9698

Рис. 20.2

Пример. Годограф вектор-функции

это циклоида, т.е. траектория фиксированной точки окружности единичного радиуса, катящейся по оси Ox без скольжения. Пусть t – время и окружность делает полный оборот за 2π секунд. Тогда векторфункция

задаёт не только траекторию движения точки, но и закон движения.

На рис. 20.3 в точках траектории через каждые 2π/10 сек. построены векторы скорости точки

R′ = - × + × . r (t ) (1 cos t ) i sin t j

Самая большая скорость точки будет в момент времени t = π. Построен также годограф скорости точки. В одной из точек построен вектор ускорения. Это вектор касательный к годографу скорости в соответствующей точке.

140

z = z(t),

иимеет в рассматриваемой точке M 0 (x0 , y0 , z0 ) = M 0 (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 ))

касательную. Это значит, что у вектор-функции

R = + +

r (t) x(t)i y(t) j z(t)k

существует производная в этой точке

141

N (u, v, w)

R′

r (t0 )

M 0

K ( X ,Y , Z )

M (x, y, z)

Рис. 20.4

У нас есть все данные, чтобы написать уравнения касательной, например в

канонической форме

X − x0 = Y − x0 = Z − x0 . x¢(t0 ) y¢(t0 ) z¢(t0 )

Соответственно, уравнение нормальной плоскости будет иметь вид

x′(t0 )(u − x0 ) + y′(t0 )(v − x0 ) + z′(t0 )(w − x0 ) = 0

Пример. Написать уравнения касательной к кривой

Записываем уравнения касательной в канонической форме

142

Уравнение нормальной плоскости

−1(x − 0) + 0( y −1) + 0.5(z − π/ 4) = 0

или 8 x − 4 z + π = 0 (см. рис. 20.5)

Рис. 20.5

Лекция 21. Дифференциал

21.1. Дифференциал. Прежде, чем ввести понятие дифференциала, рассмотрим следующую задачу: пусть скорость велосипедиста в данный момент

Какое расстояние он проедет за следующие 30 секунд? Ответ, очевидно, не однозначный:

1) если он продолжает двигаться с той же скоростью, то пройденный путь

143

DS = v0 × Dt =100 м;

2)если он «ускорился» (или движется под гору), то расстояние

S> 100 м;

3)если устал (или движется в гору), то пройденное им расстояние

S< 100 м.

Самый реальный прогноз (лучше иметь какую-то информацию, чем неопределённость)

S = v0 t = S′(t0 ) t ,

причём этот прогноз тем точнее, чем меньше промежуток времени t .

сознательно начнёт менять скорость своего движения.

Теперь рассмотрим математическую задачу. Пусть задана некоторая

заданном x . Допустим, что процедура «прямого» вычисления значения

144

Первое из них называют дифференциалом функции в данной точке и

обозначают символом

dy = f ′(x0 ) x .

Ввиду важности этого понятия, только что определённого кратко с помощью формулы (21.1), приведём его словесную формулировку, акцентирующую внимание на наиболее характерных свойствах дифференциала.

Дифференциалом функции в данной точке называется главная часть приращения функции в этой точке, линейная относительно

представляет собой бесконечно малую величину более высокого порядка, чем x . Напомним, что есть специальный символ

145

с этим дифференциал называют главной частью приращения функции. Убедимся на следующем примере, что дифференциал действительно

составляет «львиную» долю приращения функции. Площадь квадрата со стороной x равна S (x) = x2 . Вычислим приращение этой функции

D S = (x + D x)2 - x2 = 2x × D x + (D x)2 .

α( x)

x

S = x2

дифференциал, равно площади двух прямоугольников, а второе равно площади квадрата со стороной x .

Заменяя приращение функции дифференциалом, мы получаем универсальную формулу для вычисления значения функции в точке

Отметим еще раз геометрическое содержание приближённого равенства (21.2), переписав его в других обозначениях

y − y0 ≈ f ′(x0 )(x − x0 ) .

146

Отбрасывая в приращении функции бесконечно малую величину более высокого порядка, чем x , мы заменяем кривую в окрестности точки x0 её касательной в этой точке, т.е. линеаризуем данную функцию, заменяя её линейной функцией.

Заметим, что дифференциал независимой переменной равен её

Таким образом, дифференциал функции вычисляется по формуле

d f (x) = f ′(x)d x .

Отсюда получаем выражение производной через дифференциалы

независимая переменная. Тогда по определению dy = f ′(u)du .

В случае же, когда u = ϕ(x) , используя формулу производной сложной функции, получим

dy = f ′(u)ϕ′(x)dx = f ′(u)du .

Таким образом, выражение для дифференциала не зависит от того, является ли аргумент независимой или зависимой переменной.

Дифференциалы высших порядков определяются по индукции: дифференциал n -го порядка равен дифференциалу от дифференциала (n −1) -го порядка

d n x = d (d n−1x) .

Дляn = 2 имеем

( dx – единый символ, поэтому в равенстве (dx)2 = dx2 скобки опускают). Отсюда получим

147

2

f ′′(x) = d y . dx2

21.2. Правило Лопиталя. Франсуа маркиз де Лопиталь (1661-1704) математик-любитель, ученик Иоганна Бернулли, автор первого печатного учебника курса дифференциального исчисления.

Под «правилом Лопиталя» понимают один из способов вычисления некоторых пределов. Пусть речь идёт о вычислении предела отношения

lim f (x) ,

x→ x0 g (x)

причём известно, что

выделив их главные части:

D f = f (x) - f (x0 ) = f ′(x0 )D x + a(D x) ,

D g = g(x) - g(x0 ) = g′(x0 )D x + b(D x) ,

где Dx = x - x0 , а α и β бесконечно малые более высокого порядка, чем x , т.е.

Последнее равенство следует из непрерывности производных (предел непрерывной функции в точке равен её значению в этой точке). Отсюда

0

получаем правило Лопиталя для неопределённости вида 0

148

непрерывны, то правило Лопиталя можно применить к нахождению предела отношения производных. Например,

неопределенностей

[¥ - ¥] , [0 × ¥] , [1∞ ], [00 ], [∞0 ]

могут быть приведены к указанным выше.

Например,

выражения

149