9698

Раздел 6. Математический анализ. Интегральное исчисление

Лекция 29. Неопределенный интеграл

Наряду с задачей дифференцирования функции, в которой для заданной функции f ( x) требуется найти ее производную f ′(x) , часто приходится решать обратную задачу, называемую интегрированием

рассмотрим решение этой обратной задачи. Происхождение термина интегрирование связано с именем Я. Бернулли (1654-1705). Вероятно, он

элементарных функций эта задача разрешима, поскольку известны их

число.

Из этого примера следует, что одна и та же функция имеет множество первообразных. Возникает вопрос – как найти всё это множество? Покажем,

Для обозначения рассматриваемой операции – нахождения функции F ( x) из равенства

dF ( x) = f ( x)dx ,

был введён символ ∫ , применение которого к указанному равенству восстанавливает множество всех первообразных данной функции f ( x)

(подобно тому, как знак обозначает операцию нахождения квадратного корня). Для краткости совокупность всех первообразных функции f ( x) называется её неопределенным интегралом и обозначается так

∫ f (x) dx = F(x) + C ,

где C – некоторая постоянная. Операция нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием. При этом

первообразная, а, следовательно, и неопределенный интеграл? Сформулируем без доказательства достаточное условие интегрируемости: если функция f ( x) непрерывна на интервале (a, b) ,

то на этом множестве у функции f ( x) существует первообразная, а,

значит, и неопределённый интеграл. Ниже будем говорить об интегралах непрерывных функций, которые заведомо существуют.

Из определения неопределенного интеграла непосредственно следуют формулы, подчёркивающие, что операции интегрирования и дифференцирования взаимно обратные (с точностью до постоянной)

Это аналогично тому, как операции возведения в целую степень и извлечение корня, проведённые последовательно друг за другом, оставляют без изменения число, к которому они применялись

( na )n = a, nan = a, a > 0 .

Отметим два свойства, непосредственно вытекающие из соответствующих правил дифференцирования: постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

∫k × f (x) dx = k × ∫ f (x)dx (k = const ) ,

инеопределённый интеграл суммы или разности конечного числа функций равен соответствующей сумме (разности) интегралов этих функций, т.е.

∫( f (x) ± g(x))dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx .

Для нахождения производной функции, полученной из основных элементарных функций с помощью алгебраических операций или суперпозиции, применялись таблица производных основных элементарных функций и правила дифференцирования. Формально, таблица интегралов элементарных функций может быть получена, если переписать справа налево таблицу производных. Однако для практического применения целесообразнее привести таблицу интегралов в следующем виде:

где при вычислении интеграла суммы нескольких функций сумма произвольных постоянных, которая при этом получается, заменена одной постоянной.

Следует отметить, что некоторые интегралы не могут быть выражены через элементарные функции. В частности, это касается интегралов следующих функций:

29.2. Интегрирование методами подстановки и замены переменной. Еще одно важное свойство неопределенного интеграла, основанное на инвариантности формы первого дифференциала, позволяет находить интегралы функций, не входящих в таблицу.

Пусть

∫f (x) dx = F(x) + C

иформально подставим в эту формулу функцию x = ϕ(t) ,

производная которой непрерывна. Тогда получим так называемую формулу подстановки

Покажем, что формула (29.1), действительно, верна. Для этого найдём производную по переменной t правой части этого выражения

Fx′(ϕ(t))ϕ′(t) = f (ϕ(t))ϕ′(t) .

Таким образом, правая часть в (29.1) является первообразной подынтегрального выражения слева.

Применение этой формулы позволяет находить интегралы сложных функций, используя таблицу основных интегралов. Например, найдем

∫cos(3x + 2)dx .

Зная, что

∫cosudu = sinu + C

и делая в этой формуле подстановку u = 3x + 2, получим

∫cos(3x + 2)d(3x + 2) = sin(3x + 2) + C ,

откуда найдем

204

∫cos(3x + 2)dx = 1 sin(3x + 2) + C . 3

Этот прием, основанный на подстановке некоторой функции в готовую формулу табличного интеграла, называют методом подстановки.

Рассмотрим теперь приём интегрирования с помощью замены переменной. Предположим, что нужно найти интеграл ∫ f (x)dx . Заменяем

переменную интегрирования некоторой дифференцируемой функцией x = ϕ(t) , имеющей обратную функцию t = ψ( x) . Предположим также, что

ϕ′(t) непрерывна. Тогда справедлива формула замены переменной в

неопределенном интеграле

∫ f (ϕ(t))ϕ′(t)dt = F(ϕ(t)) + C = F(x) + C

при x = ϕ(t ) , что подтверждает справедливость формулы (29.2).

Прием замены переменной состоит в том, чтобы после её проведения сделать такую замену, при которой для подынтегральной функции в полученном интеграле справа в (29.2) легко может быть найдена первообразная.

Например, для нахождения интеграла∫ a2 − x2 dx сделаем замену переменной x = asint так, что

a2 − x2 = a2 − a2 sin2 t = acost , dx = a cos t dt .

Следовательно,

205

Перейдём от переменной t к переменной x . В промежутке

−a ≤ x ≤ a существует обратная функция t = arcsin x , поэтому a

Заметим в заключение этой темы, что в некоторых случаях замену переменной непосредственно не осуществляют, а применяют так называемую операцию «внесения под дифференциал». Заменяя выражение ϕ′(x)dx дифференциалом d ϕ( x) , получают

∫ f (ϕ(x))dϕ(x) = ∫ f (ϕ)dϕ.

Лекция 30. Методы интегрирования (продолжение)

30.1.Интегрирование простейших иррациональностей.

Рассмотрим только простейшие случаи иррациональных подынтегральных функций. Если интеграл содержит иррациональность

Первый из них сводится к табличному интегралу выделением полного квадрата в подкоренном выражении. Для нахождения второго интеграла следует в числителе выделить дифференциал квадратного трехчлена d ( Ax2 + Bx + C) = (2 Ax + B)dx .

В числителе дроби получим дифференциал подкоренного выражения d (3 + 2x − x2 ) = (2 − 2x)dx и разобьём интеграл на два интеграла

интегрирования, который позволит нахождение одного интеграла заменить отысканием другого, «более простого». В основу этого метода положено следующее рассуждение. Пусть u ( x) и v( x) – две функции, имеющие непрерывные производные на некотором интервале. Найдем дифференциал d (u × v) от произведения этих функций

u( x) dv( x) = d (u( x) × v( x)) - v( x)du( x)

207

и проинтегрируем обе его части. Учитывая, что ∫ d (u × v) = u × v , получим

формулу интегрирования по частям

∫u(x) × dv(x) = u(x) × v(x) - ∫v(x) × du(x) .

Метод интегрирования по частям состоит в представлении интеграла

∫ f (x)dx

в виде ∫u(x) dv(x) так, чтобы интеграл ∫v(x) du(x) в правой части

формулы интегрирования по частям оказался «более простым». При нахождении функции v( x) можно произвольную постоянную C , возникающую при этом интегрировании, положить равной нулю.

Найдем интеграл ∫ x ×e− xdx . Введем обозначения: u( x) = x ,

подынтегрального выражения на два множителя u ( x) и dv( x) , причем при переходе к правой части первый дифференцируется, а второй интегрируется. Нужно стараться, во-первых, чтобы интегрирование дифференциала dv не представляло трудностей и, во-вторых, чтобы интеграл ∫v(x) du(x) имел более простое подынтегральное выражение.

Так, в предыдущем примере было бы «неразумно» положить u = e− x , а dv = xdx . Действительно, в этом случае

∫ x × e− xdx = x2 × e− x - 1 ∫ x2 × e− xdx ,

2 2

мы получили более сложный интеграл, чем первоначально данный.

Заметим, что если мы имеем интегралы вида ∫Pn (x)sin kxdx ,

∫ Pn (x)cos kxdx , ∫ Pn (x)ekxdx , ( Pn ( x) – многочлен n -ой степени), то следует выбрать u(x) = Pn (x) . При этом интегрирование по частям проводится

208

тригонометрическую функцию, либо логарифм.

30.3. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции. Разнообразие тригонометрических функций и особенно формул, их связывающих, приводит к большому выбору методов вычисления интегралов, содержащих тригонометрические функции. Рассмотрим некоторые из этих методов интегрирования.

Для нахождения интегралов вида ∫sin axcosbxdx , ∫sin axsinbx dx ,

∫cosα xcos β xdx , где α , β – действительные числа, следует преобразовать произведения тригонометрических функций в суммы по формулам

sin ax × cosbx = 12 (sin (a - b) x + sin (a + b) x) , sin ax × sin bx = 12 (cos(a - b) x - cos (a + b) x), cos ax × cosbx = 12 (cos (a - b) x + cos(a + b) x) .

Рассмотрим несколько случаев нахождения интегралов вида

∫sinα xcosβ x dx

взависимости от различных значений чисел α и β . Если хотя бы одно из чисел α или β – положительное целое нечетное число, то поступают

следующим образом: отделяют от тригонометрической функции в нечетной степени функцию в первой степени и вносят ее под знак дифференциала. Оставшуюся четную степень тригонометрической

209