Elektrotehnika_i_elektronika_2008
.pdf41 Глава 1. Электрические и магнитные цепи
ная` t -- :время: i(t), и(t), е(t); :иногда испотьзуется запись без напи.сания времени t. далее, говоря o переменном токе t, будем подразу-
мевать 1, и, e.
Переменный ток может из-менятьсяг только по величине (рис. 1.25, а) или только по направлению. (рис. 1:25, б); a также по величине и по направлению (рис. 1.25, в). Так. как в. общем случае пeременный ток периодически меняет свое направление; то при графическом изображении считают некоторое произвольное направление за положительное, a обратное ему =- за отрицательное. Соответственно этому ток, протекающий в положительном направлении, считается положительным, а ток обратного направления, — отрицательным.
i^ .
+
о. t
|
^ |
a |
в |
Рне. 1.25. Переменный ток: только по величине (а), только
по направлению (б), 'по величине и направлению (в)
Повсеместное применение получил периодический ток, .являю-
щийся синусоидальной функцией времени и называемый синусои-. |
|
бaльным током (рис. .1.25,- в). Его аналитическая запись имеет вид: |
|
i(t) = I ..sin (wt +'v ), |
( 1.45). |
где Im — амплитуда тока; .(i) = .2гн/ Т = 2тtf - угловая частота, "г -- . на-
чальная' фаза. |
. |
-. . |
. Амплитуда тока I,,, — это ега наиольшее значение по абсолют- |
||
ной, величине. |
|
|
Аргумент аг =сон + 'ц' , измеряемый в |
градусах или в радианах, |
|
определяет фазный угол синусоидальной .фун-кцйи- тока в любой |
||
момент времени и называется фазой;.: - _ . .
если t = о, то щ = ч" есть цачальная:фаза тока ;..т. e. значение фазы
синусоидального тока в начальный момент времени;
если щ = о, то ч, = --оино, т. е: в точке : во'; начальная фаза тока ч, (o;
этому соответствует на оси' времени to = ',/с У < о. — нарастание тока
начинается позже отсчета времени (рис., "1.2б,` 6):
Нарис: 1.2б, а напряжение :U(В): наинаот нарастать в точке 1о = = ч"/; о .> о, т. е. раньше начала отсчета :времени t.= 0 на величину
г
Электротехника и электроника. |
42 |
Рнс. .26. Начальные фаз ы синусоидальных напряжения (а) и тока (б)
'у /со;если по оси абсцисс откладывать фазу ион, то начало нараста
ния и(сон) будет соответствовать точке ск^но = уги/со > 0 = начальная
фаза напряжения сдвинута влево' относительно начала отсчета вре=
мени на величину '« > 0. Если синусоидальное напряжение и ток,
изменяются с одинаковой частотой (О, имеют неодинаковые началь-
. ные' фазы Ии и ц ' (рис. 1.2б), то говорят, что они сдвинуты по фазе
друг относительно друга на угол ф = ^ и — у1, т. e, напряжение и(t) опережает по фазе ток i(t); если ф < 0, то напряжение отстает по фазе
от тока; :если ф = 0, то напряжение и. ток совпадают по фазе (рис. 1.27, a), a если ф = -Ет, то напряжение и ток находятся в противофазе (рис. 1.27, б).. Так как sin a = cos (ос - it/2), 'то от формы записи
тока через синус (1.45). можно перейти к записи через косинус:
a |
б |
|
1 |
Рис. 1.27. Синусоидальные напряжение и ток совпадают по фазе (a)
и в противофазе (б)
43 |
Глава 1. Электрические и магнитные цеп' |
|
i(l) =Im cos ((он. + ф, — /2).' |
|
|
. |
(1 .46) |
|
Кроме рассмотренных' выше параметров (период, частота, амп- - литуда,, фаза, начальная фаза, сдвиг фазы) синусоидальный ток ха= рактеризуется еще его действующйм и средним значением.
'Среднее значение периодического переменного тока ^^р за перин |
||
од T обычно определяют из геометрических представлений: -площадь |
||
прямоугольника c основанием Т/2 и вьгс.отой I |
пло- |
|
щади, ограниченной кривой тока i (t),. т. e. |
|
|
т^рТ/г |
т 2 |
|
idt. |
(1.47) |
|
0
Ясно, что в случае синусоидального тока среднее значение за период равно нулю, так как. площади положительной и отрицатель- ной полуволн тока равны по величине и противоположны по знакy (рис. 1.28). На практике пользуются так называемым средневыпрям-
Рис. 1.28. K определению средневыпрямленного (среднего)
значения синусоидального тока
ленным током I' , как средним значением тока за время положительной -полуволны, т. e. за половину периода:
|
|
T |
Т |
|
|
Iср |
2, 2 |
? |
|
|
г 0 |
0 |
|
|
|
|
^ |
||
'откуда |
|
Iср = -- Im |
o,637Im . |
(1.48) |
Аналогично |
Иq, = —2 U ; |
Е^р 2' |
(1.49.) |
|
|
|
?С |
7L |
|
действующее значение периодического переменного тока (дей-
ствующий ток) I опредeляют из энергетических представлений: дей -
ствующий ток равен по велйчйне. такому' постоянному току I, кото-
Электротехника и электроника |
.44 |
рый в активном сопротивлении R за период T выдeляет такое количество энергии, как данный переменный. ток i, т. е.
T |
|
R1 2T = Ri2dt, |
(1.50) |
о
где Ri 2д1= есть энергия; выделяемая периодическим переменным током i в активном сопротивлении R за время дн. Здесь под интеграл ток r входит в квадрате: отрицательная половина синусоидального тока дает такой же вклад в количество выделяемой энергии, как
иположительная, поэтому интеграл берется за. период T.
Для синусоидального тока .(1.50) дает:
Т
.12Т = f i,, sin 2 tdt,
0
|
|
1т |
|
(1.51) |
откуда |
|
^--- = 0,7071,,,. |
||
|
|
^ |
|
|
Аналогично |
U = |
Ит |
Ет |
(1.52) |
|
Е i --- . |
|||
Обычно приборы .для измерения переменных токов и напряжений градируют в действующих значениях.
1.2.1.2. Представление синусойдального тока проекциями вращающегося вектора.
Векторная диаграмма
Анализ цепей синусоидального тока упрощается, если использовать понятие вращающегося вектора I,,, с постоянной угловой ско-
ростью о (рис. 1 .29) . В прямоугольной системе координат под углом 'Б относительно оси абсцисс отложим вектор Тто, величина которого в некотором масштабе равна амплитуде тока I,,, а полная
фаза с в начальный момент времени t =0 равна начальной фазе ф,. В последующие моменты времени tk, k = 1, 2, ..., б этот вектор будет последовательно располагаться относительно оси абсцисс под углами ак =- u,tk + ^r; и .обозначен соответственно через. I mk. Их проекции на вертикальную ось будут равны:
У(tk) = ' sin (о tk + ш1),
что .соответствует мгновенным значениям синусоидального тока в моменты времени t0 и t,^. Аналогично проекции вектора Iт на горизонтaльную ось в эти же моменты времени отвечают мгновенным косинусоидальным токам:
45 |
! |
. Глава 1. Электрические и магнитные цепи |
|
t
Рис. 1.29. Представление синусоидального tока: вращающимся вектором
i(tk) = Im сов (и^tk .+ 1IГ^).
Для. сложения двух синусоидальных токов одинаковой частоты |
|||
i1 (гк) = .1т1 sin ((Dtk + '4'i) и 12('k)• ..= |
1т2 sin (с гк +‚) достаточно. гео |
||
. метрически сложить изображающие их векторы I м1 . и Iт2 (рис. 1.30). |
|||
Проекция полученного при этом вектора I,, на ось ординат равна |
|||
сумме мгновенных значений токов,. т, e. |
|||
(t) = 4(г) + |
12 |
(t) = I |
|
l |
|
m .siri ,(о 3 + 'у,), |
|
так как сумма проекций векторов равна проекции суммарного вектора. .
Вычитание синусоидальных токов можно заменить сложением;. при этом изображающий вычитаемый ток надо направить в проти-
a |
б |
Рис. 1.30. Векторные диаграммы'токов (а); тока и напряжения (б)
Элехтрлтехника и электроника |
46 |
воположную сторону, ,что эквивалентно изменению начальной фазы этого тока на ±п. .
Совокупность векторов, изображающих синусоидальные токи,
напряжения и ЭДС одинаковoй частоты в начальный (или в любой
один и тот же) момент времени, называется векторной диаграммой.
. Для: анализа цепей синусоидального тока во многих' случаях достаточно знать лишь амплитуды синусоидальных величин и сдвиг по. фазе между ними. при этом один из векторов на векторной диа
. грамме можно расположить произвольно, a все .остaльные должны быть расположены с соответствующей ориентацией относительно
исходного вектора.
7.2.7.3. Представление синусоидального тока, комплексными величинами
Любое комплексное число обозначаемое А или А можно изоб-
разить на комплексной плоскости точкой c радиусом -- вектором А (рис: 1.31) й представить в. алгебраической, тригонометрической и показательной формах:
A = А = а + jb = А соs а + jA sine а = Ае'а,
где ' А = ,/а2 + Ь2 -- модуль комплексного числа; a -- вещественная часть комплексного числа; Ь'-- мнимая часть комплексного числа;
b
'а = arctg —. аргумент комплексного числа; A -- еще один способ a
изображения комплексного числа.
Если аргумент a является линейной функцией времени t, т. e. a = г)н + цт, то:
24 (t) = A cos (ot +'i') + jA sin (cot ± 'v) = Ае (о)в ± w) . |
(1. 53) |
+lт |
|
|
Z 1 |
b |
|
|
вг^ |
о |
a |
а +Re |
‚Рб' . |
Рис. 1.31. Комплексное число A (а) и оператор вращения (б)
47 |
Глава 1. Электрические и магнитные цепи |
и графическое представление комплексной функции (t) аналогично представлению синусоидального тока вращающимся вектором
(рис. 1 .29) , при этом мнимая: часть (1.53) :представляет собой синусоидальный ток, :а вещественная часть, -- .косинусоидальны й ток, т. е.
проекция вектора 1(t) на мнимую и вещественную оси сoответствен но в любой момент времени t равны::
'Г (1(t)) =.^ .1' е' +'v}j .= I |
sin ((.ot + |
r |
|
т т |
т |
|
|
Rе(1' (i)) = Re{I &' t +'v,j |
4т `со5 (0)t + |
|
|
Такую запись называют комплексной или символической фор- |
|||
мой записи гармонического тока, a саму комплексную функцию: |
|
'(t) = I е' °t +'v'', |
(1.54) |
y которой модуль и аргументы равны соответственно амплитуде и аргументу синусоидального тока, называют комплексным мгновенным синусоидальным током. Выделим в (_1.54) часть, зависящую от времени, .и постоянную часть: .
I |
(t) = ImeЧЯ' .е' = I е'o)r, |
(1.55) |
где . |
' т =- ^тё`f |
(1.56) |
есть комплексная амплитуда, модуль которой равен амплитуде Im sinтока, a аргумент ш, — ее начальной фазе; — оператор вращения,
модуль которого равен единице; а аргумент (01 линейно зависит от
времени; точка комплёксной плоскости, изображаюпцая оператор - вращения, непрерывно перемещается это окружности единичного радиуса c центром в начале координат (рис. 1.31, б) c постоянной угловой скоростью . о в положительном направлении, начиная c точки +1» на вещественной оси. ,
• Комплексную величину: |
. |
|
|
I Ie^" |
(1:57) |
где I = i, / , называют комплексным действующим синусоидaль-
. ным током или .просто — комплексным током, кота ый имеет та-
кой же аргумент . t{r как и комплексная амплитуда т, a модуль -
меньший, чем y комплексной амплитуды, в ‚/3. раз.
Если известны 1дт или I, то оказываются известными амплитуда 4,,
или действующее значение I и начальная фаза (р тока, тогда, предпо- '
лагaя известной w, можно. записать мгновенный ток i(t). Аналогично,
зная '(1), можно записать комплекснyю амплитуду tm и комплексный ток 1'. Поэтому говорят, что каждая .из велличин 1, I, и I(t) изобража-
. токе_ т. e. является изображением
.
Пример: по комплексному току I = (б + jЗ)А записать выраже-
ние для ; его мгновенного : значения.
Электротеxника и электроника |
|
48 |
|||||
Решение |
|
|
|
|
. |
|
|
I = J62 +82 = 1о А, Iт = -I^ 14 |
, 1 А, |
||||||
= arctg 8/б 53°7', следовательно, |
0 7') А. |
||||||
|
|
|
1(1) = 14,1 sin {(о t + 53 |
||||
Пример: определить ^т . и |
|
I, если 1(t) = 14,1 sin (сон + 3о.' |
|||||
Решение:4 |
I |
= |
14, 1 е'30 ^А; |
. |
I = ^т = |
А•' I = IеЁ30* 1 ое'30 А. |
|
|
т |
|
Г |
1 ^ |
^ |
||
Вывод: синусоидальный ток 1(t) = I,, |
sin (.ot + у' ), имеющий ампли- |
||||||
туду 1,,,, круговую частоту с, u начальную фазу 'у1, однозначно изображается одной из комплексных величин: комплексным мгновенным си-
нусоидальным током 1(t), комплексной ам плитудой тока 1 . или
комплексным током I; наоборот, любая из комплексных величин
1, I представима синусоидальным током 1(t), т. е:: i(t) " 1(t), 1т;1.
1( t),I I |
1(t) |
(. 1.58) |
' |
Напомним, что все изложенное в п. 1.2.1.1-1.2.1.3 применитель-
но к понятию «ток» справедливо 'и для понятии «напряжение», «ЭДС» гармонического, тока синусоидального или косинусоидального; поэтому выражения (1.45), (1.54)--(1.58) останутся справедли-
выми, если в них обозначения тока i, I заменить соответственно на
обозначения напряжения u, U.0 ЭДС — e, E:
и(t) = Um 8in(гон + у ,, ) ; е(t) = Е sin((. t + 'у) ;
U( t ) _ Ilme{wt+yru.) ; Ёm ( t ) = Ее'";
U = Urn е |
; Ёm = Е е e ; |
|
т |
U=Ueu s Е-=Еее;
и(t) => U(t), (У,,,, (У; е(t = Ё(t), Ё, Е;
. .,
U(t), Um , U = u(t); Е(t), Em , Ё => e(t).
1.2.2. Законы электрических цепей
синусоидального тока. комплексных амплитудMeтoд
(1.45')
(1.54')
(1.55')
(1.56')
(1.58').
B предыдущем п. 1:2:1.3 было показано, что комплексные aмп-
лйтyды тока .(1.56) |
- |
49 |
Глава 1. Электрические и магнитные цепи |
нaпpяжeния и ЭДC (1.56') |
& т— Ime^'`' : |
|
Um = Um е " , Ё = т
a также соответствующие им комплексныё ток (1.57) , . напряжение |
||
и эдс (1 |
.57') |
. |
|
I = Iет |
-U = Ue^`''и , E = Еее |
являются . величинами постоянными; не зависящими _ от времени.
Поэтому применительно к ним, как и в случае постоянного тока,' справедливы законы ома и Кирхгофа.
1.2.2.1. Закон Ома для участка цепи
без источников Э,г'дG
Если ко входу линейной пассивной электрической цепи, рас
сматриваемой как двухполюсник (рис. 1 .32), приложить sin -напря-
женйе и(t) = U,, sin ((.}t + уби), то через .нее потечет sin-тек 1(t) . =
= Im sin (ot + 'уд, a отношение комплексного напряжения U к ком-
1
Линейная
ипассивная
-Эц ,.
Рис. 1.32. Электрический двyxполюсник
плексному сопротивлению .Z двухполюсника будет равно комплек-
сному току I, т. f е.: |
|
|
. |
|
|
, |
. |
|
. |
|
|
i= !.=UY;. |
У=Iz=--, |
1.5 |
|
||
|
^% |
|
( 9) |
||
|
L.r |
. . |
д, • |
|
|
где Y - = 1/Z — комплексная .проводимость двукполюсника. Учитывая |
|||||
связи (1.51) и (1.52) |
мёжду действуюгцнмй` и =амплитудными токами |
||||
и напряжениями (I> Im, U > Um), на;основани^и (1.59) |
получаем: |
. |
|||
|
. |
|
. |
|
|
i=Ч!!L (У,,,y; О, иi Z =. |
(1.60) |
Электротехника и электроника |
'50 |
Следовательно, для участка цепи синусоидального тока без источников ЭДС закон Ома можно сформулировать 'так:
комплексная амплитуда тока в цепи синусоидального тока равна отношению комплекснойV амплитуды напряжения к комплексному элек-
трическому сопротивлению цепи.
Комплекснoе электрическое сопротивление на оснований (1.5б), .
(1.5б') и (1.б0) имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Z = ген = z cos с + jz si^ic = R + jx , . |
(1.61 ) |
||||||
где . г - ^т = ^ = R2 + х2 |
|
...-. полное сопротивление, |
. (1.62). |
||||||
Ф |
= ц^и |
-- r= arctg. х — сдвиг аз между наппяяжением и током,, (1.63. |
|||||||
|
R |
. |
Ф |
. |
у |
.р. |
. |
) |
|
|
R = ,z cos ф -- активное (ве щес,пвенное) сопротивление, |
(1.64) |
|||||||
|
х = .z sin ф -- реактивное (мнимое) сопротивление. |
^ ( 1.65.) |
|||||||
|
Комплексную величину У, обратную комплексно му сопротивле- |
||||||||
нию 'Z, называют комплексной проводимостью: |
|
|
|||||||
|
У = |
= = тт = уе-'`° = у cos ср -- j sin ср = g -- jЬ ., |
(.1.б6) |
||||||
|
|
Z U Um |
|
|
|
|
|
|
|
где y = |
т = jg2 + b2 |
|
-- полная проводимость, |
(1;.б7) |
|||||
Ф = ru -- уf^ = arctg -- — сдвиг фаз между напряжением и током, |
(1.68) |
|
g |
. |
(1.69) |
g = z cos ф — активная (вещественная) проводимость; |
|
|
Ь, = ,z sin ф — реактивная '(мнимая) проводимость. |
|
(1.70) |
Комплексную проводимость Уможно представить через парамет-
ры сопротивления: |
|
|
1 |
1 |
R — jx . |
Z R+jx (R+jx)(R—jx)
R x
R2 +к2 ^R2+x2 g JЬ,
где. у =Rг , Ь = -х- .
г г2