9698

Оказывается, можно, если функция «достаточно хороша».

Дадим теперь определение дифференцируемой функции двух переменных. Функция z = f ( x, y) дифференцируема в точке (x0 , y0 ) , если её приращение в этой точке может быть представлено в виде (38.1). Ясно, что из дифференцируемости следует непрерывность. Действительно,

перейдя в равенстве (38.1) к пределу, получим lim z = 0 , что и означает

ρ →0

свойство непрерывности.

260

Покажем, что существование частных производных в данной точке не влечёт за собой дифференцируемости функции в этой точке. Если в точке

уравнение плоскости можно написать, но назвать её касательной плоскостью в указанном выше смысле нельзя. Например, непрерывная функция

z = | x | ×| y |

имеет в начале координат частные производные равные нулю.

эта величина не является бесконечно малой более высокого порядка, чем

ρ = x2 + y2 . Действительно, если x = y , то отношение

считать касательной плоскостью к этой поверхности в точке (0, 0) (см.

рис. 38.2).

2

1.5

1

0.5

0

1

0.5

Рис. 38.2

261

38.2. Производные и дифференциалы высших порядков. Для функции двух переменных производные и дифференциалы высших порядков определяются аналогично соответствующим понятиям для функции одной переменной. А именно, вторая частная производная, например, по x определяется как частная производная по x от частной производной по x , т.е.

Читается это так: «дэ два зет по дэ икс квадрат». Последовательность, в которой вычисляются смешанные производные, если они существуют и непрерывны, не имеет значения. Например,

Дифференциал второго порядка определяется как дифференциал от дифференциала, т.е.

Отсюда следует, что

при условии, что смешанные производные непрерывны. Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков.

38.3. Экстремумы функции многих переменных. Рассмотрим сначала функцию двух независимых переменных z = f ( x, y) , определённую в области D , и изобразим её наглядно поверхностью в декартовой системе координат xyz . Мы будем говорить, что функция имеет максимум в некоторой внутренней точке (x0 , y0 ) D, если значения функции во всех точках некоторой ε -окрестности точки (x0 , y0 ) меньше, чем значение функции в этой точке, т.е.

f (x, y) < f (x0 , y0 ) .

263

Геометрически такому максимуму соответствует вершина на поверхности (см. рис. 38.4)

zmax=f(x0,y0)

z=f(x,y)

(x0,y0)

Рис. 38.4

Аналогично минимум определяется неравенством f (x, y) > f (x0 , y0 )

минимума определяется аналогично, только уже нельзя дать геометрической иллюстрации. Функция u = f ( x, y,K) имеет в точке (x0 , y0 ,K) максимум (минимум), если она в некоторой окрестности этой точки принимает всюду значения, меньшие (большие), чем в самой точке

(x0 , y0 ,K)

Как и в случае функции одной переменной, наряду со словами максимум и минимум будем пользоваться термином экстремум, объединяющим эти два понятия. Сформулируем теперь необходимые условия существования экстремума, т.е. такие условия, которые непременно должны быть выполнены в точке M 0 (x0 , y0 ,K), если функция имеет в этой точке экстремум.

Для того, чтобы дифференцируемая функция u = f ( x, y, z,K)

имела экстремум в точке M 0 (x0 , y0 ,K), необходимо, чтобы все ее

частные производные обращались в этой точке в ноль, т.е. чтобы выполнялись следующие равенства:

264

Рис. 38.5

Вместе с тем, частные производные в начале координат не существуют у первой функции и обращаются в бесконечность у второй функции. Таким образом, экстремумы могут находиться и в таких точках.

Пример. Дана система n материальных точек с массами mk . Из физических соображений ясно, что момент инерции этой системы имеет минимум относительно некоторой точки. Требуется найти эту точку. Задача сводится к нахождению минимума функции трёх переменных

Необходимое условие экстремума даёт возможность найти координаты этой точки. Для этого нужно решить систему уравнений

I ′ = 2∑m (x − x ) = 0

x k k

I ′y = 2∑mk ( y − yk ) = 0

Iz′ = 2∑mk (z − zk ) = 0

Убеждаемся, что искомая точка является центром масс (центром тяжести) данной совокупности материальных точек

Ясно, что суммирование в этих формулах производится по всем точкам. Во многих случаях специальный характер решаемой задачи позволяет

судить о том, будет ли в стационарной точке экстремум и какой конкретно. Например, в предыдущей задаче из физических соображений было ясно, что есть точка пространства, где момент инерции системы материальных точек принимает наименьшее значение. Желательно было бы иметь, как и в случае функции одной переменной достаточные условия экстремума, позволяющие различать среди стационарных точек те, где есть экстремум, и определять, каков он: максимум или минимум.

266

Вычислим вторые производные в этой точке и введём, для краткости, следующие обозначения:

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию z = 5 − 2x + 6 y − 2xy − x2 .

Находим стационарные точки, решая систему

AC − B2 = −4 < 0 , поэтому экстремума нет.

Лекция 39. Условный экстремум

39.1. Понятие условного экстремума. Весьма часто возникает задача не просто найти экстремум функции n переменныхu = f ( x, y,...) , а найти её экстремум при дополнительных условиях, связывающих переменные посредством m уравнений связей( m < n )

gk (x, y,...) = 0, k = 1,..., m .

Такие экстремумы называют условными. Например, пусть требуется найти минимум функции

f (x, y) = x2 + y2

при дополнительном условии x + y = 1 . Следующий рисунок делает решение задачи очевидным.

267

z

x + y = 1

z ( x) = 2x2 − 2x + 1

y

1

1

(0,5;0,5)

zmin = 0, 5

x

Рис. 39.1

С учётом уравнения связи мы на самом деле имеем функцию одной переменной

f(x, 1 − x) = 2x2 − 2x + 1

иеё экстремум легко находится. Следовательно, функция

f (x, y) = x2 + y2

является принципиально новой. Разрешая уравнения связи относительно m неизвестных и подставляя их в исходную функцию, мы получаем задачу отыскания безусловного экстремума функции меньшего ( n − m ) числа переменных. Если задача разрешения уравнений связи не вызывает трудностей, то так и следует поступать. Но весьма часто это либо трудоёмкая задача, либо принципиально неразрешимая (вспомним, что не всегда можно перейти от неявного задания функции к её явному заданию).

39.2. Метод множителей Лагранжа. Представляется важным найти некоторую универсальную формулировку необходимых условий условного экстремума. Такая формулировка была предложена французским учёным Лагранжем (1736–1813 гг.).

Пусть требуется найти экстремумы функции

u = f (x1, x2 , ... , xn ) ,

причём её n аргументов подчинены m уравнениям связей ( m < n ) :

268

gk (x1, x2 , ... , xn ) = 0, k = 1, ... , m .

Заметим, что последние m уравнений в (39.1) совпадают с уравнениями связей. Оказывается, что необходимые условия экстремума функции Лагранжа являются одновременно необходимыми условиями условного экстремума исходной функции.

Чтобы в какой-то мере «оправдать» метод множителей Лагранжа ограничимся нахождением экстремума функции двух переменных с одним

существует касательная. Мы должны найти экстремум функции z = f ( x, y)

касается одной из линий уровня f (x, y) = C* , следует ожидать максимума, т.к. при переходе через эту точку возрастание C сменяется убыванием.

grad f

gradg

( x0 , y0 )

g(x, y) = 0

f (x, y) = C

Рис. 39.2

269