9698

1.4. Матрицы и линейные преобразования. Для «оправдания» определения операции умножения матриц рассмотрим связь между матрицами и линейными преобразованиями.

Пусть на плоскости задана декартова прямоугольная система координат xOy . Поставим в соответствие произвольной точке плоскости с

координатами (x, y) точку ( x′, y′) плоскости x′O′y′, координаты которой определяются следующими линейными соотношениями

x′ = a11 x + a12 yy¢ = a21x + a22 y ,

задающими так называемое линейное преобразование плоскости.

Очевидно, что такое преобразование однозначно определяется его матрицей

Рассмотрим несколько примеров таких преобразований. Пусть преобразование задано следующим образом:

вдоль оси Oy (или к оси Ox ) с коэффициентом β > 1 (см. рис. 1.1).

y y′

Рис. 1.1

11

{ x′ = x

плоскости y′ = y .

В качестве упражнения напишите формулы преобразования, которое произвольную точку «переводит» в точку, симметричную ей относительно начала координат, и получите соответствующую матрицу.

Аналогичным образом можно интерпретировать линейные преобразования для трех переменных

x′ = a11x + a12 y + a13 z

′ = + +

y a21x a22 y a23 z .z′ = a31x + a32 y + a33 z

Правило умножения матриц естественным образом возникает при решении следующей задачи. Пусть линейное преобразование

x′ = b11x + b12 y

y′ = b21 x + b22 y

преобразования, проведенные друг за другом, переводят точку (x, y) в точку

( x′′, y′′) . Очевидно, что результат этих преобразований тоже линейное преобразование. Какова его матрица?

12

Выразим координаты точки ( x¢¢, y¢¢) через координаты исходной точки

(x, y)

Таким образом, матрица результирующего преобразования равна произведению матриц A × B исходных преобразований, взятых в соответствующем порядке, т.е.

Введенные выше матричные операции обладают следующими

свойствами:

( A× B) ×C = A×( B ×C)

a( A× B) = (aA) × B = A×(a × B) ( A + B) ×C = A ×C + B ×C .

Определим операцию транспонирования матрицы как замену в ней строк на соответствующие столбцы и наоборот

Матричные операции позволяют, в частности, компактно записывать так называемые квадратичные формы, т.е. выражения вида

13

Далее мы продолжим изложение матричной алгебры и определим операцию обращения квадратной матрицы, но прежде нам потребуется ввести понятие определителя матрицы.

Лекция 2. Правило Крамера и определители матриц

Удачные обозначения обладают утончённостью и будят мысль, порой делая это, кажется почти так же, как искусный учитель.

Бертран Рассел (1872-1970гг.)

2.1. Системы двух уравнений с двумя неизвестными. Уже при решении уравнения первой степени

a × x = b

возможны три случая:

∙если a ¹ 0 , то уравнение имеет единственное решение x = b a ;

∙если a = 0 и b ¹ 0 , то уравнение не имеет решения;

∙если a = 0 и b = 0 , то уравнение имеет бесчисленное множество решений, т.к. равенство 0 × x = 0 выполняется при любых значениях x .

Оказывается, что такие же случаи имеют место при решении системы

уравнений с большим числом неизвестных. В стандартной записи система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет вид

которая оба уравнения системы (2.1) обращает в тождества. В этом случае говорят, что пара чисел (α,β) «удовлетворяет» системе уравнений (2.1), а система уравнений называется совместной. Если система уравнений не имеет решений, то она называется несовместной. Эта терминология относится к системам произвольного числа уравнений.

Существует несколько способов нахождения решения системы, если оно существует. Проделаем следующие операции:

В результате получим

x(a1b2 − a2b1 ) = c1b2 − c2b1 .

Если число a1b2 - a2b1 ¹ 0 , то

Формулы (2.2) и (2.3) достаточно громоздки, и от их вида «в глазах рябит». Вот здесь и приходят на помощь те «удачные обозначения», о которых говорил Б. Рассел. Выпишем коэффициенты при неизвестных в виде следующей матрицы:

Для удобства в обозначение определителя включена матрица, которой он соответствует.

Вычислим ещё два определителя матриц, полученных из матрицы A путем замены ее первого и соответственно второго столбца на столбец правой части системы, т.е.

Тогда формулы (2.2) и (2.3) в случае, когда D ¹ 0 , можно представить в виде

15

Эти формулы связаны с именем швейцарского математика Г. Крамера (1704-1752гг.). Сама идея определителя появилась ещё у Г. Лейбница

(1646-1716гг.), а название дал в 1812г. О. Коши (1789-1857гг.). Это название довольно естественно: определители , D x и y полностью

определяются системой уравнений и, наоборот, по заданным определителям (в принятых обозначениях) можно «восстановить» систему уравнений.

Исследуем полученные формулы. Будем предполагать, что не все коэффициенты при неизвестных одновременно равны нулю. В противном случае система (2.1) примет вид

хотя бы одно из чисел c1 или c2 отлично от нуля, то система (2.4) не имеет решений и называется несовместной.

Учитывая принятые обозначения для определителей, имеем два

при условии, что не все входящие в эти уравнения определители равны нулю, или одно из этих уравнений, если все эти определители равны нулю.

Отсюда получаем следующие утверждения:

· если определитель ¹ 0, то система имеет единственное решение,

определяемое по формулам Крамера

yотличен от нуля, то система несовместна (пусть, для определённости,

=0 и D x ¹ 0 , тогда получим противоречивое равенство 0 × x = Dx ¹ 0 );

16

· если все три определителя системы равны нулю, то система имеет бесчисленное множество решений: x – любое, а y выражается через x из

т.е. элементы какой-то строки (столбца) равны нулю или элементы строк (столбцов) пропорциональны

a1 = b1 . a2 b2

С учетом этого переформулируем приведенные выше утверждения в терминах коэффициентов системы:

· если коэффициенты при неизвестных не пропорциональны, т.е.

a1 ¹ b1 или a1b2 - a2b1 ¹ 0 , то система имеет единственное решение; a2 b2

· если коэффициенты при неизвестных пропорциональны, но не пропорциональны свободным членам,

то система несовместна; · если коэффициенты при неизвестных пропорциональны и

пропорциональны свободным членам,

то система имеет бесчисленное множество решений.

Эти утверждения становятся очевидными, если вспомнить, что каждое уравнение первой степени задаёт прямую в плоскости xOy , и решить систему (2.1), значит найти общие точки двух прямых. В первом случае прямые пересекаются в одной точке, координаты которой и будут решением системы, во втором – прямые параллельны (решения нет) и, наконец, в третьем случае прямые совпадают, и координаты любой точки на этой общей прямой будут решением системы.

2.2. Системы трех уравнений с тремя неизвестными. Выше мы показали, как вычисляется определитель матрицы второго порядка

Для вычисления определителя матрицы третьего порядка

17

Где гарантия, что в результате будет получаться одно и то же число? Оказывается, что справедливо следующее утверждение.

Для каждой квадратной матрицы порядка n сумма произведений

элементов какой-либо строки или столбца на соответствующие им алгебраические дополнения есть величина постоянная.

Вот это число и называется определителем, а способов его вычисления существует много и тот, который даётся введённым выше определением, просто один из них. Этот способ называется разложением по элементам строки или столбца.

Если в любой из приведенных формул вычислить алгебраические дополнения и произвести указанные действия, то получится другая формула вычисления определителя третьего порядка

( A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 − a31a22a13 − a21a12 a33 − a32a23a11 .

Заметим, что определитель равен алгебраической сумме произведений элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца.

Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными

a x + b y + c z = d

1 1 1 1

a2 x + b2 y + c2 z = d2a3 x + b3 y + c3 z = d3

выражается через определители третьего порядка по аналогичным формулам Крамера:

системы путем замены столбца коэффициентов при соответствующей

отложим до введения понятия ранга матрицы.

19