Elektrotehnika_i_elektronika_2008

31 . Глава 1: Электрические и магнитные цепи

положительными, если направления Ек.и 1 совпадают с .выбранным направлением обхода конт$ра;

- решить полученную систему уравнений относительно независимых токов, если некоторые токи получаются отрицательными, : то это означает, что их действительные направления противоположны . выбранным. " . .

Проверку правильности расчета токов -можно` произвести по ба-

лансу мощностей. или по выполнению законов Кирхгофа для любого

узла й контура цепи. Если. в электрической ;цепи некоторые источники энергии заданы в виде йсточнйков тока, то они: учитываются

при составлении системы уравнений по ;первому закону Кирхгофа.

Достоинство метода общность; :недостаток -- громоздкость - (число уравнений равно числу' ветвей).._

1i.4.2. Memo д контурных.токов

определение:. метод контурных токов сводится к составлению и

у

решению системы уравнени й, получаемых : только по второму закону

Кирхгофа применительно: к понятиям контурных токов, сопротивле-

нии и ЭДС.

Сущность этих понятый й самого метода рассмотрим применитель-

но к элeктрической .цепи, изображенной ' на рис. 1.21, б. По методу

Эта система уравнений. дает основание считать, что в каждом независимом контуре протекает свой .контурный ток, который co-

здает падение напряжения на: тех сдпротивленияк цепи, по которым он протекает. Контурный так обозначается буквой 1 с римским индексом.,: отвечающим номеру; независимого контура:, в нашем слу-

чае это II и I' , их. направление указано стрелками внутри контypов.

Контурный ток равен току; в 'ветви; по которой он протекает индивидуально, т. e . -

a ток 13 в ветви ,R3 c yчетом обозначенных стрелками направлений

равен алгебраической сумме контурных токов, протекающих чeрез

R3, т. е.

Iз Iт =- IJJ..1 (1.32)

ставляет собой сумму всех сопротивлений в каждом независимом контуре; они обозначаются сопротивлениями R с двойным i индексом соответственно номеру того контура, к которому относятся (R1 1,

R22), и называются собственными сопротивлениями контуров:

Аналогично сомножитель ( —R3) представляет собой сопротивление, входящее одновременно в каждый из двух. смежных контуров;

и называется взаимным сопротивлением . контуров 1 и 2 (или 2 и 1); взаимные сопротивления являются положительными, если протекающие. через них контурные токи имеют одинаковые направления, и отрицательными, если направления этих токов противоположны.

Алгебраическая сумма всех ЭДС в каждом независимом:контуре

получила название контурной ЭДС; в (1.30) им отвечают цравы е части каждого уравнения. Контурная ЭД:С обозначается буквой E c•

римским индексом (номер контура). Следовательно, контурные ЭДС на рис. 1.21, б равны: .

При определении контурных ЭДC знаки слагаемых правых частей (1.35) определяются. направлением контурных токов: если ЭДС ветви совпадает c направлением контурного тока, то она входит в алгебраическую сумму со знаком плюс, . в противном случае — со знаком минус.

С учетом понятий o контурНы х токах, сопротйвлениях, ЭДС и их

обозначений (1.31), (1.33), (1..34), (1.35) система (1.30) принимает

вид

токи в ветвях I1, I2, I3 , пользуясь (1.31) и (1.32); если в ветви прохо-

дит только один контурный ток, то истинный ток в ветви равен этому контурному току, a токи в ветвях, по которым проходит несколь-

ко контурных 'tоков, равны их алгебраической сумме. Отрицательный знак контурного тока, полученный при решении (1.36), означает, что

его действительное направление противоположно первоначально принятому. .

Пример 5. B электрической цепи на рис. 1.20 даны: Е1 = б В; Е2 =

=. 3 в; R1 =. 1 2 = R3 = 1 Ом. 'Определить токи в ветвях методом контурных токов.

.1,1.43. Memoд наложения (cупepпoзuцuu)

Этот метод основан на принципе наложения, который утверждает:

ток в любой ветви линейной электрической цепи, содержащей нёсколь-

ко источников,ЭДС, равен алгебраической сумме токов в этой ветви при

действии каждого источника отдельности. При этом остальные источники заменяются резисторам1х, имеющими сопротивления, равные внут- ' ренним сопротивлениям за енейных источников ЭДС.

Справедливоёть этого принципа следует непосредственно из ( 1 .39):.

35 Глава 1. Электрические й магнитные цепи

званный действием только ЭДС Е1 . Еслй' считать Е2 ^ 0, a осталь-

ные ЭДС равны нулю, то 'получим частичный ток Ik , вызванный

действиемУ только ЭДС Е2 и _т. д^ Алгебраическая сумма всех частичных токов даст д^еиствительныи ток, протекающий в k-и ветви.

Принцип наложения применим и к напряжениям, так как они

линейно связаны с токами. К расчету же. мощности этот принцип

применять нельзя, так, как мощность является не .линейной, a квaдратичной формой тока или напряжения: если по участку, цепи c сопротивлением R протекает ток I = I1 + I2, то мощность

Метод наложения позволяет найти токи в ветвях без 'составления

и решения системы уравнений, a непоср_ёдственно по закону Ома. При этом вначале находят частичные токи от дейcтвия кaждого источника ЭДС в отдельности, принимая_ остальные ЭДС равными

нулю и оставляя в схеме только их внутренние сопротивления, .а затем. -- действительные токи как алгебраические суммы частичных токов.:

Пример б. Найти методом наложения ток в ветви c источником

ЭДС Е2 в схеме цепи, изображенной' на рис. 1.21, a, если E1 = 50 В;,

Е2 = 10 В; r1 = О,4.Ом; r2 = 1 Ом; R1 = 3 Ом; R2 R3 .= 2 Ом.

Решение. Приняв E2 = 0, получим' схему на рис. 1.22,' a. Напря-

жение между точками 1 и 2

IZЗ f IZ2`x-12

Рис. 1.22. Поочередное представлённё рисунка (1.21, a) для метода наложения (a, б)

, Приняв теперь Е1 = о, получим схему на рис. 1.22, .б. Частичный

направлен от узла 2 к узлу 1. Действительный ток в ветви I2 = I2 --

-I2 = 2 А направлен от узла 1 к узлу 2.

1.1.4.4.Метод эквивалентного генератора (МЭ1)

МЭГ основан на теореме об эквивалентном генераторе напряже-

ния: ток в любой ветви 1-2 (рис. 1.23, а) линейной электрической

цепи не изменится, если остальную часть цепи заменить эквивален -

тным источником напряжения (рис. 1.23, б),. ЭДС которого Еэ рав -

на напряжению на зажимах ' разомкнутой 'ветви 1--2, a сопротивле -

н:ие R3 этой части цепи равно сопротивлению между точками разрыва' 1-2 при условии, что источники ЭДС и тока заменены их

внутренними сопротивлениями, т. e.

Заменив эквивалентный источник напряжения источником тока,

получим эквивалентный источник тока,' для которого справедлива

теорема об эквивалентном генераторе тока. Метод эквивалентного

0

2

Рис. 1.23 . Представление сложной электрической цепи (a) по методу эквивалентного генератора (б) и для примера 7 (в)

. Электротехника и-злект'роника . ,38

сируем и буем считать его равным нулю; такой узел называют ба-- зисньгм: При этом потенциалы остальных узлов будут равны напряжению между этими узлами и базисным. Выбрав положительные на- правления токов во всех ветвях, составим уравнения по первому закону Кирхгофа.для незаземленных узлов:

где уп -- собственная проводимость п-го узла, равная сумме прово-

димостей всех ветвей, соединенных c этим узлом, — всегда положи- g, - взаимная проводимость между п-м и г-м узлами, рав- тельная;

ная сумме проводимостей всёх ветвей, соединяющих эти узлы, -= всегда отрицательная; если цепь не содержит зависимых источни-

ков электрической, энергии; ‚Т -- узловой ток п-го узла, равЁый алгебраической сумме токов источников тока, подсоединенных к п-

'му yзлу; эти токи входят в сумму co 'знаком «плюс», если они направлены к узлу, и co знаком «минус», если направлены от 'узла.

Если в схеме электрической цепи часть источников задана источ-

никами ЭДС, то их необходимо заменить эквивалентными источникaми тока (п. 1..1.3.3); это можно. сделать, не изменяя схему цепи:

оставить в ветви с' источником ЭДС все сопротивления и учесть, что

между узлами этой ветви подсоединен источник тока, y которого ве

Если какая-нибудь ветвь содержит идеальный источник ЭДС и, следовательно, напряжение между двумя узлами задано, целесообразно в качестве базисного узла выбрать .один из узлов данной ветви; в этом случае число неизвестных узловых напряжений .и, стало быть, число узловых уравнений уменьшится на единицу.

Решив систему (1.42), находят потенцйалыг узлов, a затем токи в ветвях по закону Ома.

. При анализе электрической цепи методом узловых потенциалов

целесообразно придерживаться следующёго порядка:

1.Принять потенциал одного из уз^гов равным нулю и пронуме-

ровать по порядку (1, 2, 3, ...) остальные узлы.

2:Вычислить узловые токи J1, J2, ...: _

3.Определить собственные и взаимные проводимости узлов.

4.Составить и решить систему 'уравнений узловых потенциалов.

5.Найти' токи в ветвях, пользуясь законом 'ома.

Отметим, что метод контурных токов (п.1.1.4.2) и метод узловых

потенциалов (п. 1.1.45) в аналитичёском отношении являются как

бы зеркальными отображениями друг друга: пространство контур-

ных величин (сопротивленйй, ЭДС и;токов) зеркально отображается

в пространство узловых величин (проводимостей, токов и потенци- aлов); :это означает, что оба эти метода имеют. одинаково хорошую математическую формализацию и потому позволяют весьма результативно использовать вы числительные машины.

1.1.4.6. Рекомендации. по выбору рационального метода расчета цепей

При расчете цепей с одним источником энергий целесообразно

использовать метод : эквивалентных преобразований. Иногда этот

метод полезно использовать для предварительных преобразований,

применяя другие методы. .

Метод уравнений Кирхгофа из-за его громоздкости следует при--

менять при количестве ветвей в схеме, не превышающем четырех.

Метод контурных токов : целесообразно применять для расчëтов таких цепей, у которых число независимых контуров не более числа узлов (п = у): Если схе ма садержwг' источник тока, то рекомен-

дуется предварительная их замена эквивалентными источниками

ЭДС. .

Если число независимых узлов (у -- 1) в схеме цепи меньше чис-

ла независимых контуров, то для ее расчета целесообразно исполь зовать метод узловых потенциалов, при этом все источники ЭДС следует . преобразовать в эквивалентные. источники тока.

метод наложения удобно. применять, когда вспомогательные

схемы принимают простой вид и их. расчет не представляет трудностей. Применениё этого метода нецелесообразно при расчете .схем c большим числом источников.

Метод эквивалентного генeратора следует применять, когда требуется найти ток в одной ветви или напряжение между двумя узлами.

‚I

1.2.. Линейные электрические цепи

однофазного переменного тока

1.21Общие сведения o cинycoидaльнoм токе

иcпocoбax его представления

1.2.1.1. Параметры синусоидального тона

Синусоидальный ток является частным случаем периодическом го переменного тока, значение которого в любой момент врёмени .t

определяетсямгновеннымтоком:

где k = 1, 2, 3, ... ; Т --- период переменного тока, измеряемый в се-

кундах (с). "

Величина, обратная периоду, называется частотой колебаний:

(1.44)

которая измеряется в герцах (Гц) и указывает на число колебаний за одну секунду, т. e, на число периодов переменного тока, уклады- : вающихся за время, равное одной секунде.

'Переменный ток; напряжение, 'ЭДС обозн'ачаются малыми ла- 'Tинскими буквами, a в скобках проставляется независимая перемен-