9698

Лекция 3. Системы и определители матриц n-го порядка

При изучении наук примеры не менее поучительны, нежели правила.

И. Ньютон

3.1. Матричная запись системы линейных уравнений. Систему n

линейных уравнений c n неизвестными

an1x1 + an2 x2 +L+ ann xn = bn

после введения матриц

можно записать кратко

Решить систему – значит найти матрицу неизвестных X .

Оставим пока вопросы о том, существуют ли решения системы (3.1) и сколько их, и вспомним, как решалось уравнение первой степени

a × x = b .

Решение x = b получается умножением обеих частей уравнения на число, a

обратное числу a , то есть на число 1 = a−1 a

a−1 × a × x = a−1 ×b 1× x = b . a

Эти соображения приводят к мысли найти такую матрицу (в дальнейшем будем её обозначать A−1 ), которая при умножении на данную

20

матрицу A давала бы единичную матрицу. Тогда система (3.1) была бы решена следующим образом:

A−1 × A × X = A−1 × B E × X = A−1 × B X = A−1 × B .

Поэтому естественным будет следующее определение.

Обратной матрицей к данной квадратной матрице A называется матрица A−1 , которая при умножении как справа, так и слева на матрицу A , даёт единичную матрицу

A−1 × A = A × A−1 = E .

С учетом этого определения решение системы (3.1) имеет вид

Заметим, что определение обратной матрицы ещё не гарантирует её существования и не дает способа ее отыскания. Для нахождения обратной матрицы нам потребуется понятие определителя матрицы порядка n .

сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения, то есть:

Естественно, возникает вопрос о корректности такого определения. Для n = 2 легко проверяется

(разложение по элементам первой строки), или

= a11a22 − a21a12 = a11 A11 + a21 A21

(разложение по элементам первого столбца). Два оставшихся варианта проверьте самостоятельно.

Для краткости изложения доказывать или иллюстрировать формулируемые ниже свойства определителей мы будем на примере определителей второго порядка.

Свойство 1. При транспонировании матрицы величина определителя не меняется

( AT ) = ( A) .

Это свойство следует из определения.

Так как при транспонировании матрицы столбцы переходят в строки и наоборот, то все свойства определителя, формулируемые в терминах столбцов, остаются справедливыми и для строк. Поэтому далее мы будем говорить только о строках (или о столбцах).

Свойство 2. Определитель изменит знак, если поменять местами две строки матрицы.

Убедимся в справедливости этого свойства для n = 2

Действительно, «раскрывая» определители, имеем:

a1b2 − a2b1 = −(a2b1 − a1b2 ) .

Свойство 3. При умножении элементов строки матрицы на число λ ее определитель умножается на λ.

22

Это свойство в данном случае ( n = 2 ) легко проверяется, а для любого n следует из разложения определителя по элементам строки, где λ будет общим множителем всех элементов строки и его можно вынести за знак суммы. Это свойство удобнее запомнить в «обратной» формулировке: если элементы строки матрицы имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя. Отметим, что умножение матрицы на число происходит по-другому

Свойство 4. Если все элементы какой-то строки матрицы равны нулю, то определитель равен нулю.

Чтобы убедится в этом, достаточно разложить определитель по элементам этой строки.

Свойство 5. Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками равен нулю.

Действительно, поменяем местами эти одинаковые строки. По

число, для которого одновременно выполняются эти условия; это число равно нулю. Итак, = 0 .

Свойство 6. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками равен нулю.

Вынося общий множитель элементов строки (коэффициент пропорциональности) за знак определителя, мы получаем определитель матрицы с двумя одинаковыми строками.

Свойство 7. Если каждый элемент какого-то столбца матрицы представляет собой сумму двух слагаемых, то для определителя этой

Свойство 8. Если к элементам некоторого столбца прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на одно и то же число, то величина определителя при этом не изменится

где Aij – соответствующие алгебраические дополнения. Аналогичным образом получаем

Следует обратить внимание на то, что матрица в правой части (3.5) получена путем транспонирования матрицы алгебраических дополнений к элементам исходной матрицы A . Из формулы (3.5) видно, что для существования обратной матрицы необходимо, чтобы её определитель не обращался в нуль. Матрицы с определителем равным нулю называются

вырожденными.

Итак, правило нахождения обратной матрицы (обращение

обратную матрицу. Действительно, по определению обратной матрицы с учетом свойства 10 для определителей получим

26

что и требовалось доказать.

и получаем обратную матрицу

случае невырожденной матрицы имеет вид

Алгоритм получения решения сводится к нахождению обратной матрицы A−1 и умножению её слева на матрицу-столбец правых частей B . Заметим, что матрица B начинает «работать» лишь на этапе умножения.

Установим связь на примере системы третьего порядка между правилом Крамера и нахождением решения с помощью обратной матрицы.

27

k -го порядка.

Рангом матрицы A называется число r( A) , равное наибольшему из порядков её миноров, отличных от нуля. Если все миноры равны нулю, что возможно только для нулевой матрицы, то r = 0 .

Очевидно, что ранг — это число, удовлетворяющее неравенству

0 ≤ r ≤ min(m,n) ,

где m и n – размеры матрицы. Например,

так как все миноры второго порядка равны нулю.

Если матрица квадратная и невырожденная, то её ранг равен порядку матрицы.

Один из способов вычисления ранга – это «идти снизу», последовательно находя неравные нулю миноры первого, второго и следующих порядков.

4.2. Теорема Кронекера-Капелли. Выше при рассмотрении системы линейных уравнений мы ограничивались случаем, когда число уравнений совпадало с числом неизвестных и когда матрица системы была невырожденной. В этом случае система имеет единственное решение. Сейчас мы рассмотрим общий случай системы m уравнений с n неизвестными

%

Образуем так называемую «расширенную» матрицу B , полученную присоединением к матрице A столбца из свободных членов уравнений системы

29