Elektrotehnika_i_elektronika_2008
.pdf61 |
Глава 1. Электрические и магнитные цепи |
|
U,,, sin соot o ,
a
Генератор гармоник -
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U^= sin гю0t ^ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
Рис. 1.39. Схемы разделения (селекции) сигналов по частоте |
|
|||||||||||||
|
|
1 |
Li |
2 |
=LI2 cos |
(^ |
t =.W |
cos2 о t |
|
1.92 |
||||
|
W = 2 |
|
|
|
|
|
||||||||
а энергия электричеcкoго поля кондeнсатора: |
|
|
||||||||||||
|
W = 1 |
Си2 = СИ2 sin2 (о t = У |
sin2 (х0 |
t. |
(1.93) |
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
с |
|
|
о_ |
со |
о |
|
|
|
Так как при резонансе хо = О,. то |
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
г |
|
|
1 споС |
) ^ |
|
г |
|
г |
|
|
|||
L _ ._..^ |
|
о |
|
|
|
|||||||||
I ^- I ((^а |
|
го0 С (0о С |
|
|
(L1 — С Ис ) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= в0(WLO -- J'J'с0) = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
т. e. |
|
|
WLo |
Исо = Ио . |
|
|
|
(1.94) |
||||||
вывод: при резонансе ,суммарная |
энергия, |
запасенная в контуре, |
||||||||||||
остается неизменной: происходит лцшь . непрерывное периодическое перераспределение (колебание) энергий,' запасённой в индуктивности и емкости; в момент, когда энергия магнитного поля катушки индуктивности достигает максимума, энергия электрического поля конденсатора равна нулю, й наоборот происходит .обмен энергии между индуктивно-
ст ью. L и емкостью С.
Энергия входного сигнала и(t) служит для компенсации потерь в активном сопротивлении 'R контура; она необходима для возбужде-
Элехтротnехника й электроника |
б2 |
ния и поддержания колебаний в контуре. От источника энергии входного сигнала в любой отрезок времени потребляется столько. энергии, сколько .ее за это время превращается в тепло в резисторе R.
Для цепи, состоящей из параллельно соединенных элементов R,
L, : C (рис. 1.40), на основании первого ' закона Кирхгофа в комплек-
сной фоpме находим:
|
I, = Z%rr^Lg -' JCbL. ^' bC )^^ |
' (1.95) |
|
где g= 1 .; -- bL _--.. 1 |
,. |
' |
|
bC = оС . |
|
||
и
|
|
Ряс. 1.44. ПараллельньУй колебательный контур |
|
||||
|
|
|
У |
= I m ^ |
|
i |
(1.96) |
|
|
|
g -- jb = у , |
||||
|
|
|
|
Urn |
|
|
|
'где |
_ ^ ^. |
г+у2 • _ r |
Ь |
|
|
||
b = bL ЬС , .У |
g |
, ср а ctg . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
g |
|
|
Ь |
|
Характер цепи зависит от величин индуктивной Ь L й |
емкостной |
||||
проводимости:. |
|
|
|
|
. |
||
|
|
ЬL > Ьc, ср > о; ток. в неразветвленной части цепи |
I,,' отстает от |
||||
приложенного к .ней напряжения U и цепь носит индуктивный |
|||||||
характёр. . . |
|
|
|||||
|
|
ЬL < be, ф ( 0 ток в неразветвленной части цепи I,, |
опережает |
||||
приложенное к ней напряжение, цепь носит емкостной характер: ЬL = Ьc, ф =0; ток I,,, совпадает по фазе с U,, , цепь носит характер
активного сопротивления 'R' й по отношению к входным зажимам эквивалента цепи, состоящей из одного активного .сопротивления
R = 1/g. При этом амплитуда тока в неразветвленной части цепи. Im = g L меньше, чем в случаях 1) и 2) . .
63 |
Глава 1. Электрические и магнитные цепи |
|
1.2.4. |
Мощность в цепи синусоидального тока |
|
|
. |
г |
1 |
12.4.1 Мгновенная мощность |
|
' |
|
|
определение: мгновенной мощностью называют произведение при-
ложенного к цепи мгновенного напряжения и(t) на мгновенное значение протекающего по ней тока r(t):,
r
р(t) = и(t)i(t) = Um sin ((он + ч!и ). sin (cot + уlи -- (р) .
Приняв для простоты 'й = 0,' получим:
р(t) = UI cos ср — UI cos (2сон --- гр).. |
(1.97) |
Вывод: мгновенная мощность в. цепи .синусоидального тока имеет постоянную u переменную .составляющие: последняя изменяется во времени c удвоенной частотой. . ' ..
Характер изменения мгновенной. мощности зависит от разности
фаз между напряжением и током.
Ul-
a
^
в ..
Рис. 1.41. Характер изменения мгновенной. мощности при ф = 0 .(а),
0 < ср <. тt/2 (б) и ср - lt/2 (в)
Электротехника и электроника |
64 |
1) ф = 0 (рис. 1.41, a); мгновенная мощность
р(t) = UI -- UI cos2^t
изменяется по косинусоидальному закону относительно прямой UI c удвоенной частотой, являясь все время положительной энергия только поступает в цепь. Такая цепь по отношению к ее входным за - жимам эквивалентна цепи, содержащей только активные сопротивле- ния, если же в ней имеются конденсаторы и катушки индуктивностей, например при резонансе напряжений, то между ними происходит взаимный обмен энергией без возвращения к источнику. .
2) 0 < ф < тс/2 (рис 1.41, б); мгновенная мощность изменяется по косинусоидальному закону относительно прямой UI cos ф с .удвоен-
ной частотой, ' имея положительные и отрицательные участки -- первые отвечают поступлению энергии в цепь, где она запасается,в виде энергии. электрических полей конденсаторов и магнитных полей
индуктивных катушек, a частично расходуется в виде тепла .в рези-
'(механическую, хи-
мическуюит.д.);отрицательныезначениямощностисоответству-
ют возвращению энергии, запасенной в цепи, в источник.
3) ф = it/2. (рис.. 1.41, в); мгновенная мощность изменяется по
гармоническому закону относительно оси времени c удвоенной частотой; положительные и отрицательные. участки мощности! равны
между собой -- вся поступающая в цепь энергия возвращается об
ратно в источник; такая цепь содержит лишь идеальные элементы
L и C.
1.2.4.2. Активная мощность
Это среднее значение мгновенной мощности за период,, т e.
T |
|
P = T f p(t)dt. |
(1.98) |
o
Подставив сюда р(t) из (1.97) и проинтегрировав, получим
Р .= UI cos ср, |
(1 .99) |
т. е. активная мощность в цепи синус-тока равна произведению действующих напряжения, тока. и косинуса угла сдвига фаз между напряжением и током; она выражает энергию, которая передается от
источника к нагрузке и измеряется в ваттах [Вт]. 'Множитель cos ср называeтся коэффициентом мощности: чем больше cos ф, 'тем больше Р при заданных U и I.
Поскольку U = ZI, то для ,активной : мощности (1.99) можно по-,,
лучить выражение: |
(i.zoo) |
Р = RI 2 = gU2 , |
где R = z cos ф.
`65 |
Глава 1. Электрические и магнитные цепи |
1.24.3. Реактивная мощность
Она характеризует энергию, которая'периодически циркулирует
между источником и нагрузкой; это возможно, ёсли в нагрузке есть
идеальные-элементы L и С, 'способные накапливать энергию тока источника и возвращать ее источнику. По аналогии c (1.100) она
равна: .
Q=x12 --gU2. .
Так как x ='z sin ф, то Q = й2 sin ср ил и
Q -= UI. sin' ср, |
.(1.101) |
rдe ..0 = zl..
Pвaктивнaя мощность измеряется в вольт-амперах реактивных
(вар). При ф > 0 (индуктивная нагрузка) Q> 0; a при ф < 0 (eмкoc-
тнaя нагрузка) Q < 0.
1.2.4.4. Полная ,м:ощность
Полная мощность -- это максимальное значение активной' мощ- |
||
ности (1.99):. |
s'=U1: |
|
|
(1.102). |
|
Полная мощность измеряется в вольт-амперах (ВА). Учитывая, |
||
что U = zI = 1/y, |
получим, |
|
|
. |
^I2. |
|
S = z12 = 1 |
|
|
_ |
у' |
где z и y — полное сопротивление и |
полная проводимость цепи. |
|
Сложив квадраты активной (1.99) и . реактивной (1.101) мощнос- теи,V получим
S = Р2 + Q? .
Из (1.99) и (1.102) определяем:
cos ср = Р/s,
т. e. коэффициент мощности cos ф пок азывает, какую часть от полной мощности составляет активная МОЩНОСТЬ.
7.2,4.5. Комплексная мoщнocmъ
Рассматривая активную мощность (1.99) как вещественную часть, a реактивную мощность (1..101) как мнимую часть, запишем
комплексную мощность:
3. Электротекннка и электроника. Уч. пос. .
Электротехника и электроника |
6б |
S -= P+ jQ = Ui cos cp + j UI sir |
ф = S cos ф + jS sin .cp = S'er`^, |
||||
|
.г |
. . |
, |
|
|
где S -- |
|
|
|
|
|
Р + _Qг , ср = aгctg -- , cos ср .- -- — |
|
||||
М |
|
|
Р |
|
;^' .. |
|
|
|
S .U1 . |
||
Вывод: модуль комплексной мощности s является :полной мощно- |
||
'тью S. |
' |
: |
1.2.46.Баланс мощностей
вцепи синусоидального тока
Если в цепи синусоидального тока несколько (т) источников и
несколько (п) потребителей (нагрузки), то: .
= (sН )k или (Р4 + jQ^ )т' + ]1 и )k •
Это равенство справедливо при условии,. что равны друг другу
суммы .вещественных й мнимых. частей комплексных мощностей
источников и потребителей, т. е:: .
Вывод: в цепи синусоидального тока с несколькими (т) источниками энергии и c несколькими (п). потребителями баланс мощностей выполт^яется при условии, что порознь равны друг другу акт, ивные суммарные, и реактивные мощности всех источников и всех потребителей, т. е. при , словии, это: ' 1) Р = Рн; 2) Qu = QH; для постоянного тока проверяется только условие 1). .
1.2.4.7. Услоёия передачи максимальной активной мощности в ' нагрузкy
Рассмотрим цепь .сйнусоидального тока, состоящую из источни-
ка ЭДС Е c внутренним сопротивлением Z = Авн +jхвн и нагрузки
Z„ = R„ + jx,t (рис 1.42). Действующий ток в этой цепи: ,
Е |
(1..103) |
|
Z( Аен + RН' ) -i- (Хен + аСН
иактивная мощность в. нагрузке:
|
г _ |
АнЕг |
|
P |
=RH I -- (R' |
+ АН )г + ('хен + Х |
' (1. 1 о4) |
б7. |
Глава 1. Электрические и магнитные цепи |
Рис. 1.42. Схема для опрёделения ус^товий пе^едачт максимальной активной мощности в нагрузку
Первым условием передачи максимальной активной мощности
в нагрузку является равенство по величине . и противоположность
знаков реактивных сопротивлений источника"и нагрузки, т, e.
хн _ —=хен. ' (1.105)
При выполнении этого условия из (1.104) получаем
RHE2 |
(1.106) |
. |
( R + Ан |
|
|
Ан и |
Максимум этой функции найдем, взяв ее производную по |
|||
приравняв эту производную ,к нулю; . получим второе условие: |
|
||
RH = RBH. |
г |
(1.107) |
|
т. e. активг^ое сопротивление нагрузки должно быть равно активному
сопротивлению источника.
. Вывод. Для получения максимальной активной мощности на нагрузке при заданных параметрах источника 'необходимо, чтобы сопротивление нагрузки было комплексно сопряженным c внутренним сопротив лёнием источника (Ан = Авн,' ХИ - -хвН) •
При этом |
Рнтак ` |
Е2 |
(1 |
.108) |
||
4^ВН. |
||||||
|
|
|
||||
а коэффициент полезного действия источника равен |
|
|||||
|
о, |
|
+ Rвн )I |
=0,5. |
|
|
|
(R |
. |
|
|||
B этом случае сопротивление нагрузки Z ' и _ режим цепи назы- |
||||||
вают согласованными. |
|
. |
|
|
|
|
Элехтротехниха и элeктроника |
68 |
1.2.5. обобщение методов расчета цепей постоянного тока на цепи синусоидального тона
В п. 1.2.1.3 было показано, что все методы расчета цепей посто- янного тока можно применять к расчету цепей синусоидального тока, представляя. все электрические величины в комплексной фор- м ме, т. e. применяя метод комплексных .амплитуд. Рассмотрим здесь конкретизацию этого важного положения, a также особенности рас чета сложных цeпей синусоидального тока методом комплексных
амплитуд.
9.2.5.1. Последовательное соединение комплексных сопрoтивлении
K цепи, состоящей йз п последовательно соединенных комплек- |
|
сных сопротивлении Z1 R1 +jx1; 72 = 14 +jх2; ... 7п |
Rn + jx,,, при |
ложено синусоидальное напряжение и в ней течет синусоидальный
ток, На основании второго закона Кирхгофа в комплексной .форме
можно записать: |
. |
1 |
где 7Э =nZk |
'R + JХЭ ZЭеэ |
k=1 |
, |
|
Rkx3 = xkZ3. = |
R3 + хЭ ,.Фэ = arCtg хЭ |
k=1 |
k=1 |
Э |
Для R берется арифметическая сумма, а для хЭ — алгебраич.еская сумма, так как реактивные сопротивления . х к могут быть как положительными (индуктивные сопротивления), так и отрицательными (емкостные сопротивления). Если в неразветвленной цепи. синусоидального тока несколько источников ЭДС одинаковой ча - стоты , то для нахождения в ней комплексного тока необходимо найти сумму комплексных ЭДС и разделйть ее на ZЭ.
1 Z1 Zz Zn
rI
o
Рис. 1.43. Последовательное соединение комплексных сопротивлений
69 |
Глава 1. Электрические и магнип1ные цепи. |
Отметим, что если для комплексных сопротивлений выполняется равенство:
л
Z = Zk
k=^
то для их модулей аналогичное равенство не выполняется, т. e.
п
Z^ 21 +22 +...+2п _ Zk .
k=1
После умножения этого неравенства поочередно на действую щий. ток и на квадрат действующего тока получим:
U^U1 +U2 +...+Uп , S^s1 +'s2 +...+sn.
Выводы: 1) для действующих напряжений второй закон Кирхгофа не выполняется; 2). полная мощность цепи с последовательным соединением комплексных сопротивлeний не равна сумме полных мощностей потребителей.
Пример. Определить I, U, UL. и построить векторную диаграмму
для цепи на рис. 1.44, a, если U =120 В:; ф = 0; R = б Ом; L = 25,5 мГ; f=50Гц.
Решение..
хL = c^L = 2тtfL = 2.3,14.25,5.1,0-3 80 Ом ,
1
Z = R + jxL = б + j8 =1Ое'53'Ом
|
Z 10е |
|
|
UR = RI = б •12е 53° =72е 53° B , |
|
|
UL = JXLI =81 2е'530 е.^9о° = 96е" В . |
|
530 |
Ток I отстает по фазе от приложенного напряжения U на угол |
|
(рис. 1.44, б) . |
'т |
|
|
|
|
a |
6 у |
Рис. 1.44. Электрическая цепь R-L (а) и ее векторная диаграмма (б)
Электротехника и электроника |
70 |
Пример. Определить ток I, падения напряжений на элементах и
построить векторную диаграмму для цепи на рис. 1.45, a, если U =
=240 В;ф =0; R = 60 Ом; C=40мкФ;f=50Гц.
Решение. |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
=80 Ом, |
|
с - .^с гтfс |
г• з,^ 4•во• 4о |
• 1 |
||||
о |
||||||
Z = R — Jх^ =100е |
530 Ом , |
|
|
|||
I = 7 = 2,4е " ° |
А , |
|
|
|
||
UR = Ri' = 144е |
53° В , |
|
|
|||
UL = —]ХСI = 192е |
37° В |
|
|
|||
Ток в цепи опережает приложенное к ней напряжение на угол |
|
ф 530 (рис. 1.45, б) . |
. |
a |
б^ |
Рис. 1.45. Электрическая цепь R- С (а) и ее вёкторная диаграмма (б)
1.2.5.2. Параллельное соединение комплексных проводимостей
К цепи, состоящей из п параллельно соединенных комплексных
проводимостей У1 = g1 - 1Ы; У2 = g2 -- jbг;. .. • Уп = gn -- , jb^ подведено напряжение U. На основании первого закона Кирхгофа в комплек-
сной форме можно записать:. .