9698

исогласно теореме Кронекера-Капелли система совместна. Во втором случае, когда в условии (10.3) не выполнено второе равенство, прямые параллельны, ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы системы,

исистема несовместна.

10.2.Пучок прямых, определяемый двумя пересекающимися прямыми. Иногда при решении задач не следует спешить с нахождением точки пересечения двух прямых, решая систему уравнений (10.2), а лучше воспользоваться понятием пучка прямых, проходящих через точку пересечения этих прямых (в частности, когда нужно найти прямую, проходящую через точку пересечения данных прямых, и удовлетворяющую некоторому дополнительному условию). Уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения двух заданных прямых

пересечения этих прямых M 0 ( x0 , y0 ) принадлежит каждой из этих прямых, то ее координаты обращают в ноль обе скобки в (10.4), а, значит, при любом λ прямая (10.4) проходит через точку M 0 .

10.3. Расстояние от точки до прямой. Пусть требуется вычислить расстояние от точки M 0 ( x0 , y0 ) до прямой Ax + By + C = 0 .

70

Отсюда, приравнивая координаты векторов, получаем координаты точки

M1(4, 4) (см. рис. 10.6).

71

M 0 (1, 8)

Рис. 10.6

10.4. Линейные неравенства. В заключение этой лекции выясним геометрический смысл неравенства

N

ϕ

M ( x, y )

M 0

Рис. 10.7

72

Поскольку Ax0 + By0 + C = 0 , то, выражая отсюда C и подставляя в (10.7), получим, что левая часть этого неравенства (10.7) равна скалярному произведению вектора N = { A, B } на вектор M 0M

< N , M 0 M > = A(x − x0 ) + B( y − y0 ) > 0 .

Итак, неравенству (10.7) удовлетворяют все точки плоскости, для которых угол между векторами N и M 0M – острый. Из рисунка 10.7 видно, что все такие точки принадлежат одной полуплоскости. Чтобы выяснить, какая из двух полуплоскостей «отвечает» неравенству (10.7), достаточно проверить его выполнение для какой-нибудь одной точки из любой полуплоскости. Если координаты этой точки ему удовлетворяют, то и координаты всех точек полуплоскости, в которой выбрана «пробная» точка, будут его решениями, если нет – то нужная полуплоскость – другая.

Лекция 11. Плоскость

11.1. Различные виды уравнения плоскости. Перейдем теперь к изучению уравнений плоскости в пространстве. Пусть в трехмерном пространстве с декартовой прямоугольной системой координат имеем плоскость П , и мы хотим получить уравнение, связывающее координаты любой точки, принадлежащей этой плоскости.

N

M 0 900

M

возьмем вектор, перпендикулярный (ортогональный, нормальный) к этой

и N перпендикулярны, т.е. их скалярное произведение равно нулю

73

< N , M0M > = 0

или в координатах

называют общим уравнением плоскости. Обратим внимание, что

координаты нормального вектора к этой плоскости.

Обратно, покажем, что уравнение вида (11.2) определяет плоскость

Отсюда следует алгоритм построения плоскости по заданному уравнению (11.2). Через начало координат проведем прямую в

этого отрезка P проводим перпендикулярно ему требуемую плоскость.

74

z

P N

O r

x

Рис. 11.2

Рассмотрим некоторые частные случаи общего уравнения плоскости. Пусть один из коэффициентов перед переменными в уравнении (11.2) равен нулю (например, C = 0 ). Тогда нормальный вектор этой плоскости

N = {A, B,0}. Это значит, что он перпендикулярен оси O z , а плоскость параллельна этой оси

z

Рис. 11.3

Теперь пусть два каких-нибудь коэффициента перед переменными в уравнении (11.2) равны нулю (например, A = B = 0 ). Тогда нормальный

O

y

75

x

Рис. 11.4

Рассмотрим ещё случай, когда в уравнении (11.2) D = 0 . Это означает, что точка (0,0,0) принадлежит плоскости

Ax + By + Cz = 0

или, другими словами, эта плоскость проходит через начало координат. Для наглядного представления расположения этой плоскости найдем

её следы, т.е. линии пересечения с координатными плоскостями (см. рис. 11.5).

z

y

x

Рис. 11.5

Из общего уравнения плоскости легко получить так называемое

уравнение плоскости в отрезках

координатными осями. Действительно, из (11.2) следует Ax + By + Cz = −D

отрезков, которые плоскость «отрезает» от осей координат (см. рис. 11.6).

z

c

b

y

Рис. 11.6

Получим уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M1 ( x1, y1, z1 ) , M 2 (x2 , y2 , z2 ) , M 3 (x3 , y3 , z3 ) . Пусть M (x, y, z) –

произвольная точка плоскости П .

M2

M

M1

M3

Рис. 11.7

Тогда три вектора M1M , M1M2 , M1M3 будут компланарными и, следовательно, их смешанное произведение равно нулю

Раскладывая этот определитель по элементам первой строки, приведем его

клинейному уравнению относительно x, y, z вида (11.2).

11.2.Взаимное расположение двух плоскостей. Пусть заданы две плоскости П1 и П2 уравнениями (см. рис. 11.8).

A1x + B1 y + C1z + D1 = 0 , A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 .

77

Рис. 11.8

Найдем угол между ними в предположении, что они пересекаются. Пересекаясь, плоскости образуют две пары равных двугранных углов.

В частности, условие перпендикулярности и условие параллельности двух плоскостей имеют вид

П1 П2 A1 A2 + B1B2 + С1С2 = 0 ;

В последнем случае, если дополнительно выполняется равенство

то эти плоскости совпадают.

Аналогично понятию пучка прямых на плоскости существует понятие пучка плоскостей, проходящих через линию пересечения двух

78

заданных плоскостей. В частности, им удобно пользоваться, когда нужно найти плоскость, проходящую через линию пересечения данных плоскостей и удовлетворяющую некоторому дополнительному условию. Уравнение пучка плоскостей имеет вид

Действительно, уравнение (11.5) – уравнение плоскости. Так как координаты любой точки, принадлежащей линии пересечения П1 и П2 , обращают в ноль обе скобки в (11.5), то при любом λ эта плоскость проходит через линию пересечения этих плоскостей.

11.3. Расстояние от точки до плоскости. Пусть требуется вычислить расстояние от точки M 0 (x0 , y0 , z0 ) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 .

d

N

M0

Рис. 11.9

Пусть M1 (x1, y1, z1 ) – проекция точки M 0 на данную плоскость (см. рис. 11.9). Искомое расстояние равно абсолютной величине проекции