенциалами. Равенство (2.33) можно переписать в виде системы

где q и ϕ — векторы-столбцы, образованные соответственно всеми зарядами ( q1, q2 , …, qN ) и потенциалами (ϕ1,ϕ2 , …, ϕN ). При этом A = Aik — матрица, элементы которой называются коэффициен-

тами электростатической индукции. Связь между ними и частичными емкостями очевидна.

В заключение отметим, что собственная емкость Сii некоторо-

го проводника с номером i отличается от емкости того же проводника, рассматриваемого как уединенное тело, так как вследствие электростатической индукции в системе меняется распределение его заряда.

70