9698

Рис. 8.10

В свою очередь к аждую из полученных призм можно разделить на три равновеликих пирамиды.

Рис. 8.11

Таким образом, объем пирамиды равен 1/ 6 от объема параллелепипеда, построенного на этих же векторах, т.е.

уравнений всегда совместна, поскольку ранг расширенной матрицы совпадает с рангом основной матрицы. Одно из её решенний очевидно. Это нулевое решение. Его называют тривиальным. Естественно возникает вопрос о существовании других решений. В «солидных» курсах алгебры доказывается, что для существования нетривиальных реш ений необходимо и достаточно, чтобы определитель системы однородных уравнений был

это, значит, найти такой вектор x = { x1, x2 , x3} , который был бы перпендикулярен к трём векторам

a = {a1, a2 , a3} , b = {b1 ,b2 ,b3} , c = {c1 ,c2 ,c3} .

Очевидно, что такой ненулевой вектор x существует тогда и только тогда,

и есть условие компланарности этих векторов.

Раздел 3. Аналитическая геометрия. Прямые и плоскости

Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Любая точка на плоскости однозначно определяется упорядоченной парой чисел – ее декартовыми координатами. Также и вектор на плоскости задается парой своих декартовых координат. В этой и ближайших лекциях мы получим аналитические представления для таких геометрических объектов, как прямая на плоскости, плоскость и прямая в пространстве.

9.1. Общее уравнение прямой. Пусть на плоскости с декартовой прямоугольной системой координат проведена прямая L , и мы хотим получить уравнение, связывающее координаты любой точки, принадлежащей этой прямой.

y

вектор N = { A, B } , перпендикулярный (ортогональный, нормальный) к

61

Раскрывая в (9.1) скобки, получим уравнение

где для краткости обозначено C = − Ax0 − By0 .

Уравнение (9.2) называют общим уравнением прямой на плоскости. Обратим внимание, что уравнение прямой на плоскости является линейным уравнением относительно переменных x и y , а коэффициенты при них – соответствующие координаты нормального к этой прямой вектора N = { A, B } .

Обратно, покажем, что уравнение вида (9.2) определяет прямую на плоскости и построим эту прямую. По данным числам A и B образуем

уравнению (9.2), имеют одну и ту же проекцию на фиксированный вектор

Отсюда следует алгоритм построения прямой по заданному уравнению (9.2). Через начало координат проведем прямую в направлении вектора

противоположном направлении, если p < 0 . Через конец P этого отрезка проводим перпендикулярно ему требуемую прямую L .

y

Построение прямой производится гораздо проще, если воспользоваться так называемым уравнением прямой в отрезках

ординат, соответственно.

Действительно, из (9.2) следует Ax + By = −С и далее, предполагая, что A ¹ 0, B ¹ 0,C ¹ 0 (т.е. прямая не проходит через начало координат и не параллельна координатным осям) и разделив обе части этого уравнения на

равенство

y − b = tgα = k , x

из которого следует уравнение прямой с угловым коэффициентом

Заметим, что меняя в уравнении (9.5) величину k , мы получим множество прямых, проходящих через данную точку. Это множество прямых называется пучком прямых, проходящих через заданную точку.

9.3. Параметрические и каноническое уравнения прямой.

Уравнение прямой L можно получить, задавая точку M 0 ( x0 , y0 ) и её

направляющий вектор S = {m,n} (см. рис. 9.5).

64

S M

L

M 0

Рис. 9.5

Пусть M (x, y) L – произвольная точка. В силу коллинеарности векторов

изменении значения параметра t в пределах от −∞ до +∞ точка M (x, y) «пробегает» всю прямую L . Очевидно, что точке M 0 ( x0 , y0 ) соответствует значение параметра t = 0 . Исключая из этих уравнений параметр t , получим каноническое уравнение прямой на плоскости

mn

Вчастности, если одна из координат направляющего вектора равна

известно, прямая определяется двумя своими точками. Нетрудно понять, что вектор

M1M 2 = { x2 − x1; y2 − y1}

можно считать направляющим вектором данной прямой. Отсюда получим

уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

65

Лекция 10. Прямые линии на плоскости

10.1. Взаимное расположение двух прямых. Пусть сначала две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом:

y = k1x + b1, y = k2 x + b2 .

Пусть α1 и α2 — углы между положительным направлением оси Ox и прямыми L2 и L2 соответственно. Тогда α2 = α1 + ϕ (внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, с ним не смежных). Отсюда следует, что ϕ = α2 − α1 ,

1 + k1k2

66

Иногда по заданному углу между прямыми и известному угловому коэффициенту одной из прямых нужно найти угловой коэффициент другой прямой. Поэтому нужно быть внимательными при применении формулы (10.1). Чтобы подчеркнуть, какой угол вычисляется по этой формуле, в ней ставят стрелку, показывающую, что угол отсчитывается от прямой с

Получить уравнение прямой, по которой направлен отражённый луч.

Рис. 10.2

Из аналогичной формулы для тангенса угла «отражения» α

67

Вернемся к формуле (10.1) и получим условия перпендикулярности и параллельности двух прямых y = k1x + b1 , y = k2 x + b2 , выраженные через их угловые коэффициенты:

Сведём вычисление угла α между прямыми к вычислению угла ϕ между нормальными векторами к этим прямым. Заметим, что угол между прямыми может быть только острым, а угол между векторами может быть

Если же угол ϕ между нормальными векторами тупой, то α = π − ϕ (см.

68

αN2 L1

то эти прямые совпадают.

Обратим внимание на связь полученных условий взаимного расположения прямых с условиями разрешимости системы (10.2) двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определитель этой системы

то выполнено условие параллельности этих прямых. При этом возможны два случая. В первом, когда выполнено условие (10.3), прямые совпадают, и система имеет бесконечное множество решений (координаты любой точки прямой дают решение системы). Отметим, что условие (10.3) означает, что ранг расширенной матрицы совпадает с рангом матрицы системы, т.е.