Elektrotehnika_i_elektronika_2008
.pdf11 |
Глава 1. Электрические и магнитные цепи |
||
Определение 4.. |
Электрический ток проводимости -- это упорядо- |
||
|
., |
|
|
ченное движение носителеи'электрического заряда в веществе или ва- |
|||
кууме. . |
. |
:. |
|
Величина тока .опредёляется : пройзводноЙ по времени t от элек- |
|||
трического заряда: q, переносимого через .пЬперечное сечение про - |
|||
водника: |
. |
|
|
|
. |
dq, |
{ 1.1. . |
|
т(t) |
dt |
) |
|
|
время t - 'в |
|
B системе СИ заряд q измеряется в кулонах (Кл), |
|||
секундах (с), ток i — в амперax (А). В общем случае ток проводимости является результатом перемещения положительных и отрицательных зарядов в противоположных направлениях, 'поэтому q = q + + q_. За направление тока i(t) принято направление движения положительного заряда (рис. 1.1, а); оно обозначается стрелкой на соединительном проводнике (на схеме. электрический, заряд не обозначается).
' J |
i(t) . R |
|
|
2 |
91 |
----^ |
|
ц12 |
92 |
|
и21^--' . |
|
|
|
a |
б |
|
|
|
ис. 1.1. Обозначения тока, цотвнциаловР |
и напряжения |
|||
в электрической цепи |
|
|
|
|
Определение 5. Электрическое напряжение U(t) — это разность элек-
трических потенциалов ( i й (р между зажимами 1 и 2 участка цепи. R (рис. 11, б), по которому проходит ток i(t), т. e. U(t) = —
Разность электрических потенциaлов Ф1 — 92 определяется энер гией W, затрачиваемой на перемещение единицы заряда q из точки 1 в точку 2, т. e.
(1.2)
B системе СИ энергия измеряется в джоулях (Дж), a напряжение
в вольтах (В). Напряжение между зажимами 1 и, 2 можно записать
двояко:
U1 |
2 = ср |
1 |
-- : ср |
2 |
21 |
= сР |
2 |
— ср |
1 |
. |
|
|
или U |
|
|
|
|||||
•Очевидно, что U12 = -- U21. |
|
|
' .. |
|
|
. |
||||
Если значения всех напряжений и токов в цепи равны нулю, то
цепь находится в состоянии покоя. Если же в цепи все напряжения
и токи не изменяются во времени и имеют отличные от нуля зна-
чения, то такое состояние называют режимом постоянного тока.
Электротехника 'и электроника |
12 |
Изменения во времени токов и напряжений в электрических цепях
принято называть. колебаниями этих физических величин. Электрический ток (напряжение), мгновенное значение которого повто- ряётся через равные промежутки времени; называют периодическим током (напряжением). .
1.1.1.1. Элементы электрической цепи
Любой элемент электрической цепи характеризуется завиcимостью . напряжения на его зажимах и протекающим через него током
U(t) = f [ i(t)], |
- |
. |
которая называется вопьтамперной характеристикой (ВАХ). Линейный характер этой зависимости (рис. 1.2, а) соответствует линейному элёменту, a нелинейная ВАХ (рис. 1.2, б). — нелинейному. Кроме того, .все элементы электрической цепи делятся на пассивные и ак тивные.
и |
и: |
Y
а |
б |
Рис. 1.2. Вольтамперные характеристики линейного (а) и нелинейного
(б) элементов электрической цепи
Пассивные электрические элементы
Это элементы, в которых рассеивается или накапливается . энер-
гия. K ним относится резистивный, индуктивный и емкостный эле - менты, т. e. резистор :с сопротивлением R, индуктивность L и емкость С.
Сопротивление (R, r) -- элемент цепи, в котором происходит необратимое преобразование электрической энергии в тепловую, a напряжение на его зажимах и ток через него (рис. 1.3, a) связаны про порционaльной зависимостью: .
1з . |
Глава 1. Электрические и магнитные цепи |
|
|
uR |
И |
|
|
|
еL |
|
|
|
|
|
|
|
a |
о |
|
б. |
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.3. Постоянные пассивны е элементы: резистор (a), катушка |
||||
индуктивности (б} и конденсатор (в) |
|
|||
|
|
U = R • i, R = U/i. |
(1.3:) |
|
Величина, обратная сопротивлению называется проводимостью:
. g= 1/R,g-i/U. (1.4)
Сопротивление R (или r) измеряется в омах (Ом), a проводимость g -- в сименсах (См). часто R и g называют активными сопротивлением и проводимостью, что указывает на их связь c активной мощ-
ностью.
Индуктивность L - элемент цепи, в 'магнитном поле которого
происходит обратимое накопление энергии, a напряжение на его
•'зажимах и ток через него (рис. 1.3, 'б). связаны через производную: .
UL |
L-дн |
. |
(1.5) |
|
|
При протекании тока i. через индуктивную катушку с числом витков 'т в ней возникают магнитный поток Ф и потокосцепление
|
ш=тФ, |
при этом |
'=L•т, L= ,: . |
|
т |
В системе СИ потокосцепление 'г измеряется .в веберах (Вб);
индуктивность L — в 'генри (Гн). Так как потокосцепление и ток
имеют одинаковый знак, то всегда L > 0.
На основании закона электромагнитной индукции Фарадея изменение потокосцепления ;самоиндукции вызывает ЭДС самоин-
дукции, которая равна |
|
еL — dt |
(1.8) |
•и по правилу Ленца противодействует измёйению потокосцепления,
что yчитывается знаком <<минус»; поскольку положительное направление для еL выбрано совпадающим c положительным направленыем i. Если L не зависит от i, то
Электротехника и электроника
. |
еL = -L. , a UL -еL = L. |
(1.9 } |
|
dt, |
dt |
|
|
назьхвается напряжением на итiдуктивности: положительное направление U совпадает c положительным направлением i.
Емкость с элемент цепи, в электрическом поле которого происходит обратимое накопление энергии, а напряжение на его .зажимах и ток через него,связаны через интегрирование:
Uс = |
1 |
гдн |
(1.10) |
С о |
При прохождении тока через емкостный элемент (конденсатор) на его обклaдках накапливaется заряд q, величина которого пропорциональна напряжению на зажимах этого элемента, т. е.
q :с•U^, |
(1.11). |
где С"- емкость, измеряемая в фарадах (Ф).
Идеализированные элементы цепи R, L, C отражают главные свойства и параметры соответствeннo резистора, индуктивной ка-
тушки и конденсатора. "
Перечисленные элементы R, L, C (рис. 1.3 ) являются линейными c постоянными параметрами --. их параметры не .изменяются во вре-
мени. Элементы цепи, параметры которых изменяются с течением
времени t по определенному закону, называются элементами с переменными параметрами: R(t), L(t), С(t); их' графические; й буквен-
ные обозначения показаны на рис' 1.4, a. Изменение параметров элементов во времени можёт быть обусловлено задаваемой програм-
мой работы , электрической цепИ, старением элементов, влиянием окружающей среды. Если параметры элементов зависят от, величи-
ны или направления, действующего напряжения и тока, то они явля-
ются нелинейными элементами; их обозначения показаны на рис. 1.4, 6.
Примерами нелинейных элементов могут быть полупроводниковые и электронные приборы, индуiтивные катушки с ферромагнитньУ-
ми сердечниками.
^
|
|
i |
|
|
|
R(t) |
L(t) |
C(t) |
R(i) |
L(i) |
C(i) |
|
|
|
б |
|
|
Pиc..1.4. Пассивные элементы: c переменными параметрами (a)
и нелинейные (6)
15 |
, Глава 1. Электрические и магнитные цепи |
которые могут бЬ ть либо источниками электродвижущей силы (ЭДС) или напряжения, либо источниками тока. Под ЭДС_ понимается величина энергии в электрической кепи, необходимая для поддержания
в ней тока, численно равная разности потенциалов (напряжению)
на kонцах разомкнутой цепи: .
Идеальным источником '9ДС называется источник электрической
энергии, напряжение на зажимах которого .не зависит ' от протека-
ющего через него .тока; при этом принимается, что его внутреннее
сопротивление r = ,о (рис. 1.5, а)., Поэтому. при. замыкани и идеального источника ЭДС через него протекает бесконечно большой
ток —. иногда такой источник ЭДC называют вырожденным. В реaльных источниках ЭДС ток короткого замыкания имеет конечное
значение .L/r, так как такие источники х^.рактеризуются наличием
определенного внутреннего сопротивления r > о (рис. 1.5, б).
|
Е |
^U |
.O |
E |
^т |
o |
|
|
a |
Рис. 1.5. Источники ЭДС: идеальный (а) и реальный (б)
Идеальный источник. тока — это источник электрической энергии,
ток которого не зависит от напряжения . на его зажимах; при этом |
|
принимается, что его внутреннее сопротивление r = |
(рис. 1.Б, а). |
Поэтому напряжение на разомкнутых зажимах идеального , источни^- ка тока достигает бесконечно большого - иногда такой источник
тока называют вырожденным. B реальном_ источнике'тока напряжение холостого хода на его зажимах имеет конечное значение i/g, так
как такой источник характеризуется конечным внутренним сопро-
тивлёнием r = 1/g (рис. 1.6, б). .В соответствии с характером элемен-
тов, из которых состоит, цепь, й уравнений, которыми они описы-
Электротехника и электроника |
16 |
U
0
J .
a |
б |
Рис. 1.б. Источники тока: идёальный (а) и реальный (б) .
ваются, различают цепи пассивные и активные, линейные и ;нелинейные, цепи c постоянными .и переменными параметрами.
1.1.1.2. Топологические характеристики
электрических "аепеи
При расчете электрической .цепи важное значение отводится ее геометрическому образу, свойства которого основаны на топологии -- разделе математики, позволяющим исследовать геометрические свойства фигур независимо от их размеров' и прямолинейности. к числу основных геометрических понятии из топологии в теории электрических цепей используются: ветвь, узел, контур, граф.
Ветвь — участок электрической цепи, представляющий собой один элемент или последовательное соединение нескольких элементов, через которые 'протекает один и тот же ток.
Узел электрической цепи — место соединения не менее трех ветвей; на схеме узел обозначается точкой.
Контур электрической цепи -- это любой замкнутый. путь,' про ходящий по нескольким ветвям.
На рис. 1.7, .а изображена' электрическая цепь c 4 узлами, б ветвями и несколькими контурами.
Топологические свойства линейной электрической цепи изучаются с помощью графа: Граф цепи -- это такое изображение ее схемы; на котором все узлы заменены точками, a ветви — линиями (рис.
1.7, б). Узел графа — точка соединения трех и более ветвей. Ветвь графа — это' ветвь схемы цепи, вырожденная в линию; она образуется лишь из ветвей цепи, 'содержащих такие элементы, как R, L и
17 . |
Глава 1. Электрические и магнитные цепи . |
а, |
б |
Рис. 1.7. Электрическая цепь (а) и ее'топологический, образ (б)
I
C; но ветвь цепи, содержащая бишь идеальные источники знергйи,
не образует ветви на графе. Особенности учета источников энергии
при построении графа таковы: перед построением графа цепи каж--
дый идеальный источник тока заменяется разрывом его ветви, так
как внутреннее сопротивление r= оо, а:идеальный источник ЭДС --
коротким замыканием его зажимов, так как его внутреннее сопротивление r = 0 (рис. 1.8). .
а |
б |
|
|
Рис. 1.8. Электрическая цепь c идеальнми источниками энергии (а) |
|
|
и ее гРаф,() : . |
Важным понятием в топологии цепей являютcя дерево и хорда |
|
(связь) графа. Дерево графа — любая .coвoкyпнocть ветвей графа, |
|
соединяющих все его узлы без'образования контуров; paзнoвиднo- |
|
cтц деревьев графа (рис 1:7, б) пoкasaны на'рис. 19 сплошными |
|
линиями; число ветвей в У: дерева графа на единицу мeньшe числа |
|
соединяемых ими узлов y т e. |
`.TAT |
y _i = в, |
^U KUTUBXONA |
, 3^0^^_-SONLI (1:12) |
|
Электротехника и электроника |
|
|
|
|
|
18 |
||||
♦. |
2 |
♦ |
' |
/ |
♦ 'w ^ |
♦ |
♦ |
♦ 'w ^ |
♦ |
|
" |
|
В |
2 |
' |
i |
2 |
' |
3 . |
||
14 |
t |
|
|
3 1 |
♦ . |
i 3.1. 4 |
I |
, |
||
а |
|
|
|
|
I |
я |
' |
, |
|
|
^^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
^, ♦ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
14 |
|
|
♦i^^^ ♦ |
♦ |
|
|
|
♦.'^` ♦ ♦ |
|
||||
i |
2' |
31 |
|
|
♦ |
, |
♦ |
|
||
1 |
.-- |
|
|
|
• 1 |
|
|
|
||
4 |
4 |
'4 |
Рис. 1.9. Разновидности деревьев (сплошные линии) й хорд
(пунктирные линий) для графа на рис. (1.7, б)
a так как при анализе цепи максимальное число искомых токов равно числу ветвей, то (1.12) позволяет по числу ветвей определить число независимых уравнений для "узлов (первый закон Кирхгофа).
Хорда графа ветвь графа, .не принадлежащая его дереву; на рис. 1.9 хорды графа изображены пунктиром. При дополнении дерева
графа хордой получается контур, но' любой из этих контуров не может быть образован только из элементов других контуров и на-
зывается независимым контуром. Число независимых контуров равно числу хорд на графе. цепь на рис. 1.7 имеет три независимых контура, хотя общее число контуров в этой. цепи равно семи.
1.1.2. Законы элëктpичecкиx цепей
пocтoяннoro тока
1.1.2.1. Закон Ома
Закон Ома для участка цепи без источника ЭДС утверждает, что ток
I в участке цепи 1-2 (рис. 1.10, a). равен отношению напряжения U на этом участке к активному. сопротивлению R этого участка:
19 |
Глава 1. Электрические и магнитные цепи |
|
Рис. 1.10. Участок цепи без источников ЭДС (a) и. замкнутая цепь
с источниками ЭДС (б)
U
I.=. или I = . g U, (1.13)
R
где g = 1/R .есть проводимoсть этого участка. Поскольку R и g все
гда положительны, то направление U всегда совпадает c направле- 1
нием I. Поэтому часто направление ;напряжения на схеме цепи.
стрелкой не обозначают, если обозначено стрелкой направление тока через участок цепи. .
B цепях постоянного тока сопротивление индуктивности L = 0, a емкости C -- бесконечности; поэтому эти элементы заменяют соответственно линией без сопротивления или исключают из семь
ветвь, содержащую емкость. ,
Закон Ома для замкнутой цепи; состоящей из последовательного
соединения п сопротивлений Rf, s =.1, 2, |
п и m источников ЭДС |
||
Ек, rk, k = 1, 2, ..., m, выражается формулой |
|
||
|
т |
Ек |
|
I |
|
|
|
k=1 |
, |
(1.14) |
|
п |
|
||
|
• ^Rs + L,rк |
|
|
|
=1 • . |
k=1 |
|
где ток в неразветвленной замкнутой 'цепи равен отношению алгеб-
раической суммы ЭДС к сумме всех сопротивлений цепи. При алгебраическом суммировании ЭДС со знаком «плюс» берутся те из них, которые совпадают c направлением тока, a co знаком <<минус>> — те ЭДС, направление которьхх противоположно направлению тока; в сумму сопротивлений входят как внешние сопротивления R3 замкнyтой цепи, приведенной на рис. 1.10, б, так и внутренние г ; при этом выражение 1.1 4 следует записать в виде
.I= R^ +.R2 + г:+.т2 -
Электротехника и электроника 20
1
1.1.2.2. Пёрвый закон Кирхгофа
Первый закон Кирхгофа утверждает: алгебраическая .сумма токов
в узле электрической цепи равна нулю, т. e.
п тк о . |
(1.15) |
Для узла, изображенного на рис. 1.11, а, следует записать
11 |
2 - 13 |
4 =0. |
Первый закон .Кирхгофа — это следствие закона сохранения количества электричества: заряд; приходящий к узлу за некоторый
интервал времени, равен заряду, уходящему за этот же интервал времени от узла, т. e. электрический заряд в узле не накапливается и не исчезает. Этот 'закон справедлив для любой части, выделенной из электрическойu цепи:
7.1.2.3. Bmopoй закон Кирхгофа
Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма ЭДС, действующих в любом контуре разветвленной .электрической цепи, равна :алгебраической сумме падений напряжения на всех активных сопротивлениях этого контура (рис. 1.11, б), т. е.,
п |
т |
(1.16) |
^EL - : Rklk. • . |
||
L =l |
k =1 . |
|
. Iz
a
б
Рис. 1.11. Узел электрической цепи (а) и контур с источниками ЭДС (б)